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1、2222p 2p 2pF 0，pF 0，9.7最新考纲1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在 刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方 程及简单几何性质.抛物线考情考向分析抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的 综合问题是命题的热点题型既有小巧灵活 的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2px(p0)y 2px (p0)x 2py(p0)x 2py (p0)图形顶点
2、坐标p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离O(0,0)对称轴x 轴y 轴焦点坐标F ，0F ，0 2 2离心率e1准线方程范围开口方向px2x0，yR 向右px2x0，yR 向左py2y0，xR 向上py2y0，xR 向下2422 22222222222概念方法微思考1若抛物线定义中定点 F 在定直线 l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示 过点 F 且与 l 垂直的直线2直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有 一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请
3、在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )a(2)方程 yax (a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 ，0 ，准线方a程是 x .( )4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( )p p(4)AB 为抛物线 y 2px(p0)的过焦点 F ，0 的弦，若 A(x ，y )，B(x ，y )，则 x x ，1 1 2 2 1 2 4y y p ，弦长|AB|x x p.( )1 2 1 2(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x 2ay(a0)的通
4、径长为 2a.( )题组二 教材改编2P61 例 4过抛物线 y 4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x ，y )，Q(x ，y )两点，如果 x1 1 2 2 1x 6，则|PQ|等于( )2A9B8C7D6答案 B解析 抛物线 y 4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.根据题意可得，|PQ |PF|QF| x 1x 1x x 28.1 2 1 23P63T1已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物 线的标准方程为_答案 y 8x 或 x y解析 设抛物线方程为 y mx(m0)或 x my(m0)将 P(2，4)代入，分别得方程为 y 8x 或
5、 x y.222 22222222224P64A 组 T3若抛物线 y 4x 的准线为 l，P 是抛物线上任意一点，则 P 到准线 l 的距离 与 P 到直线 3x4y70 的距离之和的最小值是( )13 14A2B. C. D35 5答案 A解析 由抛物线定义可知点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离，由抛物线 y 4x 及直线方程 3x4y70 可得直线与抛物线相离点 P 到准线 l 的距离与点 P 到直线 3x|37|4y70 的距离之和的最小值为点 F(1,0)到直线 3x4y70 的距离，即 2.故选3 4A.题组三 易错自纠5设抛物线 y 8x 上一点 P 到 y
6、 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( )A4C8答案 B解析 如图所示，B6D12抛物线的准线 l 的方程为 x2，F 是抛物线的焦点，过点 P 作 PAy 轴，垂足是 A，延长PA 交直线 l 于点 B，则|AB|2.由于点 P 到 y 轴的距离为 4，则点 P 到准线 l 的距离|PB|4 26，所以点 P 到焦点的距离|PF|PB|6.故选 B.6已知抛物线 C 与双曲线 x Ay 2 2xCy 4xy1 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是( ) By 2xDy 4 2x答案 D解析 由已知可知双曲线的焦点为( 2，0)，( 2，0)设抛物线方程为 yp2
7、px(p0)，则 2，2所以 p2 2，所以抛物线方程为 y 4 2x.故选 D.22 2 222 2 2 2222 27设抛物线 y 8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_答案1,1解析 Q(2,0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线 l 的方程为 yk(x2)， 代入抛物线方程，消去 y 整理得 k x (4k 8)x4k 0，由 (4k 8) 4k 4k 64(1k )0，解得1k1.题型一 抛物线的定义和标准方程命题点 1 定义及应用例 1 设 P 是抛物线 y 4x 上的一个动点，若 B(3,2)，
8、则|PB|PF|的最小值为_ 答案 4解析 如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P ，1则|P Q|P F|.1 1则有|PB|PF|P B |P Q|BQ|4，1 1即|PB|PF |的最小值为 4.引申探究1若将本例中的 B 点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF |的最小值解由题意可知点 B(3,4)在抛物线的外部|PB|PF |的最小值即为 B，F 两点间的距离，F(1,0)，|PB|PF |BF|4 2 2 5，即|PB|PF |的最小值为 2 5.22 22222222222 MM22 2 22222222若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为 y 4x，直线
