历 最近十年 (新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(含模拟试题及解答).doc

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1、新 知 杯 模 拟 试 题一、 填空题(第1-5小题每题8分,第6-10题每题10分,共90分)1. 对于任意实数,定义=,已知,则实数的值是_。2. 在三角形ABC中,是大于1的整数,则 。3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是 。4. 已知关于的方程有实根,并且所有实根的乘积为-2,则所有实根的平方和为 。5. 如图,直角三角形中,为斜边上一动点。,,则线段长的最小值为 。6. 设是方程的两个根,是方程的两个根,则的值为 。7. 在平面直角坐标系中有两点,,函数的图像与线段延长线相交(交点不包括),则实数的取值范围是 。 8. 方程的所有整数解有 组。9.

2、如图,四边形中,。设延长线交于,则_. 10. 如图,在直角梯形中,,点在上,使得是正三角形,则与的面积和是_。二、(本题15分)如图,中,,点在上,使得 并且求的长。 三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数:,其中数字可以是0。四、(本题15分)正整数满足以下条件:任意个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的。五、(本题15分)若两个实数使得都是有理数,称数对是和谐的。 试找出一对无理数,使得是和谐的; 证明:若是和谐的,且是不等于1的有理数,则都是有理数; 证明:若是和谐的,且是有理数,则都是有理数。新知杯模拟试题(参考答案)一、填空题(第1-5小题每题

3、8分,第6-10题每题10分,共90分)1. 对于任意实数,定义=,已知,则实数的值是_。【答案】4或【解析】,所以或2. 在三角形ABC中,是大于1的整数,则 。【答案】0【解析1】若,即矛盾若,则,即矛盾,【解析2】是大于1的整数,所以,此时,即,即,即3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是 。【答案】50,94【解析】设两边长分别为和,则,所以周长为或4. 已知关于的方程有实根,并且所有实根的乘积为-2,则所有实根的平方和为 。【答案】5【解析】原方程可化为,即5. 如图,直角三角形中,为斜边上一动点。,,则线段长的最小值为 。【答案】【解析】设,则,所以

4、,当,时,最小。6. 设是方程的两个根,是方程的两个根,则的值为 。【答案】2772【解析】,7. 在平面直角坐标系中有两点,,函数的图像与线段延长线相交(交点不包括),则实数的取值范围是 。 【答案】【解析】,8. 方程的所有整数解有 组。【答案】72【解析】正整数解6+3+3+6=18组,非正整数解183=54组,共72组9. 如图,四边形中,。设延长线交于,则_.【答案】21【解析】作,易知,四边形为平行四边形,是等边三角形,即为等腰三角形,,10. 如图,在直角梯形中,,点在上,使得是正三角形,则与的面积和是_。【答案】【解析】将图补成正方形,易知,令,则,由勾股定理得,解得,二、(本

5、题15分)如图,中,,点在上,使得 并且求的长。 【答案】。【解析】设,则作的平分线交于点,BE,则,所以,由角平分线定理可知,因此解得。三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数:,其中数字可以是0。【答案】【解析】设,则由题意得,即,因为为整数,且在100内11的倍数只有9个,经验证,时,时,解得,因此,四、(本题15分)正整数满足以下条件:任意个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的。【解析】由于这14个合数都小于2009且两两互质,因此。而n=15时,我们取15个不超过2009的互质合数的最小素因子则必有一个素数不失一般性,设由于是合数的最小素因子,因此

6、矛盾。所以,任意15个大于1且不超过2009的互质整数中至少有一个素数。综上所述,n最小是15。五、(本题15分)若两个实数使得都是有理数,称数对是和谐的。 试找出一对无理数,使得是和谐的; 证明:若是和谐的,且是不等于1的有理数,则都是有理数; 证明:若是和谐的,且是有理数,则都是有理数。【解析】 不难验证是和谐的。 由已知是有理数,是有理数,所以,解得是有理数,所以也是有理数。若,则是有理数,因此也是有理数。若,由已知是有理数,也是有理数,因此,故是有理数,因此也是有理数。2013上海市初中数学竞赛(新知杯)(2013年12月8日 上午9:0011:00)题 号一(18)二总 分91011

7、12得 分评 卷复 核1、 填空题(每题10分)1. 已知,则2. 已知,3. 已知在上且过点作的平行线交于,的延长线交的延长线于,则 4. 已知凸五边形的边长为为二次三项式;当或者时,当时,当时,则5. 已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15,则这个三位数为_.6. 已知关于的一元二次方程对于任意的实数都有实数根,则的取值范围是_.7. 已知四边形的面积为2013,为上一点,的重心分别为,那么的面积为_.8. 直角三角形斜边上的高,延长到使得,过作交于,交于,则二、解答题(第9题、第10题15分,第11题、第12题20分)9.已知,四边形是正方形且边长为1,求的最大值.10.

