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1、【题型综述】探究代数表达式包括以下若干类型：（1）参数值的探索，根据题中的条件将参数转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在，否则不存在.(2)等式恒成立问题，根据题中条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法，转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在。【典例指引】类型一参数值的探究例 1 【 2016 年高考四川理数】 （本小题满分13 分）已知椭圆E ： x2y21(a b 0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线a2b2l : yx 3与椭
2、圆 E 有且只有一个公共点 T.（）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（）设 O 是坐标原点，直线l 平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点A、 B，且与直线 l 交于点 P证明：2PA PB ，并求 的值 .存在常数，使得 PT方程的判别式为=16(92m2 ) ，由0 ，解得32m3 2.22由得 x1x2 =4m , x1 x24m212.33所以 PA(22mx )2(12my )2522mx，3131312同理 PB52m22x2，3所以 PAPB5 (22mx1)(22mx2 )4335 (22m )2(22m)( xx)x x24312135 (22m)2(22m)(4m)4m2
3、124333310m2 .9故存在常数42PAPB .，使得 PT5类型二恒等式成立探究例2. 【2015 高考四川，理 20】如图，椭圆a2+ b2 1(ab0) 的离心率是2E： x2y22 ，过点 P（ 0,1）的动直线 l与椭圆相交于 A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l被椭圆 E 截得的线段长为 2 2 .(1) 求椭圆 E 的方程；（ 2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P 不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.（ 2）当直线 l 与 x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C、D 两点 .|QC |PC|如果存在定点Q 满足条件
4、，则1，即 | QC| |QD|.|QD |PD|所以 Q 点在 y 轴上，可设Q 点的坐标为(0, y0 ) .当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、 N 两点 .则 M(0,2), N (0,2) ，由|QM|PM|，有 | y02 |21 ，解得 y01或 y0 2 .|QN| |PN| y02 |21所以，若存在不同于点P 的定点 Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为Q(0,2) .下面证明：对任意的直线l ，均有|QA|PA|QB|.|PB|当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立 .当直线 l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为 y kx1， A 、 B
5、的坐标分别为 ( x1 , y1),( x2 , y2 ) .x2y 21, 得 (2 k21)x2联立 424kx2 0 .ykx1其判别式16k 28(2k21)0 ，类型三面积最小值存在性例 3【 2015 高考湖北， 文22】一种画椭圆的工具如图1 所示O 是滑槽AB 的中点， 短杆ON 可绕O 转动，长杆MN通过N 处铰链与ON连接， MN上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动， 且 DNON1，MN3 当栓子OD 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕转动， M 处的笔尖画出的椭圆记为直线为 x 轴建立如图2 所示的平面直角坐标系C以O 为原点，AB 所在的（）求椭圆C 的方程；（）设
6、动直线l 与两定直线l1 : x2 y0 和 l 2 : x2 y0 分别交于P, Q 两点若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由yNDOxM第 22题图 1第 22题图 2S OPQ11| m | xPxQ |12m2m2 m22 .| PQ | d2| m |2k12k14k2212m22114k 2121将代入得， S OPQ284k2时， S OPQ8(8(121 4k4k 2. 当 k42)2) 8 ；当 0 k414k 14 k 1时 ，4k218(122).因0k21则0 14k21，222， 所