9、 l 的方程为 xy50，在抛物 线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d ，到直线 l 的距离为 d ，求 d d 的最小值1 2 1 2解由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)点 P 到 y 轴的距离 d |PF|1，1所以 d d d |PF|1.1 2 2易知 d |PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离， 2故 d |PF|的最小值为 2|15| 1 (1)3 2，所以 d d 的最小值为 3 21.1 2命题点 2 求标准方程例 2 设抛物线 C：y 2px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5，若以 MF 为直径的圆 过点(0,2)，则 C 的标准方程为( )A
10、y 4x 或 y 8xBy 2x 或 y 8xCy 4x 或 y16xDy 2x 或 y16x答案 C解析 由题意知，Fp p p ，0 ，抛物线的准线方程为 x ，则由抛物线的定义知，x 5 ，2 M 25 y 5 y 25设以 MF 为直径的圆的圆心为 ， ，所以圆的方程为 x y ，又因为圆过4p点(0,2)，所以 y 4，又因为点 M 在 C 上，所以 162p 5 ，解得 p2 或 p8，所以抛M物线 C 的标准方程为 y 4x 或 y 16x，故选 C.思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关 “看到准线想 焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦
11、点的弦有关问题的重要途径(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程 的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程跟踪训练 1(1)如果 P ，P ，P 是抛物线 C：y1 2 n4x 上的点，它们的横坐标依次为 x ，x ，1 2x ，F 是抛物线 C 的焦点，若 x x x 10，则|P F |P F|P F|等于( ) n 1 2 n 1 2 nAn10 Bn20222222C2n10D2n20答案 A解析 抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为 x1，由抛物线的定义，可知|P F|x 1，|P F|1 1 2x 1，2故|P F|
12、P F|P F|n10.1 2 n(2)如图所示，过抛物线 y 2px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C， 若|BC|2|BF |，且|AF|3，则此抛物线的标准方程为( )3 Ay x29 Cy x2By 9xDy 3x答案 D解析 分别过点 A，B 作 AA l，BB l，且垂足分别为 A ，B ，由已知条件|BC|2|BF |，1 1 1 1得|BC|2|BB |，1所以BCB 30.1又|AA |AF|3，1所以|AC|2|AA |6，1所以|CF|AC|AF |633， 所以 F 为线段 AC 的中点1 3故点 F 到准线的距离为 p |AA |
13、，2 1 2故抛物线的标准方程为 y 3x. 题型二 抛物线的几何性质222AOB21 222 2例 3(1)过抛物线 y 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，若|AF|3， 则AOB 的面积为( )A.2 3 2B. 2C. D2 2 2 2答案 C解析 设 A(x ，y )，B(x ，y )(y 0，y 0)，则焦点坐标为 ，0 ，将 x 代入 y 2px 可得 y2p，|AB|12，即 2p12，所以 p6.因为点 P 在准线上，所以点 P 到 AB 的距离为 p6，所 PAB 1的面积为 61236.2题型三 直线与抛物线例 4 设抛物线的顶点在坐标原
14、点，焦点 F 在 y 轴正半轴上，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 x 轴的距离是 3.(1) 求抛物线的标准方程；(2) 设直线 m 在 y 轴上的截距为 6，且与抛物线交于 P，Q 两点连接 QF 并延长交抛物线的 准线于点 R，当直线 PR 恰与抛物线相切时，求直线 m 的方程解(1)设抛物线的方程是x 2py(p0)，A(x ，y )，B(x ，y )，由抛物线定义可知y y p8，1 1 2 2 1 2又 AB 的中点到 x 轴的距离为 3，y y 6，p2，1 2抛物线的标准方程是 x 4y.(2)由题意知，直线 m 的斜率存在，设直
15、线 m：ykx6(k0)，P(x ，y )，Q(x ，y )，3 3 4 4ykx6，由 消去 y 得 x 4kx240，x4yx3x44k， (*)xx24.易知抛物线在点 P x ， 处的切线方程为23323，12x3241x2322222222sin 22x xy 4 2(xx )， 3x34 x24 令 y1，得 x ，R 2 x3，又 Q，F，R 三点共线，k k ，又 F(0,1)，QF FRx4 11 ，4 x 42 x3即(x 4)(x 4)16x x 0，3 4 3 4整理得(x x ) 4(x x ) 2x x 1616x x 0，3 4 3 4 3 4 3 41 1将(*