8、已知是不为0的实数,求解方程组: 11. 已知:为整数且,求的最小值.12. 已知正整数满足求所有满足条件的的值.答案:1. 2.60 3. 4.0 5.735 6. 7. 8. 9. 10.经检验原方程组的解为:,.11.【解析】满足题设等式,下证当时,不存在满足等式要求的整数,不妨设,(1) 当时,当中有负整数时,必为,若不满足条件,当无解.不可能,当中无负整数时,显然,容易验证等式不可能成立.(2) 当时,当中有负整数时,必为显然等式不成立,当中无负整数时,同上容易验证等式不可能成立.(3) 当时,均为正整数,同上易验证等式不可能成立.综上所述,的最小值为5.12.2013上海新知杯初中

9、数学竞赛答案2012年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷(2012年12月9日 上午9:0011:00)题 号一(18)二总 分9101112得 分评 卷复 核解答本试卷可以使用科学计算器一、 填空题(每题10分,共80分)1. 已知的边上的高为,与边平行的两条直线将的面积三等分,则直线与之间的距离为_。2. 同时投掷两颗骰子,表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率,则 的值为_。3. 在平面直角坐标系中,已知点(,),点在直线上,使得是等腰三角形,则点的坐标是_。4. 在矩形中,。点分别在上,使得。是矩形内部的一点,若四边形的面积为,则四边形的面积等于_。5. 使得是素数的整数共有_个。6.

10、平面上一动点到长为的线段所在直线的距离为,当取到最小值时,_。7. 已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数,且这三个数使得多项式(是常数)的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数,则这个梯形的面积为_。8. 将所有除以余和除以余的正整数从小到大排成一列,设表示这数列的前项的和,则_。(这里表示不超过实数的最大整数。)二、 解答题(第9,10题,每题15分,第11,12题,每题20分,共70分)9. 如图,是正方形内一点,过点分别作的垂线,垂足分别为。已知,求证:或者,或者。10. 解方程组。11. 给定正实数,对任意一个正整数,记,这里,表示不超过实数的最大整数。(1) 若,求的取值

11、范围;(2) 求证:。12. 证明:在任意个互不相同的实数中,一定存在两个数,满足2011年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷(2011年12月4日 上午9:0011:00)题号一(18)二总分9101112得分评卷复核解答本试卷可以使用科学计算器一、 填空题(每题分,共分)1. 已知关于的两个方程:,其中。若方程中有一个根是方程的某个根的倍,则实数的值是_。2. 已知梯形中,/,则梯形的面积为_。3. 从编号分别为,的张卡片中任意抽取张,则抽出卡片的编号都大于等于的概率为_。4. 将个数,排列为,使得的值最小,则这个最小值为_。5. 已知正方形的边长为,分别是边,上的点,使得,线段与相交于点,

12、则四边形的面积为_。6. 在等腰直角三角形中,是内一点,使得,则边的长为_。7. 有名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场),规定获胜得分,平局得分,负得分。比赛结束后,发现每名选手的得分各不相同,且第名的得分是最后五名选手的得分和的,则第名选手的得分是_。8. 已知,都是质数(质数即素数,允许,有相同的情况),且是个连续正整数的和,则的最小值为_。二、 解答题(第,题,每题分,第,题,每题分,共分)9. 如图,矩形的对角线交点为,已知,角的平分线与边交于点,直线与相交于点,直线与相交于点M。求证:。解10. 对于正整数,记。求所有的正整数组,使得,且。解11. (1)证明:存在整数,满

13、足;(2)问:是否存在整数,满足证明你的结论。解12. 对每一个大于的整数,设它的所有不同的质因数为,对于每个,存在正整数,使得,记例如,。(1)试找出一个正整数,使得;(2)证明:存在无穷多个正整数,使得。解2010年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷一、填空题(第15小题,每题8分,第610小题,每题10分,共90分)1. 已知,则_。2. 满足方程的所有实数对为_。3. 已知直角三角形ABC中,CD为的角平分线,则_。4. 若前2011个正整数的乘积能被整除,则正整数的最大值为_。5. 如图,平面直角坐标系内,正三角形ABC的顶点B,C的坐标分别为(1,0),(3,0),过坐标原点O的一条

