2010届高三数学一轮复习精讲精练：集合.doc

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1、考纲导读第一章 集合（一）集合的含义与表示1了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系2能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。（二）集合间的基本关系1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集2在具体情境中，了解全集与空集的含义（三）集合的基本运算1理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。2理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集3能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。无限集知识网络有限集分类集合的概念空集确定性元素的性质集合互异性列举法无序性集合的表示法描述法真子集子集包含关系相 等交集集合运算集合与集合的关

2、系并集高考导航补集根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现第1课时 集合的概念基础过关一、集合1集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 集合中的每一个对象叫做这个集合的 2集合中的元素属性具有：(1)

3、确定性； (2) ； (3) 3集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系二、元素与集合的关系4元素与集合是属于和 的从属关系，若a是集合A的元素，记作 ，若a不是集合B的元素，记作 但是要注意元素与集合是相对而言的三、集合与集合的关系5集合与集合的关系用符号 表示6子集：若集合A中 都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作 7相等：若集合A中 都是集合B的元素，同时集合B中 都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作 8真子集：如果 就说集合A是集合B的真子集，记作 9若集合A含有n个元素，则A的子集

4、有 个，真子集有 个，非空真子集有 个10空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的 ，是任何非空集合的 ，解题时不可忽视典型例题例1. 已知集合，试求集合的所有子集.解：由题意可知是的正约数，所以 可以是；相应的为，即. 的所有子集为.变式训练1.若a,bR,集合求b-a的值.解：由可知a0，则只能a+b=0，则有以下对应关系： 或 由得符合题意；无解.所以b-a=2.例2. 设集合，求实数a的值.解：此时只可能，易得或。当时，符合题意。当时，不符合题意，舍去。故。变式训练2：（1）Px|x22x30，Sx|ax20，SP，求a取值？（2）A2x5，Bx|m1x2m1，BA,

5、求m。解：（1）a0,S，P成立 a0，S，由SP，P3，1得3a20，a或a20，a2； a值为0或或2.（2）B，即m12m1,m2 A成立. B，由题意得得2m3m2或2m3 即m3为取值范围.注：（1）特殊集合作用，常易漏掉例3. 已知集合A=x|mx2-2x+3=0，mR.（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.解： 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.(1)A是空集，方程mx2-2x+3=0无解.=4-12m.（2）A中只有一个元素，方程mx2-2x+3=0只有一个解.若m=0，方程为-2x

6、+3=0，只有一解x=;若m0，则=0，即4-12m=0,m=.m=0或m=.(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，得m=0或m.变式训练3.（1）已知A=a+2，（a+1）2，a2+3a+3且1A，求实数a的值；（2）已知M=2，a，b，N=2a，2，b2且M=N，求a，b的值.解：（1）由题意知：a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1，a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,a=0即为所求.（2）由题意知,或或或根据元素的互异性得或即为所求.例4. 若集合A2，4，B1，a1，、 ，且AB2，5，试求实数的值解:2

7、，5，2A且5A，则5(a2)(a1)(a1)0，a1或a1或a2当a1时，B1，0，5，2，4，与AB2，5矛盾，a1当a1时，B1，2，1，5，12，与集合中元素互异性矛盾，a1当a2时，B1，3，2，5，25，满足AB2，5故所求a的值为2变式训练4.已知集合Aa，ad，a2d，Ba，aq， ，其中a0，若AB，求q的值解：AB()或 () 由()得q1，由()得q1或q当q1时，B中的元素与集合元素的互异性矛盾，q归纳小结小结归纳1本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集

8、和数集混淆2利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验3注意空集的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性4要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用第2课时 集合的运算基础过关一、集合的运算1交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作AB，即AB 2并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作AB，即AB 3补集：集合A是集合S的子集，由 的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作，即 二、集合的常用运算性质1AA ，A ，AB= ，BA，AA ，A ，ABBA

9、2 ， ， 3 ， ，4ABA ABA 典型例题例1. 设全集，方程有实数根，方程有实数根，求.解：当时，即；当时，即，且 ，而对于，即，.变式训练1.已知集合A=B= （1）当m=3时，求；（2）若AB，求实数m的值.解： 由得-1x5,A=.（1）当m=3时，B=，则=，=.(2)A=有42-24-m=0,解得m=8.此时B=,符合题意，故实数m的值为8.例2. 已知,或.(1)若,求的取值范围;(2) 若,求的取值范围.解:(1), ，解之得.(2) , . 或， 或若,则的取值范围是；若,则的取值范围是.变式训练2：设集合A=B（1）若AB求实数a的值；（2）若AB=A，求实数a的取值

