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1、难点28求空间距离空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、 点到线、 点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.难点磁场( ) 如图，已知 ABCD 是矩形， AB =a,AD =b,PA平面 ABCD ，PA=2 c,Q 是 PA 的中点 .求： (1)Q 到 BD 的距离；(2)P 到平面 BQD 的距离 .案例探究例 1把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成直二面角，点E、F 分别是 AD、 BC 的中点，点 O 是原正方形的中心，求：(1)EF 的长；(2)折起后 EOF 的大小 .命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属级题目 .知识依
2、托：空间向量的坐标运算及数量积公式.错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证 x轴、 y 轴、 z 轴两两互相垂直 .技巧与方法：建系方式有多种， 其中以 O 点为原点，以OB 、 OC 、 OD 的方向分别为x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向最为简单 .解：如图，以 O 点为原点建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形 ABCD 边长为 a,则 A(0，22222a,a),F(22a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D (0,0,2a),E(0,a,a,0)222444(1) | EF |2( 2 a0)2(2 a2 a) 2(02 a) 2 3 a,EF3 a4444422a
3、,222( 2)OE ( 0,a),OF (a,a,0)4444OE OF2a(22a)2a 0a204a )(4844|OE | a ,| OF |a ,cos OE ,OFOE OF122|OE |OF |2 EOF=120 例 2正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1 与 AB1 间的距离 .命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属级题目.知识依托： 求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得 .错解分析：本题容易错误认为O1B 是 A1C 与 AB1 的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与
4、两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如图，连结 AC1，在正方体 AC1 中， A1C1 AC,A1C1平面 AB1C， A1C1与平面 AB1C 间的距离等于异面直线A1C1 与 AB1 间的距离 .连结 B1D 1、 BD，设 B1D 1 A1C1=O1,BDAC =O AC BD ，AC DD 1， AC平面 BB 1D1D平面 AB 1C平面 BB1D 1D，连结 B1O，则平面AB1C平面 BB1D 1D=B1O作 O1G B1O 于 G，则 O1G平面
5、AB1C O1G 为直线 A1C1 与平面AB1C 间的距离，即为异面直线A1C1 与 AB 1 间的距离 .在 RtOO 1 1 中，1 12 ，OO 1 ，1=OO2O B26BO B =1OB11 1=22 O1G= O1O O1 B13 ，即异面直线 A1C1 与 AB1 间距离为3.OB133解法二： 如图，在 A1111C 上任取一点 M，作 MN AB于 N，作 MR A B 于 R，连结 RN，平面 A1B1C1D1平面 A1 ABB1， MR 平面 A1ABB1， MRAB 1 AB1 RN，设 A1 R=x,则 RB1=1 x C1A1B1= AB1A1=45 ， MR=x
6、,RN=NB12x)=(12MNMR 2RN 2x 21 (1 x)23 ( x1) 21 (0 x 1 )2233当 x= 1 时， MN 有最小值3 即异面直线A1C1 与 AB1 距离为3.333锦囊妙记空间中的距离主要指以下七种：(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系， 有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行
7、平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法 .求异面直线的距离：(1) 定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.歼灭难点训练一、选择题1.( )正方形 ABCD 边长为 2，E、F 分别是 AB 和 CD 的中点，将正方形沿 EF 折成直二面角 (如图 )， M 为矩形 AEFD 内一点，如果 MBE= MBC
