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1、专题二函数概念与基本初等函数第六讲函数综合及其应用答案部分1 A 【解析】解法一根据题意，作出f ( x) 的大致图象，如图所示yy=f(x)O1x当 x 1 时，若要f (x) | xa | 恒成立，结合图象，只需x2x3 ( xa) ，即x2x( 1)22x23 a 0，故对于方程 x23a0 ，4(3a) 0，解得247222 xa ；当 x1 时，若要 f ( x) |xa |恒成立，结合图象，只需xa ，162x2即 x2 a ，又x2 2 ，当且仅当x2，即 x2 时等号成立，所以a 2 ，2x2x2x综上， a 的取值范围是47,2 选 A16解法二 由题意 f ( x) 的最小
2、值为 11 ，此时 x1不等式 f (x) | xa |在 R 上恒成立422等价于 | xa | 1124在 R 上恒成立当 a 23 时，令 x1， | x23 | 831| 11，不符合，排除C、 D；2248391x39|43|11，不符合，排除 B 选 A 当 a时，令 x， |16|81622162D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1 升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油， B 错误， C 中甲车以80 千米 /小时的速度行驶1 小时，甲车每消耗1 升汽油行驶的里
3、程10km,行驶 80km，消耗 8 升汽油， C 错误， D 中某城市机动车最高限速80 千米 /小时由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选 D3 B 【解析】由题意可知pat 2btc 过点（ 3， 0.7），（ 4， 0.8）（ 5， 0.5），代入pat2btc 中可解得 a0.2,b 1.5,c2 ， p0.2t 21.5t20.2(t 3.75)20.8125，当 t3.75分钟时，可食用率最大4 D【解析】设年平均增长率为x ，原生产总值为 a ，则 (1p)(1 q) a a(1x) 2 ，解得x(1 p)(1q)1，故选 D5【解析】ex f (
4、x)ex2 x( e) x 在 R 上单调递增，故 f (x)2 x 具有性质；2 ex f (x)ex3 x( e)x 在 R 上单调递减，故f (x) 3x 不具有性质；3 ex f (x)exx3 ，令 g ( x)exx3 ，则 g (x)exx3ex 3x2x2 ex (x2) ，当 x2 时， g x0 ，当 x2 时， g x0 ，ex f ( x)exx3 在,2 上单调递减，在2,上单调递增，故 fxx3 不具有性质； ex f (x) ex ( x22) ，令 g xex x22 ，则 g ( x) ex( x22)ex 2x ex ( x 1)21 0，ex f ( x)
5、ex( x22)在 R 上单调递增，故f (x)x22 具有性质68【解析】由于f (x) 0,1)，则需考虑 1x10的情况，在此范围内， xQ 且 xD 时，设 xq , p, qN * , p2 ，且 p, q 互质，p若 lg x Q ，则由 lg x(0,1) ，可设 lg xn , m, nN* ,m 2 ，且 m, n 互质，mnqnqm因此10m10()，则p，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，p因此 lg xQ ，因此 lg x 不可能与每个周期内xD 对应的部分相等，只需考虑 lg x 与每个周期 xD 的部分的交点，画出函数图象， 图中交点除外(1,0) 其他交点横坐标
6、均为无理数，属于每个周期 xD 的部分，且 x 1 处 (lg x)111 附近仅有一个交点，x ln101，则在 xln10因此方程 f ( x) lg x0 的解的个数为 8415【解析】如图连接OE交 AC于G ，由题意 OEAC ，设等边三角形ABC 的边7长为 x （ 0x 53x ， GE53），则 OGx 66EAGFOCBD由题意可知三棱锥的高hGE 2OG2(53x) 2(3x)2255 3x663底面 S ABC3 x2 ，4三棱锥的体积为 V13 x225 53 x155x43 x5，343123设 h(x)5x43 x5 ，则 h ( x)20x353 x4 （ 0x5
7、），33令 h (x)0 ，解得 x43 ，当 x(0,43) 时， h ( x)0 ， h(x) 单调递增；当 x(4 3,5) 时， h ( x)0 ， h(x) 单调递减，所以 x4 3 是h( x) 取得最大值h(43)(43) 4所以 V15h(4 3)15(4 3)2415 max1212x33x, x0 ，当 x2，(,1).【解析】若 a0 ，则f ( x)0时，2x 0 ；82x, x 0当 x ,0时， f( x) 3x233(x1)( x1)，所以函数f ( x) 在 (,1)上单调递增，在 (1,0 上单调递减，所以函数f ( x) 在 (,0 上的最大值为f (1)2