14、直线分别与边AB,AC交于点M,N,若OM=MN,则点M的坐标为_。6. 如图,矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,使得AE=2,BF=5,DG=3,AH=3,点O在线段HF上,使得四边形AEOH的面积为9,则四边形OFCG的面积是_。7. 整数满足,且关于的一元二次方程的两个根均为正整数,则_。8. 已知实数满足且。设是方程的两个实数根,则平面直线坐标系内两点之间的距离的最大值为_。9. 如图,设ABCDE是正五边形,五角星ACEBD(阴影部分)的面积为1,设AC与BE的交点为P,BD与CE的交点为Q,则四边形APQD的面积等于_。10. 设

15、是整数,且能被9整除,则的最小值是_,最大值是_。二、 解答题(每题15分,共60分)11. 已知面积为4的的边长分别为,AD是的角平分线,点是点C关于直线AD的对称点,若与相似,求的周长的最小值。12. 将1,2,9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中,使得7个三位数和都能被11整除,求三位数的最大值13. 设实数满足,且,求的最大值和最小值14. 称具有形式的数为“好数”,其中都是整数(1)证明:100,2010都是“好数”。(2)证明:存在正整数,使得是“好数”,而不是“好数”。2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题(2009年12月6日)一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小

16、题每题10分,共90分)1、对于任意实数a,b,定义,ab=a(a+b) +b, 已知a2.5=28.5,则实数a的值是 。 2、在三角形ABC中,其中a,b是大于1的整数,则b-a= 。 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是 。4、已知关于x的方程有实根,并且所有实根的乘积为2,则所有实根的平方和为 。5、如图,直角三角形ABC中, AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点。PEBC,PFCA,则线段EF长的最小值为 。6、设a,b是方程的两个根,c,d是方程的两个根,则(a+ c)( b + c)( a d)( b d)的值 。7在平面直角坐标系中有两点P(

17、-1,1) , Q (2,2),函数y=kx1 的图像与线段PQ 延长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是 。8方程xyz=2009的所有整数解有 组。9如图,四边形ABCD中AB=BC=CD,ABC=78,BCD=162。设AD,BC延长线交于E ,则AEB= 。 10、如图,在直角梯形ABCD中,ABC=BCD= 90,AB=BC=10,点M在BC上,使得ADM是正三角形,则ABM与DCM的面积和是 。二、(本题15分)如图,ABC 中ACB =90,点D在CA上,使得CD=1, AD=3,并且BDC=3BAC,求BC的长。三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数,其中数字c可

18、以是0。四、(本题15分)正整数n满足以下条件:任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的n。五、(本题15分)若两个实数a,b,使得,与都是有理数,称数对(a,b)是和谐的。试找出一对无理数,使得(a,b)是和谐的;证明:若(a,b)是和谐的,且a+b是不等于1的有理数,则a,b都是有理数;证明:若(a,b)是和谐的,且是有理数,则a,b都是有理数;2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10小题每题10分,共90分)1、对于任意实数a,b,定义,ab=a(a+b) +b, 已知a2.5=28.5,则实数a的值是 。

19、 【答案】4,2、在三角形ABC中,其中a,b是大于1的整数,则b-a= 。 【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是 。【答案】50,944、已知关于x的方程有实根,并且所有实根的乘积为2,则所有实根的平方和为 。【答案】55、如图,直角三角形ABC中, AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点。PEBC,PFCA,则线段EF长的最小值为 。【答案】6、设a,b是方程的两个根,c,d是方程的两个根,则(a+ c)( b + c)( a d)( b d)的值 。【答案】27727在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2),函数y=kx1 的

20、图像与线段PQ 延长线相交(交点不包括Q),则实数k的取值范围是 。【答案】8方程xyz=2009的所有整数解有 组。【答案】729如图,四边形ABCD中AB=BC=CD,ABC=78,BCD=162。设AD,BC延长线交于E ,则AEB= 。【答案】21 10、如图,在直角梯形ABCD中,ABC=BCD= 90,AB=BC=10,点M在BC上,使得ADM是正三角形,则ABM与DCM的面积和是 。【答案】二、(本题15分)如图,ABC 中ACB =90,点D在CA上,使得CD=1, AD=3,并且BDC=3BAC,求BC的长。解:设BC=x,则,如图,作ABD平分线BE,则,因此。由角平分线定

