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1、第一章离散时间信号与系统2. 任意序列 x(n) 与 (n) 线性卷积都等于序列本身x(n) ，与 (n-n 0) 卷积 x(n- n0),所以（ 1）结果为 h(n)(3)结果 h(n-2)（ 2）列表法x(m)h(n m)1110000y(n)n011111221113311113401111250011111（ 4）1n m m1n当n0y(n)0.522m3nn mm4n当n1y(n)0.5m223 . 已知 h(n)n3au( n1), 0a1，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为h(n) 的线性移不变系统的阶跃响应。解 :x(n)u(n)h( n)anu(n1), 0a
2、1y(n)x( n) * h( n)n当n时y(n)a1m1当n时y(n)a1mma n1am a1 a4. 判断下列每个序列是否是周期性的 , 若是周期性的 , 试确定其周期：( a )x ( n )3n)A cos(78n13j ()( b )x ( n )n )( c )x ( n )6A si n(e3分析：序列为 x( n)A cos( 0 n) 或 x(n )A sin(0 n) 时，不一定是周期序列，当 2 /0整数，则周期为 2 / 0 ； 当 2P ,（有理数 P、 Q为互素的整数）则周期为 Q ；0 Q当 2/0无理数 ，则 x (n ) 不是周期序列。解：（ 1） 2/0
3、14，周期为 143（2） 2/06，周期为 613（2） 2/012，不是周期的7.（ 1）T x(n)g (n) x(n)T ax1 ( n)bx2 ( n)g (n) ax1 (n) bx2 (n) g(n) ax1 (n) g(n) bx2 ( n)aT x1 (n)bT x2 (n)所以是线性的Tx(n-m)=g(n)x(n-m)y(n-m)=g(n-m)x(n-m)两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y和 x 括号内相等，所以是因果的。 （ x 括号内表达式满足小于等于 y 括号内表达式，系统是因果的）y(n) =g(n)x(n)=g(n) x(n) x(n)有界，
4、只有在 g(n)有界时， y(n)有界，系统才稳定，否则系统不稳定（ 3） Tx(n)=x(n-n0)线性，移不变， n-n0=0 时系统是因果的，稳定（ 5）线性，移变，因果，非稳定（ 7）线性，移不变，非因果，稳定（ 8）线性，移变，非因果，稳定8.解：(1)当时n 0 , h ( n) 0,是因果的。| h ( n ) |11? ? ?,0 212n不稳定。( 2)当n时，h( n )0,0是因果的。| h( n) |111? ?！ ！012n1111? ?2 * 13 * 2 * 111111324?8稳定。( 3)当n时，h ( n )0,0是因果的。| h ( n) | 3 031
5、3 2? ? ?n不稳定。( 4)当n时，h ( n )0,0是非因果的。| h ( n ) |303 13 2? ? ?3n2稳定。( 5)当n时，h( n) 0,0系统是因果的。| h( n) |0.300.310.32? ? ?10n7系统是稳定的。( 6)当n时，h(n) 00系统是非因果的。| h( n) | 0.3 10.3 2? ? ?n系统不稳定。( 7 ) 当 n0时， h ( n )0系统是非因果的。| h ( n ) |1n系统稳定。第二章Z 变换1 求以下序列的z 变换，并画出零极点图和收敛域。a n ( | a |1n(1)x(n)1)( 2)x( n)u(n)1 n
6、2(3)x(n)n1)(4)x( n)1, ( n 1)u(2n( 5)x ( n)n sin(0n ), n 0 (0为常数）( 6)x ( n)Ar n cos(0 n) u( n),0r1（ 7）分析：Z x ( n )X ( z)x ( n) z nZ 变换定义n，n 的取值是 x(n ) 的有值范围。Z 变换的收敛域是满足 nx ( n ) z nM的 z 值范围。解： (1)由 Z 变换的定义可知：a n z n1an z nX (z)a n z nnnn0a n zna n z nn1n 0a2az11az 1 )1az1a(1az)(1z( a21)za( z1 )(za)a收