8、 综上函数f ( x) 的最大值为 2函数 yx33x 与 y2x 的大致图象如图所示y32121O12312若 f ( x) 无最大值，由图象可知2a2 ，即 a19 24【解析】由题意得eb192，即eb192，所以该食品在 33 的保鲜时间是e22 k be11k1482ye33k b(e11k )3 eb( 1)3 19324 210 (210,) 【解析】函数 g (x) 的定义域为 h( x) g( x)fx ，1,2 ，根据已知得2所以 h(x)=2 f (x) g( x)6x2b4x2 ， h( x)g( x) 恒成立，即 6x 2b4x24x2，令 y3xb ， y4x2，则
9、只要直线 y3xb在半圆 x2y24( y 0)上方即可，由| b |2 ，解得 b2 10 （舍去负值），故实10数 b 的取值范围是(2 10,) 11 160【解析】设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长x m ，因为无盖长方体的容积为 4m3 ，高为 1m ，所以长方体的底面矩形的宽为4 m ，依题意，得xy 20410(2x24) 8020( x4)80202 x4160xxx12f ( x)A函数yf (x)， xD 的值域【解析】对于，根据题中定义，为 R ，由函数值域的概念知，函数yf ( x) ， xD 的值域为 RbR, aDf (a)b ，所以正确； 对于，例如函
10、数 f ( x)( 1)|x| 的值域 (0,1包含于区间 1,1，2所以 f ( x)B ，但 f ( x) 有最大值 l，没有最小值，所以错误；对于，若f (x)g( x)B ，则存在一个正数M 1 ，使得函数 f ( x)g(x)B 的值域包含于区间 M1,M1 ，所以M1 f ( x)g (x) M 1 ，由 g (x)B 知，存在一个正数 M 2 ，使得函数 g( x) 的值域包含于区间M2,M2，所以M 2 g (x) M 2 ，亦有M 2 - g( x) M 2 ，两式相加得( M 1M 2 ) f ( x) M 1M 2 ，于是 f ( x)B ，与已知“ . f ( x) A
11、”矛盾，故f ( x)g (x) B ，即正确；对于，如果a0 ，那么 x, f (x)，如果 a0 ，那么 x2, f ( x)，所以 f ( x) 有最大值，必须 a 0 ，此时 f ( x)x在区间 (2,) 上，有1 f ( x) 1，x2122所以 f ( x)B ，即正确，故填13【解析】 (1) 当 0 x 30时， f ( x)3040 恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；当 30x 100 时，若 40f ( x) ，即 2x18009040，解得 x20（舍）或 x45；x当 45x100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(
12、2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为 nx% ，乘公交人数为 n (1x%) 30 n x%40 n (1 x%) ,0x 30g(x)n因此人均通勤时间(2 x 180090) n x% 40 n (1x%)，xn,30x 10040x ,0x 30整理得： g( x)10，1 ( x32.5)236.875,30x 10050则当 x(0,30(30,32.5 ，即 x(0,32.5 时， g (x) 单调递减；当 x(32.5,100)时， g(x) 单调递增实际意义：当有32.5% 的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短适当的增加自驾比例， 可以充分的利用道路交通，
13、实现整体效率提升； 但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降14【解析】 (1) 连结 PO 并延长交 MN 于 H ，则 PH MN ，所以 OH =10 PDCGO H E KMAB N过O作OE BC于E，则 OEMN ，所以COE，故 OE40cos， EC40sin，则矩形 ABCD 的面积为 240cos(40sin10) 800(4sincoscos) ，CDP 的面积为1 2 40cos (4040sin) 1600(cossincos ) 2过 N 作 GN MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于 G 和 K ，则 GKKN10 令 GOK0 ，则 sin 01(0