16、)式代入上式得 k ，k ，4 21直线 m 的方程为 y x6.2思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到 根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点(设焦点在 x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|x x p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式1 2(3) 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用 “设而不 求”、“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解(4)设 AB 是过抛物线 y 2px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x ，y )，B(x
17、，y )，则1 1 2 2px x ，y y p .1 2 4 1 22p弦长|AB|x x p ( 为弦 AB 的倾斜角)1 23 以弦 AB 为直径的圆与准线相切4 通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦跟踪训练 3(2018 武汉调研)已知抛物线 C：x 2py(p0)和定点 M(0,1)，设过点 M 的动直线交22 221 221222 2 21 1 1 121 122 2211222x x1 2，2222N N2 2抛物线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线交点为 N. (1)若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值；(2)若ABN
18、 面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程解(1)可设 AB：ykx1，A(x ，y )，B(x ，y )，1 1 2 2将 AB 的方程代入抛物线 C，得x 2pkx2p0，4p k 8p0，显然方程有两不等实根， 则 x x 2pk，x x 2p.1 2 1 2x由 x 2py 得 y ，px x 2则 A，B 处的切线斜率乘积为 1，p p则有 p2.x(2)设切线 AN 为 y xb，px又切点 A 在抛物线 y 上，2px x x xy ，b ，1 2p 2p p 2px xy x .AN p 2px x同理 y x .BN p 2p又N 在 y 和 y 上，AN BNx x y x
19、 ，p 2px x y x ，p 2pxx 解得 N 1 2 2 2p .N(pk，1)|AB |1k |x x | 2 11k4p2k8p，|kx 1y | |pk 2|点 N 到直线 AB 的距离 d ，1k 1kABN2 3222 4m，22m12112221S |AB| d2p(pk 2)2 2p，2 2p4，p2，故抛物线 C 的方程为 x 4y.直线与圆锥曲线问题的求解策略例(12 分)已知抛物线 C：ymx (m0)，焦点为 F，直线 2xy20 交抛物线 C 于 A，B 两 点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.(1) 求抛物线 C 的焦
20、点坐标；(2) 若抛物线 C 上有一点 R(x 2)到焦点 F 的距离为 3，求此时 m 的值；R,(3)是否存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若 不存在，请说明理由规范解答解1(1)抛物线 C：x y，m1它的焦点为 F 0， .2 分(2)|RF|y R14m1 12 3，得 m .4 分 4m 4ymx2，(3)存在，联立方程2xy20，消去 y 得 mx22x20(m0)，依题意，有 (2) 4m(2)8m40 恒成立， 方程必有两个不等实根6 分xx ，设 A(x ，mx2)，B(x ，mx2)，则x x . 1 2 mP 是线段 AB
21、 的中点，(*)22， mm mP 21m 1 m 1 1 22m m2 2212 12mmmm22222222222Px x mx mx 1 2 1 22 2 ，1 1 1即 P ，y ，Q ， ，8 分1 1得QA x ，mx ，QB x ，mx . 若存在实数 m， ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形，则QA QB0， 1 1 1 1即 x x mx mx 0，10 分4 6结合(*)式化简得 40，m m1即 2m 3m20，m2 或 m ，2m0，m2.存在实数 m2， ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形12 分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关
22、于 x 或 y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出 0 时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于 x x ，x x (或 y y ，y y )的关系式，求得结果；1 2 1 2 1 2 1 2第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况1点 M(5,3)到抛物线 yax (a0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是( )Ay12xCy36xBy12x 或 y36x1 1 Dy x 或 y x12 36答案 D1 1解析 分两类 a0，a0)的焦点，且与该抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程
23、 是( )Ay 12xCy 6xBy 8xDy 4x答案 B解析 设 A(x ，y )，B(x ，y )，根据抛物线的定义可知|AB|(x x )p8.又 AB 的中点1 1 2 2 1 2x x到 y 轴的距离为 2， 2，x x 4，p4，所求抛物线的方程为 y 2 1 28x.故选 B.3(2018 辽宁五校联考)抛物线 x 4y 的焦点为 F，过点 F 作斜率为33的直线 l 与抛物线在 y轴右侧的部分相交于点 A，过点 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 H，则AHF 的面积是( ) A4B3 3C4 3D8答案 C解析 由抛物线的定义可得|AF|AH|，AF 的斜率为33，AF 的倾斜