7、敛域： az1,且 a1即： az1za极点为： za,z1零点为： z0, za1n(2) x(n)u(n)2解： (2)由 z 变换的定义可知：X ( z)( 1 )n u( n)z nn 2( 1 ) nz nn02111z 12收敛域：11112z即： z2极点为： z1零点为： z 021nu(n 1)( 3) x( n)2解 : （3）( 1 )n u( n 1) z n11 )n z nX ( z)(n2n22n zn2zn 112z11 1 z 121收敛域： 2z1 即： z2极点为： z1零点为： z 02(4) x( n)1 , (n1)n解： (4)X ( z)1znn
8、 1 n?dX ( z)1 ( n) z n 1( z n 1 )1z 2， | z | 1dzn 1 nn 1zzX ( z)ln zln(1z)ln1zdX ( z)因为 X ( z) 的收敛域和的收敛域相同，故 X ( z) 的收敛域为 | z | 1。极点为： z0, z1零点为：z(5) x( n ) n sin0 n, n0(0为常数）解： (5)设 y( n)sin(0n) u(n)则有 Y ( z)y( n)z nz11 sin0z2，|z | 1n1 2 zcos0而x(n)ny(n)X( )zd Y ( z)z 1 (1z 2 ) sin02, | z | 1z(12z1c
9、os 0z2)dz因此，收敛域为： z1极点为： ze j 0, zej 0（极点为二阶）零点为： z1 , z1 , z 0 , z(6) x(n)Ar n cos(n)u(n),0r 10解：(6)设 y(n)cos(0n)u(n)(cos(0 n)cossin(0 n)sinu(n)coscos(0n) u(n)sinsin(0n)u(n)Y(z)cos1z 1 cos 0sinz 1 sin012z 1 cosz 212z 1 cos0 z 20cosz1 cos(0 ),z 11 2z 1cosz 20则 Y( z) 的收敛域为z1而 x( n)Ar ny(n)zA cosz 1r
10、cos(0 )X ( z) A Y( )2 z 1r cos2 z 2r10r则X ( z) 的收敛域为 ：z| r |。（7）Zu(n)=z/z-1Znu(n)=-z d zzdzz1(z 1)2z 2 2Zn 2 u(n)=-zdzz 3dz (z1)( z1)零点为 z=0, j,极点为 z=1用长除法,留数定理,部分分式法求以下的反变换3.X (z)z11z1112z112(1)X (z),z,z12(2) X (z)141z21z144za111 z111(3) X ( z),z(4) X ( z)4,1aza815z1z12315z15分析：长除法：对右边序列（包括因果序列）H（
11、z）的分子、分母都要按z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）（ z）的分子、分H母都要按 z 的升幂排列。部分分式法：若X（z）用 z 的正幂表示，则按X(z)/z写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z 反变换可得x（ n）。留数定理法：（1）注意留数表示是Res( X (z)zn 1 )zzk(zzk ) X ( z) zn 1zzk因而 X ( z) zn 1的表达式中也要化成1 /( zzk ) 的形式才能相抵消，不能用 1/(1zk z 1 )来和（zzk）相抵消 ，这是常出现的错误 。（2）用围线内极点留数时不 必取“ ”号（负号） ，用围线外极点留数时要取“
12、 ”号（负号）。（1）（i ）长除法：11zX ( z)211z411211z 12极点为z1 / 2 , 而收敛域为： | z | 1 / 2,因而知 x(n)为因果序列，所以分子分母要按降幂排列1z11z21? ? ?241 1 z 1 1211 z 121z21z2111 z 241 z 24X ( z ) 1111z22z4? ? ?n1znn 021n所以 ： x ( n )u ( n )2（ 1） (ii) 留数定理法：x(n)11zn 1 dz , 设 c 为2 j c11 z 12z 1 内的逆时针方向闭合曲线：2当 n 0 时，1zn 111zn 在 c 内有1z1z212z
