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1、 课 题3.1平行四边形（4） 中位线课型练习课教学目标1经历探索、猜想、证明的过程，三角形中位线定理的几种证明方法2能运用综合法证明有关定理的结论。三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”3理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。教学重点掌握和运用三角形中位线定理。教学难点让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。教学方法讲练结合法教 学 内 容 及 过 程备注一、 三角形中位线定理的几种证明方法1： 如图所示，延长中位线DE至F，使 DE=EF，连结CF，则 ，有AD FC，所以FC BD，则四边形BCFD是平行四边形，DF BC。因为所以D
2、E 2：如图所示，过C作 交DE的延长线于F，则 ，有FC AD，那么FC BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF BC。因为 ，所以DE 3：如图所示，延长DE至F，使 ，连接CF、DC、AF，则四边形ADCF为平行四边形，有AD CF，所以FC BD，那么四边形BCFD为平行四边形，DF BC。因为 ，所以DE 4：如图所示，过点E作MNAB，过点A作AMBC，则四边形ABNM为平行四边形，易证，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN，DEBC，即DE。5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线二、合作交流、拓展延伸1、三角形中位线定
3、理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC的中点，线段DE与BC有什么关系？图：如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?图：当ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接
4、叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2.第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。第二，要知道中位线定理的使用形式，如： DE是ABC的中位线 DEBC，题1 如图4.11-7，RtABC，BAC90，D、E分别为AB，BC的中点，点F在CA延长线上，FDAB.(1)求证：AFDE；(2)若AC6，BC10，求四边形AEDF的周长.分析 本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。(1)要证AFDE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证明AEDF是平行四
5、边形.因为DE是三角形的中位线，所以DEAC.又题给条件FDAB，而在RtABC中，因AE是斜边上的中线，故AEEB.从而EABB.于是EABFDA.故得到AEDF.所以四边形AEDF为平行四边形. (2)要求四边形AEDF的周长，关键在于求AE和DE，AEBC5，DEAC3.证明：(1)D、E分别为AB、BC的中点，DEAC，即DEAFRtABC中，BAC90，BEECEAEBBC，EABB又FDAB，EABFDAEADF，AEDF为平行四边形AFDE(2)AC6，BC10，DEAC3，AEBC5四边形AEDF的周长2(AE+DE)2(3+5)16题2 如图，在四边形ABCD中，ABCD，E
6、、F分别是BC、AD的中点，延长BA和CD分别与EF的延长线交于K、H。求证：BKECHE.分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证明的角转移过来，可考虑，连BD，找BD中点G，则EG、FG分别为BCD、DBA的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比作平行线好.证明：连BD并取BD的中点G，连FG、GE在DAB和BCD中F是AD的中点，E是BC的中点FGAB且FGAB，EGDC且EGDCBKEGFE，CHEGEFABCD FGEGGFEGEF BKECHE题3 如图，
7、ABCD为等腰梯形，ABCD，O为AC、BD的交点，P、R、Q分别为AO、DO、BC的中点，AOB60。求证：PQR为等边三角形.分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边中线定理。利用条件可知PRAD，能否把PQ、RQ与AD(BC)联系起来成为解题的关键，由于AOB60，ODOC，则ODC为等边三角形，再由R为OD中点，则BRC90，QR就为斜边BC的中线.证明：连RC，四边形ABCD为等腰梯形且ABDCADBC ADCBCD又DC为公共边 ADCBCDACDBDC ODC为等腰三角形DOCAOB60 ODC为等边三角形R为OD的中点ORC90DRC(等腰三角形底边上
8、的中线也是底边上的高)Q为BC的中点 RQBCAD同理PQBCAD在OAD中 P、R分别为AO、OD的中点PRAD PRPQRQ故PRQ为等边三角形三、随堂练习证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略：1，长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。（角也亦然）2，短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。（角也这样）3，加倍法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，可加倍延长线段，延长后使之为其2倍，再证明与另一条线段相等。
9、（角也这样）4，折半法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，也可取长线段的中点，再证明其中之一与另一条线段相等。（角也可用）5，代数运算推理法：这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。6，相似三角形及比例线段法：利用相似三角形的性质进行推理论证。题1（短延长）：如图所示，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点。（1）若PAQ=45，求证：PB+DQ=PQ。（2）若PCQ的周长等于正方形周长的一半，求证：PAQ=45 证明：（1）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE。 四边形ABCD是正方形 ABE=ABC=D=90，AB=AD 在ABE和ADQ中 AB=AD，AB
10、E=D，BE=DQ （2）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE 由（1）可知 题2（长截短）：如图，在ABC中，B=2C，A的平分线AD交BC于D。求证：AC=AB+BD证明：在AC上截取OA=AB，连接OD， 3=4，AD=AD ABDAOD， BD=DOB=1=2+C= 2C 2=C OD=OC=BD AC=OA+OC=AB+BD 四、课堂总结 要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长的线段的一半。上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”，这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。五、布置作业课本习题3.3 1、2、3、4教学后记：