10、范围；（3）若U=R，A（）=A.求实数a的取值范围.解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A= （1）AB2B，代入B中的方程，得a2+4a+3=0,a=-1或a=-3;当a=-1时，B=满足条件；当a=-3时，B=满足条件；综上，a的值为-1或-3. （2）对于集合B，=4（a+1）2-4(a2-5)=8(a+3).AB=A，BA,当0,即a-3时，B=，满足条件；当=0，即a=-3时，B，满足条件；当0，即a-3时，B=A=才能满足条件， 则由根与系数的关系得即矛盾；综上，a的取值范围是a-3.（3）A（）=A，A，A 若B=，则0适合；若B，则a=-3时，B=，AB=，不合题

11、意；a-3，此时需1B且2B，将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）；将1代入B的方程得a2+2a-2=0a-1且a-3且a-1 综上，a的取值范围是a-3或-3a-1-或-1-a-1或-1a-1+或a-1+. 例3. 已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解:方法一 假设存在实数a满足条件AB=则有（1）当A时，由AB=，B，知集合A中的元素为非正数，设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得（2）当A=时，则有=(2+a)2-40，解得-4a0.综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范

12、围是（-4，+）.方法二 假设存在实数a满足条件AB，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1，x2至少有一个为正，因为x1x2=10，所以两根x1,x2均为正数.则由根与系数的关系，得解得又集合的补集为存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+）.变式训练3.设集合A=（x,y）|y=2x-1,xN*,B=(x,y)|y=ax2-ax+a,xN*，问是否存在非零整数a,使AB？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.解：假设AB，则方程组有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.由0，有（a+2）2-4a(a+1)0,解得-.因a为非零整数，a=1，当a=-1时

13、，代入（*），解得x=0或x=-1,而xN*.故a-1.当a=1时，代入（*）,解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得AB,此时AB=（1，1），（2，3）.小结归纳例4. 已知Axx22ax(4a3)0，xR，又Bxx22axa2a20，xR，是否存在实数a，使得AB?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由解：1a2即实数(1，2)时，变式训练4.设集合为函数的定义域,集合为函数的值域,集合为不等式的解集.（1）求；（2）若,求的取值范围解：（1）解得A=（-4，2）， B= 。 所以归纳小结（2）a的范围为0 1在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于

14、转化为文字语言2集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想3对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.集合单元测试题一、选择题 1设全集U=R，A=xN1x10，B= xRx 2+ x6=0，则下图中阴影表示的集合为（ ）A2 B3 C3，2 D2，32当xR，下列四个集合中是空集的是（ ）A. x|x2-3x+2=0 B. x|x2xC. x|x2-2x+3=0 C. x|sinx+cosx=3设集合，集合，若, 则等于（ ）A. B. C. D.4设集合，则下列关系中正确的是（ ）A

15、B C D5设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M-P=x|xM且xp,则M-（M-P）等于（ ）A. P B. MP C. MP D. M 6已知, 若, 则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 7.集合Mxxsin，nZ，N xxcos，nZ ，MN（ ）A B C0 D8.已知集合Mx，Nx，则（ ）AMNBM N CM NDMN9 设全集x1x 9，xN，则满足的所有集合B的个数有 （ ）A1个 B4个 C5个 D8个10已知集合M(x，y)y，N(x，y)yxb，且MN，则实数b应满足的条件是（ ）Ab B0bC3b Db或b3二、填空题 11设集合,且，则实数的取值范

16、围是 .12设全集U=R，A=，则右图中阴影部分表示的集合为 .13已知集合A=，那么A的真子集的个数是 .14若集合，则等于 .15满足的集合A的个数是_个16已知集合，函数的定义域为Q.（1）若，则实数a的值为 ；（2）若，则实数a的取值范围为 .三、解答题17已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B（1）求集合A、B（2）若AB=B,求实数的取值范围18设，集合，；若，求的值 19设集合，. (1)当时，求A的非空真子集的个数；(2)若B=，求m的取值范围；(3)若，求m的取值范围. 20. 对于函数f(x)，若f(x)x，则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定

