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1、积分变换练习题第一章Fourier变换_系 _专业班级姓名 _ _学号 _ 1Fourier积分 2Fourier变换一、选择题1设 f (t )(tt0 ) ，则 Ff (t)（A） 1（B） 2（ C） ej t0（ D） e jt 0F f ( t)( t t0 )ei tdteitei t0t t0二、填空题1设 a0 ， f (t)eat ,t0 ，则函数 f (t) 的 Fourier 积分表达式为e at ,t02a cos tdt0 a220F ( ) f (t )f (t )e i t dt = e at e i t dteat e i t dtF0R0= lime ( ai
2、 )t dtlime(ai ) t dtRRR0( a i )tR( a i )t 0= limelime1122a2 ;R(a i ) 0Ra iRa ia iaF 1F()1F ()eit d=1a22a2 (cost i sint)d22= 2acostd0a2212设 F f (t)() ，则 f (t )2F1()1( )ei t d = 1 ei t122023设 f (t) sin 2 t ，则 F f (t)( )(2) (2)21F f (t )f ( t)e i t dt= sin2te it dt1cos2t e i tdt21e i t dt1(e2ite 2 it )
3、e i t dt() (2) ( 2)2424设(t ) 为单位脉冲函数，则(t )cos2 (t3)dt14(t)cos 2 (t)dtcos2 ( )1334三、解答题1求下列定积分：(可用高等数学的方法做)(1)1(2)1eaz sin bzdzeaz cosbzdz001i sin bz)dzeaz (cosbz0( ea (cosbi sin b) 1)(aa2b211(a ib ) z1aibee1eazeibz dze( a ib ) zdz00aib0aibib )aea cosbbea sin b1i aea sin bbea cosb ba2b2a2b2在原积分中，由于被积
4、函数解析，则I111eaz (cosbz i sin bz)dzeax (cosbx i sin bx)dxeax eibx dx,000从而1eaz1eaz sin bzdz Im I0cosbzdz Re I ;0A,0t2求矩形脉冲函数f (t )0,其他的 Fourier 变换。F f ( t)f ( t)eitdt= Aei tA(1 e Ai )dt0i3求下列函数的Fourier 积分：t, | t |1(1) f (t)，0, | t |1解法一：21F ( )f (t) e it dt = te i t dt11 it11i1i2isineiteii(cos2122e)；f
5、(t)1F () eit d12i (cossin)eit d2212i (cossin)(cos ti sint )d22sinsint2cossint d0解法二：由于f(t) 为奇函数，故由课本P12 页的 (1.12) 式可知，221f (t)f ()sindsintdsind sintd0000211d cos2111sintdcoscosdsin td0000021sin121sincossintdtdcossin0002sin2cossin td030,t1,1,1t0,(2)f (t)1,0t1,0,1t.解法一： f ( t)为奇函数，从而F ()f (t) e i tdt
6、=f (t )(cos ti sint )dt2if (t)sin tdt012i cost11)2isintdt2i (cos00f (t)1F ()ei tdt =12i (cos1) ei tdt22i(cos1)(costi sint) dt2(1cos)sint dt0解法二：同上题，根据余弦逆变换公式可得：221f (t)f ()sindsin tdtsindsintdt00002cos121 cossintdttdtsin000sint ,| t |4求函数f (t)0,| t |的 Fourier 积分 ,并计算下列积分：sinsint2sin t ,| t |012d0,|
7、t |解：同上题，f (t)2f ()sindsintdt2sinsind sintdt00001cos(1)cos(1) dsintdt1sin(1)sin(1)sin tdt11000001sin(1)sin(1)sintdt2sinsin tdt2sinsint112112dt0004当 t时，f (0)f (0)0. 从而2sinsint2sin t,| t |012d0,| t |ej a5设 a 为实数，求积分2 d的值。 (分别讨论a 为正实数和负实数的情形)1当 a 0时，R( z)1在上半平面只有一个奇点zi，从而1z2eia2 d2 i Res R(z)eiaz ,i 2i
8、 limeiaze a ;1z iz i当 a 0时，eiae ia2 d2 i Res R(z) eiaz,i 2 i lime iaza12 dz ie .1z i解法二：参考课本146 页 Fourier 变换表中的21，即Fc t2c，e2c2 Re(c) 0取 c=-1，从而F- t2，则积分e21ej ata12 dF 112 ee211t a2 t a2eja2 dea15积分变换练习题第一章Fourier变换_系 _专业班级姓名 _学号 _ 3Fourier变换的性质 4卷积与相关函数一、选择题1设 F f (t )F () ，则 F ( t2) f (t )（A）F()2F(