21、理可知。因此,解得三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数,其中数字c可以是0。解:设,,则,故有整数解,由于10 x 100,故y0。因此是完全平方数,可设,故,0 50- t1,使所有满足题设的三个质数a、b、c的和a+b+c都能被n整除;(2)求上一小题中n的最大值。四、(本题20分)如图:在RtABC中,CACB,C=90,CDEF、KLMN是ABC的两个内接正方形,已知SCDEF=441,SKLMN=440,求ABC的三边长。2005年(宇振杯)上海市初中数学竞赛参考解答一、 填空题1、6,31; 2、4648; 3、18; 4、5; 5、;6、 7、18; 8、 9、 10、2

22、9二、设矩形ABCD的相邻两边长为m、n,则按题意有m+n=,,因此m、n是二次方程的两正根。 上述二次方程有两正根的条件是即当时,满足条件的矩形ABCD存在;当时,满足条件的矩形ABCD不存在。三、(1)c=2a+5b, a+b+c=3a+6b=3(a+2b) 又a、b、c都是大于3的质数,故引(a+b+c),即存在正整数n1(例如n=3),使 (2)a、b、c都是大于3的质数 a、b、c都不是3的倍数 若,例,这与C不是3的倍数矛盾同理,也将导致矛盾因此,只能,于是当为质数,a+b+c=99=911;当为质数,a+b+c=135=915;在所有中,最大为9四、论正方形CDEF的边长为x,正

23、方形KLMN的边长为y,则按题设x=21,y=,设BC=a,CA=b,AB=c,则a2+b2=c2注意到 又由AKLABC得AL= 同理,MB=故 于是将它代入式,可得 进而 于是a、b是二次方程的两根 ba,2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题一、填空题(前5题每题6分,后5题每题8分,共7 O分)1若关于x的二次方程x2+(3a-1)x+a+8=0有两个不相等的实根x1、x2,且x11,则实数a的取值范围是 2方程=3的解是 3一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的2倍;又若这二位数加上9,则得到的和恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的2倍;原二位数是 4如图,A

24、BC中,CD、CE分别是AB边上高和中线,CE=BE=1,又CE的中垂线过点B,且交AC于点F,则CD+BF的长为 5如图,分别以RtXYZ的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY,若直角边YZ=1,XZ=2,则六边形ABCDEF的面积为 6如图,正方形纸片ABCD的面积为1,点M、N分别在AD、BC上,且AM=BN=2/5,将点C折至MN上,落在点P的位置。折痕为BQ(Q在CD上),连PQ,则以PQ为边长的正方形面积为 7三个不同的正整数a、b、c,使a+b+c=13 3,且任意两个数的和都是完全平方数,则a、 b、c是 8若实数a、b、c、d满足a2+b2+c2+d2=

25、10,则y=(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b- c)2+(b-d)2+(c-d)2的最大值是 9已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c=O有两个实根x1、x2,若abc,且a+b+c=0,则d=|x1-x2|的取值范围为 1O如图,ABC中。AB=AC,点P、Q分别在AC、AB上,且AP=PQ=QB=BC,则A的大小是 二、(本题16分)如图PQMN是平行四边形ABCD的内接四边形 (1)若MPBC,NQAB,求证:S四边形PQMN=SABCD; (2)若S四边形PQMN= ABCD,问是否能推出MPBc或NQAB?证明你的结论 三、(本题l 6分)设n是正整数,d1d2d3d

26、4是n的四个最小的正整数约数,若n=d12+d22+d32+d42,求n的值四、(本题l 8分)如图,已知ABC,且SABC=1,D、E分别是AB、AC上的动点,BD与CE相交于点P,使SBCDE=SBPC,求SDEP的最大值 2003年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题(2003年12月7日上午9001100)解答本试卷不得使用计算器.一、填空题(本大题10小题,前5题每题6分、后5题每题8分,共70分.)1、设曲线C为函数的图象,C关于轴对称的曲线为C1,C1关于轴对称的曲线为C2,则曲线C2是函数的图象.2、甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元。一天学生小王欲购这种铅笔,发现甲、乙两商店都让利优惠:甲痁实行每买5支送1支(不足5支不送),乙店实行买4支或4支以上打8.5折,小王买13支这种铅笔,最少需要化元。3、已知实数a、b、c满足a+b+c=0,则的值是.4、已知凸四边形ABCD的四边长为AB8,BC4,CDDA6,则用不等式表示A大小的范围是。5、在1,2,3,

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