7、以S OPQ 8(4 k2 )4 k，4k1141S OPQ8( 12)8，当且仅当 k0 时取等号 .所以当 k0 时， S OPQ 的最小值为 8.4k21综合（ 1）（2）可知，当直线l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时，OPQ 的面积取得最小值8.类型四面积关系探究: x2y232例 4. （2011湖南理 21）如图 7, 椭圆 C11(a b 0) 的离心率为b, x 轴被曲线 C2 : y xa2b22截得的线段长等于C1 的长半轴长 .( ) 求 C1,C2的方程 ;( ) 设 C 2 与 y 轴的交点为M , 过坐标原点O 的直线 l 与 C2 相交于点 A, B , 直线 M
8、A, MB 分别与 C1 相交于点 D,E.()求证: MDME ;( ) 记MAB ,MDE 的面积分别为S1, S2 . 问 : 是否存在直线l , 使得 S117 ?请说明理由 .S232【扩展链接】1.F 为椭圆 x2y 21( ab0)的其中一个焦点，若P 是椭圆上一点，则 ac | PF |a c .a2b22.F 为双曲线 x 2y 21(a0, b0) 的右焦点，若P 是双曲线右支上一点，则| PF | ac ，若 P 是a 2b2双曲线左支上一点，则 | PF |ac ， .3.F 为椭圆 x2y 21( ab0)的左焦点， AB 是过左焦点倾斜角为的弦，点 A 在 x 轴上
9、方，则a2b2|AF |b2,|BF|b2, |AB|2ab 2|AF |accosc cosc cosa2c2 cos2,a.aa|BF |ccos4. F 为抛物线 y22 px( p0) 的焦点， AB是过左焦点倾斜角为的弦，点 A 在 x 轴上方，则|AF |pp|AB|2p2 p,|AF |1cos，|BF |,cos2sin 2|BF |1.1cos1cos1cos【同步训练】1 已知 A 为椭圆=1（ ab0）上的一个动点，弦AB ，AC 分别过左右焦点F1， F2，且当线段 AF 1 的中点在 y 轴上时， cosF1AF 2=（ 1）求该椭圆的离心率；（ 2）设，试判断 1+
10、2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由【思路点拨】（ 1）当线段 AF1 的中点在 y 轴上时， AC 垂直于 x 轴， AF1F2 为直角三角形 运用余弦函数的定义可得 | AF 1| =3| AF 2| ，易知 | AF 2| =，再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值；（ 2）由（ 1）得椭圆方程为 x2+2y2=2b2，焦点坐标为 F1 （ b， 0），F2（ b， 0），（1）当 AB ， AC 的斜率都存在时，设 A （x0，y0）， B（ x1，y1），C（x2， y2），求得直线 AC 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线定理，
11、可得1+2为定值 6；若 AC x 轴，若 AB x轴，计算即可得到所求定值同理 1=，可得 1+2=6；若 AC x 轴，则 +；2=1，1=5，这时 1 2=6若 AB x 轴，则 1=1，2=5，这时也有 1+2=6；综上所述， 1+2是定值 62.（ 2017?邯郸二模）已知F1（ c，0）、 F2（c、0）分别是椭圆G：+=1（0ba3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆 G 上一点，且 | PF1 | | PF2| =a（ 1）求椭圆 G 的方程；（ 2）设直线 l 与椭圆 G 相交于 A 、 B 两点，若 ，其中 O 为坐标原点，判断 O 到直线 l的距离是否为定值？若是，求出该定
12、值，若不是，请说明理由【思路点拨】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF1 丨=a=3| PF2| ，根据点到直线的距离公式，即可求得 c 的值，则求得 a 的值， b2 2c2，即可求得椭圆方程；=a=4（ 2）当直线 l x 轴，将直线 x=m 代入椭圆方程，求得 A 和 B 点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得 m 的值，求得 O 到直线 l 的距离；当直线 AB 的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O 到直线 l 的距离为定值当直线 AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 y=kx +n，则，消去 y 整理得：（1+2k
13、2） x2+4knx+2n28=0，x1+x2=，x1x2=，则 y1y2=（kx 1+n）（kx 2+n） =k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，由， x1x2 +y1 y2=0，故+=0，整理得： 3n2 8k2 8=0，即 3n2=8k2+8，则原点 O 到直线 l 的距离 d=， d2=（）2=，将代入，则d2=， d=，综上可知：点O 到直线 l 的距离为定值3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的离心率为，直线 y=x 被椭圆 C截得的线段长为（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）过原点的直线与椭圆 C 交于两点（ A ，B 不是椭圆 C 的顶点），点 D 在椭圆 C 上，且 A