24、角为 30，AH 垂直于准线，mFAH60， AHF 为等边三角形设 A m， ，m0，过 F 作 FMAH 于 M，则在1 m 1 mFAM 中，|AM| |AF|， 1 1 ，解得 m2 3，故等边三角形 AHF 的边长|AH|14，AHF 的面积是 44sin604 3.故选 C.24(2018 江西上高二中、丰城中学联考)抛物线 C：y 2px(p0)的焦点为 F，M 是抛物线 C上的点，若OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆的面积为 36，则 p 等于( ) A2B4C6D8答案 D解析 OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的
25、半径圆的面积为 36，圆的半径为 6.22|BC |1|AF| 11 1|AF|BF| |AF | |BF|AF|BF|222222p22222 p p pm p 322 12222p又圆心在 OF 的垂直平分线上，|OF| ，2p p 6，p8.故选 D.2 45(2018 长春模拟)过抛物线 y 2px(p0)的焦点 F 且倾斜角为 120的直线 l 与抛物线在第一、|AF|四象限分别交于 A，B 两点，则 的值等于( )|BF|1 2 3 4A. B. C. D.3 3 4 3答案 A解析 记抛物线 y2px 的准线为 l，如图，作 AA l，BB l，ACBB ，垂足分别是 A ，B
26、，C，1 1 1 1 1|BB |AA | |BF |AF| |BF | |AF|则 cosABB ，即 cos60 ，由此得 .1 |AB| 2 |BF | 36已知抛物线 C 的顶点是原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过点 F 的直线与抛物线 C 交于 A，B 两点，若OA OB12，则抛物线 C 的方程为( )Ax 8y Cy 8xBx 4y Dy 4x答案 Cy 2px，p解析 由题意，设抛物线方程为 y 2px(p0)，直线方程为 xmy ，联立2xmy ，消去 x 得 y 2pmyp 0，显然方程有两个不等实根设 A(x ，y )，B(x ，y )，则 y y 2pm，y
27、 y p ，1 1 2 2 1 2 1 2得OA OBx x y y my my y y m y y (y y ) y y p 12，1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 4 1 2 4得 p4(舍负)，即抛物线 C 的方程为 y 8x.22223227(2018 新余市第一中学模拟)动点 P 到点 A(0,2)的距离比它到直线 l：y4 的距离小 2， 则动点 P 的轨迹方程为_答案 x8y解析 动点 P 到点 A(0,2)的距离比它到直线 l：y4 的距离小 2，动点 P 到点 A(0,2)的距离与它到直线 y2 的距离相等根据抛物线的定义可得点 P 的轨迹为以 A(0,2)为焦点，
28、 以直线 y2 为准线的抛物线，其标准方程为 x 8y.8(2018 武汉质检)已知 F 是抛物线 y 4x 的焦点，A，B 是抛物线上两点，若AFB 是等边 三角形，则AFB 的边长为_答案 84 3或 84 3解析 由题意可知点 A，B 一定关于 x 轴对称，且 AF，BF 与 x 轴夹角均为 30，由于 y 4x 3y (x1)，的焦点为(1,0)，由y 4x，化简得 y 4 3y40，解得 y 2 34，y 2 34，1 2所以AFB 的边长为 84 3或 84 3.2222 2222222222222222222 2222229已知直线 l：ykxt 与圆：x(y1) 1 相切，且与
29、抛物线 C：x4y 交于不同的两点M，N，则实数 t 的取值范围是_ 答案t0 或 t0，得 t0或 t0，得 t0 或 t0 或 t0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点， 若|AF|2|BF|6，则 p_.答案 4p解析 设 AB 的方程为 xmy ，A(x ，y )，B(x ，y )，且 x x ，将直线 AB 的方程代入抛2 1 1 2 2 1 2物线方程得 y 2pmyp 0，所以 y y p ，4x x p .设抛物线的准线为 l，过 A 作 ACl，1 2 1 2垂足为 C，过 B 作 BDl，垂足为 D，因为|AF|2|BF|6，根据抛物线的定义知，|AF|AC| p
30、px 6，|BF|BD |x 3，所以 x x 3，x x 9p，所以(x x ) (x x ) 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 24x x p ，即 18p720，解得 p4.1 211已知过抛物线 y 2px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x ，y )，B(x ，y )(x 0，方程必有两个不等实根5p所以 x x ，由抛物线定义得1 2 45p|AB |x x p p9，1 2 4所以 p4，从而抛物线方程为 y 8x.12(2018 贵阳模拟)过抛物线 C：y 4x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，且|AB|8.(1
31、)求 l 的方程；22 2 2 222222242 1 2 12 2x xy y2 14 4y y22222(2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D，求证：直线 BD 过定点，并求出该点的坐标解(1) 易知点 F 的坐标为 (1,0) ，则直线 l 的方程为 y k(x 1)，代入抛物线方程 y 4x 得k2x2(2k24)x k20，由题意知 k0，且 (2k 4) 4k k 16(k 1)0， 设 A(x ，y )，B(x ，y )，1 1 2 22k 4x x ，x x 1，1 2 k 1 2由抛物线定义知|AB|x x 28，1 22k 46，k 1，即 k1， k直线 l 的方程为 y(x1)(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x ，y )，1 1y y y y直线 BD 的斜率 k ，BD y y2 1 2 14直线 BD 的方程为 yy (xx )，1 12 1即(y y