8、， MB 和平面 BCF 所成角的正切值为1 ，那么点 M 到直线 EF 的距离为 ()2A.2B.1C. 3D. 12222.( )三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA1=1，AB =4，BC=3 ， ABC=90 ,设平面 A1BC1与平面 ABC 的交线为 l ，则 A1C1 与 l 的距离为 ()A.10B. 11C.2.6D.2.4二、填空题3.( )如左下图，空间四点A、 B、C、 D 中，每两点所连线段的长都等于a，动点 P 在线段 AB 上，动点 Q 在线段 CD 上，则 P 与 Q 的最短距离为 _.4.()如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E AB C的度
9、数为30，那么EF 与平面 ABCD三、解答题5.( )在长方体的距离为 _.ABCD A1B1C1D 1 中， AB=4， BC=3， CC1=2 ，如图：(1)求证：平面A1BC1 平面 ACD1；(2)求 (1) 中两个平行平面间的距离；(3)求点 B1 到平面 A1 BC1 的距离 .6.( )已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D 1，点 E 在棱 D 1D 上，截面 EAC D1B 且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45,AB=a,求：(1)截面 EAC 的面积；(2)异面直线A1B1 与 AC 之间的距离；(3)三棱锥 B1 EAC 的体积 .7.( )如图，已知三棱柱
10、A1B1C1 ABC 的底面是边长为2 的正三角形，侧棱A1A 与 AB、 AC 均成 45角，且 A1E B1B 于 E， A1FCC1 于 F .(1)求点 A 到平面 B BCC的距离；11(2)当 AA多长时，点A到平面 ABC 与平面 B BCC的距离相等 .11118.( )如图，在梯形ABCD 中， AD BC， ABC= ,AB=1AD =a,23ADC =arccos 25 ,PA面 ABCD 且 PA=a.5(1)求异面直线AD 与 PC 间的距离；(2)在线段 AD 上是否存在一点6F，使点 A 到平面 PCF 的距离为.3参考答案难点磁场解： (1)在矩形 ABCD 中
11、，作 AEBD ，E 为垂足连结 QE ， QA平面 ABCD ，由三垂线定理得QE BE QE 的长为 Q 到 BD 的距离在矩形 ABCD 中， AB=a,AD=b,ab AE=b2a 2在 RtQAE 中， QA = 1 PA=c2 QE= c2a 2b2a 2b2 Q 到 BD 距离为c2a2 b2a 2b 2 .(2)解法一：平面BQD 经过线段PA 的中点， P 到平面 BQD 的距离等于 A 到平面 BQD 的距离在 AQE 中，作 AH QE， H 为垂足 BD AE,BD QE,BD平面 AQE BDAH AH平面 BQE，即 AH 为 A 到平面 BQD 的距离 .在 Rt
12、AQE 中， AQ=c,AE=aba2b2 AH=abc(a 2b2 )c 2a2b2 P 到平面 BD 的距离为abc(a2b2 )c2a2 b2解法二：设点A 到平面 QBD 的距离为 h，由V=V11AQ,得 SBQD h= SABQDQ ABD3 ABD3S ABDAQabch=(a 2b 2 )c 2a2 b2S BQD歼灭难点训练一、 1.解析：过点 M 作 MM EF,则 MM 平面 BCF MBE= MBC BM为 EBC 为角平分线， EBM =45 ,BM = 2 ,从而 MN =22答案： A2.解析：交线l 过 B 与 AC 平行，作 CD l 于 D，连 C1D ，则
13、 C1D 为 A1C1 与 l 的距离，而 CD 等于 AC 上的高，即 CD = 12,Rt C1CD 中易求得 C1D=13=2.655答案： C二、 3.解析：以 A、B、C、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为 AB、 CD 的中点，因为 AQ=BQ=2a, PQAB,同理可得 PQCD ，故线段 PQ 的2长为 P、Q 两点间的最短距离， 在 Rt APQ 中，PQ= AQ 2AP 2( 3 a) 2( a ) 22a222答案：2a24.解析：显然 FAD 是二面角 EAB C 的平面角， FAD =30 ,过 F 作 FG 平面 ABCD于 G，则 G 必
14、在 AD 上，由 EF 平面 ABCD . FG 为 EF 与平面 ABCD 的距离，即 FG= a .2答案： a2三、 5.(1)证明：由于 BC1 AD 1，则 BC1平面 ACD1同理， A1B平面 ACD 1，则平面 A1BC1平面 ACD 1(2)解：设两平行平面 ABC与 ACD间的距离为d，则 d 等于 D到平面 A BC的距离 .111111易求 A1 1，15，113 ，则112则1161则61cosA BC =sinA BC =A1 B1C1 =,C =5 A B=2BC =,65, S65由于VV，则1d=1(1AD C D)1代入求得1261即两平D1 A1BC1B