17、点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，.(1) 求证：AB(2) 若，且，求实数a的取值范围.单元测试参考答案 一、选择题 1答案：A2答案：C3答案：A4提示：，.答案： D5答案：B6答案：B7. 由与的终边位置知M，0，N1，0，1，故选C. 8.C9.D10.D11提示:, ,答案：12答案：，图中阴影部分表示的集合为,13答案：1514. 答案：15. 答案：716. 答案：；17. 解：（1）AB（2）由ABB得AB，因此所以,所以实数的取值范围是18. 解：，由，当时，符合；当时，而，即或 19. 解：化简集合A=，集合B可写为(1),即A中含有8个

18、元素，A的非空真子集数为（个）.(1)显然只有当m-1=2m+1即m=-2时，B=.(2)当B=即m=-2时，；当B即时（）当m-2 时,B=（m-1,2m+1）,要只要.综合，知m的取值范围是：m=-2或20.证明(1).若A，则AB 显然成立；若A，设tA，则f(t)t，f(f(t)f(t)t，即tB，从而 AB.解 (2)：A中元素是方程f(x)x 即的实根. 由 A，知 a0 或 即 B中元素是方程 即 的实根由AB，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为因此，要AB，即要方程 要么没有实根，要么实根是方程 的根.若没有实根，则，由此解得 若有实根且的实根是的实根，则由有 ，代入有 2

19、ax10.由此解得，再代入得 由此解得 .故 a的取值范围是 五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 ( )答案 B解析 由，得，则,选B.2.（2009全国卷理）设集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 解：，故选A。也可用摩根律：答案 A3.（2009浙江理）设，则( ) A B C D 答案 B 解析 对于，因此4.（2009浙江理）设，则( ) A B C D 答案 B解析 对于，因此5.（2009浙江文）设，则（

20、 ） A B C D 答案 B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识，在集合的运算考查对于集合理解和掌握的程度，当然也很好地考查了不等式的基本性质解析 对于，因此6.（2009北京文）设集合，则 （ ） A B C D答案 A解析 本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查，故选A.7.(2009山东卷理)集合,若,则的值为 ( )A.0 B.1 C.2 D.4答案 D解析 ,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.8. (2009山东卷文)集合,若,则的值为( )A.0 B

21、.1 C.2 D.4答案 D解析 ,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.9.（2009全国卷文）已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，M =1，3，5，7，N =5，6，7，则Cu( MN)=( )A.5，7 B.2，4 C. 2.4.8 D. 1，3，5，6，7答案 C解析 本题考查集合运算能力。10.（2009广东卷理）已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A. 3个 B. 2个C. 1个 D. 无穷多个答案 B 解析 由得，则，有2个，选B.11.（2009安徽

22、卷理）若集合则AB是 A. B.C. D. 答案 D解析 集合， 选D12.（2009安徽卷文）若集合，则是A1，2，3 B. 1，2C. 4，5 D. 1，2，3，4，5答案 B解析 解不等式得,选B。13.（2009江西卷理）已知全集中有m个元素，中有n个元素若非空，则的元素个数为（ ）A. B C D 答案 D解析 因为，所以共有个元素,故选D14.(2009湖北卷理)已知是两个向量集合，则（ ）A1，1 B. -1，1 C. 1，0 D. 0，1答案 A解析 因为代入选项可得故选A.15.（2009四川卷文）设集合 ，.则（ ） A.75 B. 35 C. 5 3 D. 75 答案 C

23、解析 ， 5 3 16.（2009全国卷理）设集合，则=A. B. C. D. 答案 B解：.故选B.17.（2009福建卷理）已知全集U=R，集合，则等于A. x 0x2 B. x 0x2 C. x x2 D. x x0或x2答案 A解析 计算可得或.故选A18.（2009辽宁卷文）已知集合Mx|3x5,Nx|x5或x5，则MN （ ） A.x|x5或x3 B.x|5x5C.x|3x5 D.x|x3或x5答案 A解析 直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解.19.（2009宁夏海南卷理）已知集合,则( ) A. B. C. D.答案 A解析 易有，选A20.（2009陕西卷文）设不等式的解集