13、 1 一个单极点2则 x(n) Res zn1n, n 012z2z12由于 x(n) 是因果序列 ，故 n0 时， x(n)0n所以 x(n)1u(n)2（ 1） (iii) 部分分式法：11 zX (z)21 z1411z211 z 1z122因为z121n所以x(n)( )2u n（ 2） (i). 长除法：由于极点为 z1,而收敛域为 z1,44因而 x(n) 是左边序列 ,所以要按 z 的升幂排列：828z112z2? ? ?1zz 248z27z7z28z228 z228 z2112z3X ( z)828z112z2? ? ?87 4 nz nn 1187 4 nz nnn所以 x
14、( n) 8 (n) 71u( n 1)4（ 2） (ii) 留数定理法 :x(n)1X ( z)z n 1 dz 设 c 为 z1 ， 内的逆时针方向闭合曲线2j c4当 n 0 时：X ( z) zn 1 在 c 外有一个单极点 z14x(n)Res X ( z) zn 1 1z47( 1 ) n ,(n 0)4当 n 0 时：X (z)zn 1 在 c 内有一个单极点 z0 x(n) Re s X (z)zn 1 z 0 8,n 0当 n 0 时：X(z) zn 1在 c 内无极点，则：x( n)0, n0综上所述，有：x(n)8(n)7(1) n u(n 1)(2)(iii).4部分分
15、式法：X ( z)z287z1)zz1z( z44则X (z)87 z871141 z1z14因为z则 x( n) 是左边序列47( 1 ) n u(所以x(n)8( n)n1)4(3)(i).长除法：因为极点为 z1 ，由 z1 可知 , x( n) 为aa因果序列 , 因而要按z的降幂排列 :111) z111) z2a a ( aaa 2 ( aa? ? ?az1 zaz1a(a1 )a(a1 )1 ( a1 )z 1aaa1(aa1(a11 )1n则 X (z)(az nan1aa所以11 )1nx(n)(n)( au( n1)aaa(3)(ii).留数定理法 :x(n)1X (z)
16、zn 1dz，设 c 为 z12j ca内的逆时针方向闭合曲线。当 n 0 时：X ( z) zn 1在 c 内有 z1一个单极点ax(n) Re s X ( z) zn11za1z a z n 1a1zz 1aan( a1 ) 1 , ( n 0)a a当 n 0 时： X ( z)z n 1 在c 内有z 0, z 1 两个单极点 ax(0) Re s X (z)z n 11Res X (z) zn 1z 0za11aaa a当 n 0时：由于 x(n)是因果序列，此时 x(n)0 。所以11n1x(n)(n) ( a)u(n 1)aaa(3)(iii).部分分式法：X ( z)zaa1a
17、2zz(1az)z1az11) za1 ) z 11(a1 ) z 2aa 2a? ? ? ? ? ?则 X (z)a(a1 )1a1z11a所以1 )nx(n)( a)(n)(a1u(n)aa11 )1n(n)( au( n1)aaa1X (z)zAB(4)4z11( z11)z)( z3z355A=5/8, B=3/8X( z)5z3z8 z18 z135x(n)5 ( 1)n u ( n1)3 (1 )n u(n)83855对因果序列 ,初值定理是x(0)lim X (z)n 0 时 x(n) 0 ,问相应的z,如果序列为定理是什么 ?讨论一个序列 x(n)，其 z 变换为：719z 1
18、X ( z )12245z 121z2X (z) 的收敛域包括单位圆，试求其x(0) 值。分析：Z 变换 X ( z) 来求序列初值x ( 0 ) ，把序列分成因果序列和这道题讨论如何由双边序列反因果序列两部分， 它们各自由 X (z) 求 x (0 ) 表达式是不同的 ，将它们各自的 x( 0 ) 相加即得所求。解：当序列满足n0 , x(n)0时 , 有 :0nX ( z)x(n)znx( 0)x(1)zx(2) z 2? ?所以此时有： lim X ( z)x(0)z0若序列 x( n) 的 Z 变换为：719 z 17 z 219zX ( z)122412245 z 1z 21 )1( z 2)( z22zzX 1 ( z) X 2 ( z)（z）（1）42z321X ( z) 的极点为z12 , z22由