14、D AB ，直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M ， N 两点设直线 BD ，AM 斜率分别为 k1，k2，证明存在常数 使得 k1=k2，并求出 的值【思路点拨】（1）由椭圆离心率得到 a， b 的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示， 则 a 的值可求，进一步得到 b 的值，则椭圆方程可求；（ 2）设出 A ，D 的坐标分别为（ x1， y1）（x1y10），（ x2， y2），用 A 的坐标表示 B 的坐标，把 AB 和 AD 的斜率都用 A 的坐标表示， 写出直线 AD 的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到 AD 横纵坐标的和，求
15、出 AD 中点坐标，则 BD 斜率可求，再写出 BD 所在直线方程，取 y=0 得到 M 点坐标，由两点求斜率得到 AM 的斜率，由两直线斜率的关系得到 的值4.已知中心在原点O，焦点在 x 轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点（ 1）求椭圆的方程；（ 2）椭圆左，右焦点分别为 F1， F2，过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、B，则 F1AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）设椭圆方程，由题意列关于a， b，c 的方程组求解 a， b， c 的值，则椭圆方程可求；（ 2）设 A（x 1，y1），B（x 2，y2
16、），不妨设 y1 0，y20，设 F1AB的内切圆的径R，则 1F AB的周长 =4a=8，= （| AB|+| F11），因此最大，R就最大设直A|+| F B|R=4R线 l 的方程为 x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示 F1AB 的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为 x=my+1，由，得（ 3m2+4）y2+6my9=0，则=，令，则 m2=t 21，=，令 f（ t）=3t+ ，则 f （t） =3，当 t 1 时， f （t） 0，f （t）在 1， +）上单调递增，有 f （t） f （1）=4， 3，即当 t=1，m
17、=0 时， 3，由=4R，得 Rmax，这时所求内切圆面积的最大值为=故直线 l：x=1， F1内切圆面积的最大值为AB5.已知椭圆 C：+=1（ a 0，b 0）的离心率为，右焦点为 F，上顶点为 A ，且 AOF的面积为（O 为坐标原点）（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）若点 M 在以椭圆 C 的短轴为直径的圆上，且 M 在第一象限，过 M 作此圆的切线交椭圆于 P，Q 两点试问 PFQ 的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由【思路点拨】（ 1）由椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为A ，且 AOF的面积为（ O为坐标原点），列出方程组，求出a=，b=1，由此能求出椭圆C 的
18、方程（2）设P（ x1 ，y1），Q（x2，y2），连结OM ，OP，求出 | PF|+| PM| =| QF|+| QM| =，从而求出PFQ 的周长为定值26.已知椭圆 C：+=1（ab0）的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）A 、B 是椭圆的左右顶点， P（x P，yP）是椭圆上任意一点，椭圆在 P 点处的切线与过 A 、B 且与 x 轴垂直的直线分别交于 C、D 两点，直线 AD 、 BC 交于 Q（x Q，yQ），是否存在实数，使 x P=xQ恒成立，并说明理由【思路点拨】（ 1）由椭圆 C：+=1（ a b 0）的离心率为，联接椭圆四个顶
19、点的四边形面积为 2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C 的方程（ 2）设切线方程为y=kx +m，与椭圆联立消元得（ 2+3k2） x2+6kmx+3m26=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，组合已知条件能求出存在=1，使 xP=xQ恒成立7.已知椭圆 C：=1，直线 l 过点 M （ 1，0），与椭圆 C 交于 A ，B 两点，交 y 轴于点N（ 1）设 MN 的中点恰在椭圆 C 上，求直线 l 的方程；（ 2）设 = ， = ，试探究 +是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由【思路点拨】（1）设点 N（0，n），表示出 MN 中点坐标，代入椭圆方程即可求得n 值