24、为M，函数的定义域为N则为( )A.0，1） B.（0，1） C.0，1 D.（-1，0 答案 A.解析 ,则,故选A.21.（2009四川卷文）设集合 ，.则 （ ） A.75 B. 35 C. 5 3 D. 75 答案 C解析 ， 5 3 22.（2009全国卷文）设集合A=4，5，6，7，9，B=3，4，7，8，9，全集=AB，则集合u （AB）中的元素共有A.3个 B.4个 C. 5个 D. 6个 解析 本小题考查集合的运算，基础题。（同理1）解：，故选A。也可用摩根律：23.（2009宁夏海南卷文）已知集合,则 A. B. C. D. 答案 D解析 集合A与集合B都有元素3和9，故，

25、选.D。24.（2009四川卷理）设集合则.【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。解析：由题，故选择C。解析2：由故，故选C25.（2009福建卷文）若集合，则等于 A B C D R答案 B解析 本题考查的是集合的基本运算.属于容易题.解法1 利用数轴可得容易得答案B. 解法2（验证法）去X=1验证.由交集的定义，可知元素1在A中，也在集合B中，故选.二、填空题 26.（2009年上海卷理）已知集合，且，则实数a的取值范围是_ . 答案 a1 解析 因为AB=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a1。27.（2009重庆卷文）

26、若是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，则 答案 解法1，则所以，所以解析2，而28.（2009重庆卷理）若，则 答案 （0，3）解析 因为所以29.（2009上海卷文） 已知集体A=x|x1,B=x|a,且AB=R，则实数a的取值范围是_. 答案 a1 解析 因为AB=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a1。30.（2009北京文）设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.答案 6.w 解析 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.

27、 属于创新题型. 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：共6个. 故应填6.31.（2009天津卷文）设全集，若，则集合B=_.答案 2，4，6，8 解析 【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力。 32.（2009陕西卷文）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。答案：8. 解析

28、:由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为,则. ,由公式易知36=26+15+13-6-4- 故=8 即同时参加数学和化学小组的有8人.33.（2009湖北卷文）设集合A=(xlog2x1), B=(X1), 则A= .答案 解析 易得A= B= AB=.34.(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12_答案 ：12解析 设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有

29、人，由此可得，解得，所以，即 所求人数为12人。 35.（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 .解: 设所求人数为，则只喜爱乒乓球运动的人数为，故. 注：最好作出韦恩图！20052008年高考题一、选择题1.（2008年北京卷1）已知全集，集合，那么集合(uB等于 （ ）ABCD答案 D2.（2008年四川卷）设集合，则u( ).答案 B3(2008年全国II理1文)设集合M=mZ|-3m2，N=nZ|-1n3，则MN （ ）A B CD 答案 B解析 ，选B.高考考点 集合的运

30、算，整数集的符号识别4.（2008年山东卷1）满足Ma1,a2,a3,a4,且Ma1 ,a2, a3=a1,a2的集合M的个数是( )A.1B.2 C.3 D.4答案 B5（2007年全国）设，集合，则（ ）A1 B C2 D 答案 C6（2007年江西）若集合M0，l，2，N(x，y)|x2y10且x2y10，x，yM，则N中元素的个数为( ) A9 B6 C4 D2答案 C7（2007年安徽）若，则（RB）的元素个数为（ ）A.0B.1 C.2D.3答案 C8.（2008年江西卷2）定义集合运算:设,则集合的所有元素之和为（ ）A0 B2 C3 D6答案 D9（2006年全国II理1文1）

31、已知集合Mx|x3，Nx|log2x1，则MN（ ）A Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|2x3答案 D解析 ,用数轴表示可得答案D。考察知识点有对数函数的单调性,集合的交集。 本题比较容易.10.（2005天津卷理）设集合, , 则AB=（ ）A B.C. D. 答案 D11.（2005上海）已知集合，则 等于（ ）A BC D答案 B二、填空题 12.（2007年北京）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 答案 13.（2006年上海卷）已知集合A1，3，21，集合B3，若BA，则实数 答案 由，经检验，为所求；14.（2006年上海卷）已知，集合，若,则实数。答案 已知，集合，若, 则实数15.（2005年重庆卷理）集合R| ，则= .答案 （0，3）16.（2005年重庆文）若集合，则 .答案 （2，3）