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1、海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（海淀理科题1）1在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】 C；，该复数对应的点位于第三象限（海淀理科题2）2在同一坐标系中画出函数，的图象，可能正确的是（ ）【解析】 D；在B、C、D三个选项中对应的，只有选项D的图象正确（海淀理科题3）3在四边形中，且，则四边形（ ）A矩形 B菱形 C直角梯形 D等腰梯形【解析】 B；即一组对边平行且相等，即对角线互相垂直；该四边形为
2、菱形（海淀理科题4）4在平面直角坐标系中，点的直角坐标为若以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以是（ ）A B C D【解析】 C；易知，（海淀理科题5）5一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）A B C D 【解析】 A；设该三棱柱底面边长为，高为，则左视图面积为由三视图可得：，解得于是为所求（海淀理科题6）6已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为（ ）A或 B或 C D【解析】 C；，解得因此该等差数列的公差为（海淀理科题7）7已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A B C D【解析】 A；，对应的（海淀理科题
3、8）8已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项现给出以下四个命题： 数列具有性质； 数列具有性质； 若数列具有性质，则； 若数列具有性质，则其中真命题有（ ）A个 B个 C个 D个 【解析】 B； ，都不在数列中，数列不具有性质； 容易验证数列具有性质； 取，则在数列中，而数列中最小的数，因此； 由对的分析可知，由于，不在数列中，因此必然在数列中又，故，于是，等式成立第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分（海淀理科题9）9某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）则这名同学中学
4、习时间在到小时内的人数为 【解析】 30；由，解得于是在这名同学中学习时间在到小时内的人数为（海淀理科题10）10如图，为的直径，且，为的中点，过作的弦，且，则弦的长度为 【解析】 7；由得由已知和相交弦定理得，解得于是（海淀理科题11）11给定下列四个命题： “”是“”的充分不必要条件； 若“”为真，则“”为真； 若，则； 若集合，则其中为真命题的是 （填上所有正确命题的序号）【解析】 ，；（海淀理科题12）12在二项式的展开式中，的系数是，则实数的值为 【解析】 1；由二项式定理，当时，于是的系数为，从而（海淀理科题13）13已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别
5、为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形若，双曲线的离心率的取值范围为则该椭圆的离心率的取值范围是 【解析】 ；如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为，双曲线的半实轴长，半焦距分别为，则，问题转化为已知，求的取值范围设，则，即（海淀理科题14）14在平面直角坐标系中，点集，则（1）点集所表示的区域的面积为_；（2）点集所表示的区域的面积为 【解析】 ；（1） 如左图所示，点集是以为圆心为半径的圆，其表示区域的面积为；（2） 如右图所示，点集是由三段圆弧以及连结它们的三条切线段围成的区域，其面积为三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（海淀理科题15
6、）15（本小题满分13分）已知函数的图象如图所示（）求的值；（）设，求函数的单调递增区间【解析】 （）由图可知，又由得，又，得， （）由（）知：因为所以，即故函数的单调增区间为（海淀理科题16）16（本小题满分13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置 若指针停在区域返券元；停在区域返券元；停在区域不返券 例如：消费元，可转动转盘次，所获得的返券金额是两次金额之和（）若某位顾客消费元，求返券金额不低于元的概率；（）若某位顾客恰好消费元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）求随机变量
7、的分布列和数学期望【解析】 设指针落在、区域分别记为事件、则， （）若返券金额不低于元，则指针落在或区域 即消费元的顾客，返券金额不低于元的概率是（）由题意得，该顾客可转动转盘次随机变量的可能值为，；所以，随机变量的分布列为： 0306090120其数学期望（海淀理科题17）17（本小题满分14分）如图，三棱柱中，侧面底面，且，为中点（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置【解析】 （）证明：因为，且为的中点，所以又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面（）如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系
8、由题意可知，又所以得：，则有：， 设平面的一个法向量为，则有，令，得，所以因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以（）设，即，得所以，得令平面，得，即，得，即存在这样的点，为的中点（海淀理科题18）18（本小题满分13分）已知函数，其中为常数，且（）当时，求在（）上的值域；（）若对任意恒成立，求实数的取值范围【解析】 （）当时，得令，即，解得，所以函数在上为增函数，据此，函数在上为增函数，而，所以函数在上的值域为（）由，令，得，即，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；若，即，易得函数在上为增函数，此时，要使对恒成立，只需即可，所以有，即而，即，所以此时无解若，即，易知函数在上
9、为减函数，在上为增函数，要使对恒成立，只需，即，由和得若，即，易得函数在上为减函数，此时，要使对恒成立，只需即可，所以有，即，又因为，所以综合上述，实数的取值范围是（海淀理科题19）19（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点在椭圆上（）求椭圆的方程；（）过的直线与椭圆相交于、两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程【解析】 （）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆两焦点坐标分别为，又，故椭圆的方程为（）当直线轴，计算得到：，不符合题意当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，由，消去y得显然成立，设，则，又即，又圆的半径所以，化简，得，即，解得所以，故圆
10、的方程为：（）另解：设直线的方程为，由，消去得，恒成立，设，则，所以又圆的半径为所以，解得，所以故圆的方程为：（海淀理科题20）20（本小题满分14分）已知数列满足：，（）求的值；（）设，试求数列的通项公式；（）对于任意的正整数，试讨论与的大小关系【解析】 （），；（）由题设，对于任意的正整数，都有：，数列是以为首项，为公差的等差数列（）对于任意的正整数，当或时，；当时，；当时，证明如下：首先，由，可知时，；其次，对于任意的正整数，时，；时，所以时，事实上，我们可以证明：对于任意正整数，（*）（证明见后），所以此时综上可知：结论得证对于任意正整数，（*）的证明如下：1）当（）时，满足（*）式2）当时，满足（*）式3）当时，于是只须证明，如此递推，可归结为1）或2）的情形，于是（*）得证