20、，从而可得直线方程；（ 2）直线 AB 的斜率存在且不为0，设直线方程为 x=ty1，A（x1，y1），B（ x2，y2），M（1，0），N（0，），联立以及向量共线的坐标可得= 1，消 x 可得（ 4+3t2）y2 6ty9=0，利用韦达定理，同理可得 =1 ，然后化简即可8.已知离心率为的椭圆 C：+=1（ab0）过点 M （ 2，0），过点 Q（1，0）的直线与椭圆 C 相交于 A ，B 两点，设点 P（4，3），记 PA，PB 的斜率分别为 k1， k2 （ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）探讨 k1+k2 是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出k1+k2 的取值范围【思路点拨
21、】（1）由题意可知 a=2c， a=2，则 c=1， b22c2 ，=a=3（ 2）分类讨论，当直线线 AB 的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及直线斜率公式，即可求得的 k1+k2 值（ 2）当直线 AB 的斜率不存在时，不妨设A （1，），B（1，），则 k1=， k2=，故 k1+k2=2，当直线 AB 的斜率存在时，设其为k，则直线 AB ：y=k（ x 1），设 A（x1，y1），B（x2，y2）由，消去 y，整理得：（4k2+3） x28k2x+4k212=0， x1+x2 =， x1x2=，k1+k2=+=+=，=2，综上可知： k1+k2 为定值，定值为29.已知椭圆 C：
22、+=1（ab1）的左焦点 F 与抛物线 y2=4x 的焦点重合，直线 xy+=0 与以原点 O 为圆心，以椭圆的离心率e 为半径的圆相切（ 1）求该椭圆 C 的方程；（ 2）过点 F 的直线交椭圆于 A 、B 两点，线段 AB 的中点为 G，AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D、E 两点，记 GFD 的面积为 S1，OED 的面积为 S2，问：是否存在直线 AB ，使得 S1=S2，若存在，求直线 AB 的方程，若不存在，说明理由【思路点拨】（ 1）通过抛物线方程可知c=1，利用点到直线的距离公式可知e=，结合 a、b、c 三者之间的关系可求出a=2、 b=1，进而可得椭圆C 的
23、方程；（ 2）通过假设存在直线AB 使得 S1=S2，则可设其方程为： y=k（x+1）（k0），并与椭圆C方程联立，结合韦达定理可得G（，），利用DGAB可得D（，0），结合 GFD OED可得=，联立S1=S2 整理得8k2+9=0，由于此方程无解推出假设不成立10.在直角坐标系xOy 中，椭圆C1：的离心率为，左、右焦点分别是F1， F2，P 为椭圆 C1 上任意一点， | PF1| 2 +| PF2| 2 的最小值为 8（ 1）求椭圆 C1 的方程；（ 2）设椭圆 C2：为椭圆 C2 上一点，过点 Q 的直线交椭圆 C1 于 A ，B 两点，且 Q 为线段 AB 的中点，过 O，Q 两
24、点的直线交椭圆C1 于 E，F 两点（ i）求证：直线 AB 的方程为 x0x+2y0y=2；（ ii ）当 Q 在椭圆 C2 上移动时，四边形 AEBF 的面积是否为定值？若是， 求出该定值； 不是，请说明理由【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C1上任意一点，| PF1|2+| PF2| 2 的最小值为8，列出方程，求出a， b，由此能求出椭圆C1 的方程为+（ 2）（i ）由（ 1）知椭圆 C2：=1，Q（x 0，y0）为椭圆 E 上一点，=1，利用点差法求出直线AB 的方程为 x0x+2y0y=2，由此能求出直线AB 的方程（ ii ）联立直线 EF 与
25、椭圆 C1 的方程，得 E（，），F（，），联立直线 AB 与椭圆 C1 的方程，得：，利用韦达定理求出| AB | =，点 E（）、 F（）到直线 AB 的距离为 d1，d2，由此能求出当Q 在椭圆 C2 上移动时，四边形AEBF 的面积为定值 4（ ii ）直线 EF 的方程为 y0xx0y=0，联立直线 EF 与椭圆 C1 的方程，解得 E（，），F（，），联立直线 AB 与椭圆 C1 的方程，消去 y，得：，x1+x2=2x0 ，x 1x2=24y0 2，|AB|=?=?=，设点 E（）、F（）到直线 AB 的距离分别为 d1，d2，SAEBF =SABE +SABF =，=， SAE
26、BF=?=4故当 Q 在椭圆 C2 上移动时，四边形AEBF 的面积为定值 411.已知椭圆 C：+=1 （ a b 0）的短轴长为 2，过上顶点 E 和右焦点 F 的直线与圆 M ：x2+y24x2y+4=0 相切（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）若直线 l 过点（ 1，0），且与椭圆 C 交于点 A ，B，则在 x 轴上是否存在一点 T（t，0）（t 0），使得不论直线 l 的斜率如何变化， 总有 OTA= OTB （其中 O 为坐标原点），若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）由已知可得： b=1，结合直线与圆M ：x2+y24x 2y+4=0 相切进而可得22c =3，a =4，即得椭圆 C 的标准方程；（ 2）在 x 轴上