15、A1C1D1SA1BC11d=3321 1BB ,6112 61行平面间的距离为.61(3)解：由于线段B1D 1 被平面 A1BC1 所平分，则B1、D1 到平面 A1BC1 的距离相等，则由111的距离等于1261(2) 知点 B到平面 A BC.616.解： (1)连结 DB 交 AC 于 O，连结 EO，底面 ABCD 是正方形 DO AC，又 ED面 ABCD EO AC，即 EOD =45又 DO =22 a， EO=DO2a， AC=a， S EAC=a2cos452(2) A1A底面 ABCD ， A1A AC，又 A1A A1B1 A1A 是异面直线A1B1 与 AC 间的公
16、垂线又 EO BD1，O 为 BD 中点， D 1B=2EO=2 a D1D =2a， A1B1与 AC 距离为 2 a(3)连结 B D 交 D B 于 P，交 EO 于 Q，推证出 B D面 EAC1113 B1Q 是三棱锥 B1 EAC 的高，得 B1Q= a2VB EAC12a23a2a 3132247.解： (1) BB1 A1E， CC1 A1F ，BB 1 CC1 BB1平面 A1EF即面 A1EF 面 BB1C1C在 RtA1EB 1 中， A1B1E=45 ， A1B1=a A1E=212122a,同理 A F=a,又 EF=a， A E=a22同理 A1F=2a,又 EF=
17、a2 EA1F 为等腰直角三角形，EA1 F=90过 A1 作 A1N EF，则 N 为 EF 中点，且 A1N平面 BCC 1B1即 A1N 为点 A1 到平面 BCC1B1 的距离1a A1N=22a又 AA1面 BCC1 B， A 到平面 BCC1B1 的距离为2 a=2 ，所求距离为2(2)设 BC、 B1C1 的中点分别为 D、D1 ，连结 AD 、 DD 1 和 A1D1，则 DD 1 必过点 N，易证 ADD 1A1 为平行四边形 . B1C1 D 1D,B1C1 A1N B1C1平面 ADD 1A1 BC平面 ADD 1A1得平面 ABC平面 ADD 1A1，过 A1 作 A1
18、M 平面 ABC，交 AD 于 M，若 A1M=A1N，又 A1AM = A1D1N， AMA 1=A1ND 1=90 AMA1 A1ND 1,AA 1=A1D1=3 ,即当 AA 1=3 时满足条件 .8.解： (1) BCAD ,BC面 PBC, AD 面 PBC从而 AD 与 PC 间的距离就是直线AD 与平面 PBC 间的距离 .过 A 作 AE PB，又 AE BC AE平面 PBC， AE 为所求 .在等腰直角三角形PAB 中， PA=AB =a AE=2a2(2)作 CM AB，由已知 cosADC=255 tanADC = 1 ,即 CM= 1 DM22 ABCM 为正方形，
19、AC= 2 a,PC= 3 a6过 A 作 AH PC,在 Rt PAC 中，得 AH=3下面在 AD 上找一点F ，使 PC CF取 MD 中点 F， ACM 、 FCM 均为等腰直角三角形 ACM+FCM =45 +45 =90 FC AC,即 FC PC 在 AD 上存在满足条件的点F.学法指导立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养.题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地.大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系.因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上，以总结
20、空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法.一、领悟解题的基本策略思想高考改革稳中有变.运用基本数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在基本数学思想指导下，归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流畅.二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来.在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面.这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了.三、重视模型在解题中的应用学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系， 从而培养空间想象能力 .而数学问题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系.它引导我们以模型为依据， 找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学问题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特征规律获取优解 .