14、,) ，02 )46当0 ,时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以 sin的取值范围是 1 ,1) 4答：矩形 ABCD 的面积为 800(4sincoscos ) 平方米，CDP 的面积为1600(cossincos) ， sin1的取值范围是 ,1)4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k0) ，则年总产值为4k800(4sincoscos)3k 1600(cossincos )8000k (sincoscos) ，0 ,2) 设 f ()sincoscos，0 ,2) ，则 f()cos2sin2sin(
15、2sin 2sin1)(2sin1)(sin 1) 令 f()0，得6，当(0 ,) 时， f ()0 ，所以 f() 为增函数；6当(,) 时， f ()0 ，所以 f () 为减函数，62因此，当) 取到最大值6时， f (答：当6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大15【解析】（ 1）由log 2150，得 151 ，xx解得 x,10,4（2） 1a a 4 x2a 5 ， a 4 x2a 5 x 1 0 ，x当 a4时， x1，经检验，满足题意当 a3时， x1x21，经检验，满足题意当 a3 且 a4 时， x11， x21 ， x1 x2 a4x1 是原方程的解当且仅当1a0 ，
16、即 a2；x1x2 是原方程的解当且仅当10 ，即 a1ax2于是满足题意的a1,2 综上， a 的取值范围为1,23,4（3）当 0x1x2 时，1a1a， log 21alog 21a ，x1x2x1x2所以 fx在 0,上单调递减函数 fx在区间 t ,t1上的最大值与最小值分别为ft， ft1f tft1log 21alog 2 t1a1即at2a1 t10 ，t1对任意 t1 ,1成立2因为 a0，所以函数 yat2a1 t1在区间1,1上单调递增，2t1时， y 有最小值3 a1，由3 a10 ，得 a2242423故 a 的取值范围为2,316【解析】（ 1）由题意知，点，的坐标
17、分别为5,40， 20,2.5a40a1000a25b将其分别代入y，得，解得x2ab0b2.5400b21）知， y1000（ 5x20），则点的坐标为t ,1000，（ ）由（x2t2设在点处的切线 l 交 x ， y 轴分别于，点，y2000，x3则 l 的方程为 y10002000xt，由此得3t ,0，0, 3000t 2t32t 2224 106故 ft3t30003t2， t5,202t 22t 4设 gtt24 106，则 gt2t16106令 gt0，解得t10 2t 4t5当 t5,10 2时， gt0 ， g t是减函数；当 t102, 20时， gt0， gt 是增函数
18、从而，当 t102 时，函数 gt有极小值，也是最小值，所以g t min300，此时 ftmin153 答：当 t102 时，公路 l 的长度最短，最短长度为153 千米17【解析】（）因为蓄水池侧面积的总成本为100 2rh200rh 元，底面的总成本为160 r 2 元，所以蓄水池的总成本为（200rh 160r 2 ）元 .又题意据 200rh160r 212000，所以 h1(300 4r 2 ) ，5r从而 V (r )r 2 h(300r4r 3 ) 因 r0 ，又由 h0 可得 r5 3 ，5故函数 V (r ) 的定义域为(0,53) .（）因 V ( r )5(300 r4
19、r 3) ，故 V (r )(30012r 2 ) 令 V(r )0，5解得 r15,r25 （因 r25 不在定义域内，舍去） .当 r(0,5) 时， V ( r )0 ，故 V (r ) 在 (0,5) 上为增函数；当 r(5,53)时， V (r )0 ，故 V (r ) 在 (5,5 3) 上为减函数 .由此可知， V ( r ) 在 r 5 处取得最大值，此时h8 即当 r5 ， h8 时，该蓄水池的体积最大18【解析】（ 1）当 b1,c1, n 2时， f ( x)xnx1 f ( 1) f (1)( 1n1 )10 ， f (x) 在 ( 1 ,1) 内存在零点212221又当 x(,1) 时， f (x)nxn1 10 ， f ( x) 在 (,1) 上是单调递增的，22 f ( x) 在区间 ( 1 ,1) 内存在唯一的零点；2（ 2）解法一由题意知1剟 f ( 1) 1,0 剟b c 2,由图像知，b3c 在点剟即剟f (1)1,2bc 0,1(0,2) 取得最小值6 ，在点