9、)（B）（ C） iF ()2F ()（ D）F()2F()iF ()2F ()（利用Fourier 变换的线性性质和象函数的导数公式）2设 F f (t )F () ，则 F f (1t)（ A ） F ( )e j（B） F()e j（C） F()ej（ D） F ()ej1tsf ( s)e i(1 s) (F f (1 t )f (1 t )e i t dtds)e if (s)e i ()s dse iF ()二、填空题1设 F f (t)3，则 f (t )3e- t122由1 三-5解法二中的分析可知： F- t2，-e21从而 3 F e- t 3f (t )3e- t2212
10、2设 f (t ) e tu(t) ，则 F f (t)。6已知单位阶跃函数u(t)t()d ，及 Fourier 变换的微分性质：F f (t )i F f (t)令 g(t )e tu(t )e tt()d，则dg (t)e tt( )de t(t )g(t ) e t(t )，dt即 F dg (t) Fg(t )e t(t )F g(t )F e t (t )，dt又由 F dg(t ) iF g (t )，从而dtFF e t(t )e t(t )e i t dt g(t)=i1i11e (1 i)t011 it1i三、解答题1若 F( )F f (t) ，且 a0，证明：s ati
11、F f (at )f (at)e i t dt =f ( s)e2若 F()Fd f (t) ，证明：F ( )d即证： F1dF ( )itf (t)d1 (t )e (1 i )t dt1 iF f (at)1 F ()aasds1f ( s)eads1F( )aisaaa aF jtf (t )F1dF( )1dF ( )ei t d1F ( )ei t1F ( )dei t dd2d22d1F ()ite i t d(it ) 1F ()eit d( it ) f (t )227sin3已知某函数的Fourier 变换为F ()，求该函数f (t)。F ( )sinF ()sinF1F
12、( )F1sin一方面， F f (t )iF f (t)iF ()F1F ()if；(t)另一方面， F1sin1sinei td1eie ieit d12122iei (1 t )ei ( 1 t )d(t 1)(t 1) ；4 i2i从而if (t)1(t1)(t1)f(t )1(1t )(t1)2i2f (t )1t(1)dt(1)d1u(t1)u(t1)224若 F()F f (t) ，证明： F () F f ( t)证：t sf (s)eis( ds)f ( s)e i ( ) sds F ( )F f (t )f ( t) e i t dt5若f1(t)e t u(t ), f
13、2 (t ) sin t u(t) ，求 f1 (t )* f2 (t)f1(t) *f2 (t )e t u(t)sin t u(t )eu( )sin( t)u(t) dtts te tte t1tesin(t)de ( t s) sin sdses sin sdssin s coss es000201sin t cost e t28积分变换练习题第一章 Fourier变换_系 _专业班级姓名 _学号 _ 5Fourier变换的应用综合练习题一、选择题：1设 F f (t )F ( ) 且当 ttf ( )d0,则F 2t时 , g (t)f ( )d （A） 1F ()（B） 1 F()
14、（C） 1F ()（D）1F( )2i2i22ii变换的积分性质： Ftf (1F f (t )Fourier)d =F f ( )d= 1 F f (2t )1iF ( )2ti2i2最后一个等号由 2（ ）三-1得到.34 -2设 F f (t )F () ，则下列公式中， 不正确的是（A） F f (t )f (t )(F ()2（ B） F ( f (t) 2 1F()F()2（C） F f (t)ej0tF (0 )（ D） t f (t ) jF1( ) FjtF f ( t)e0 F (m 0 )1设 f (t)0,t0，则 u(t )f (t)et ,t0参照课本51 页 (1
15、0)， u(t)f (t )f (t) u(t)2计算积分(t)sin 2 tdt12(t)sin 2 tdtsin 2 t12t23设 sgntt1, t0|t |1,t，则 F sgn t00,t01 e t ,t0t)df (。2i9Fsgn t 1 e i t dt0e i t dte i t dtei t dt( 1)000u(t)e it dtu(t )ei t dtFu(t )Fu(t)(上一份练习最后一题 )1( )1(2ii ()i三、解答题1求微分方程 x (t )x(t )(t ) 的解，且t。解：假设 F x( t)X ()，对方程两边取 Fourier变换，可得F x
16、 (t)F x( t)F (t )，即(i1)X ()1，从而X()1.i1由于指数衰减函数 f (t)0， t00)的 Fourier 变换e t， t(0F f ( t)1，则ix(t )=-1X()=0， t0Fe t， t.02求函数 f (t)cost sin t 的 Fourier 变换。解： Fcos t sin t F sin 2t 1 F e2ite 2 it1 F e2it F e 2 it 222i4i(象函数的位移性质 )1 2 (2)2(2)54ii2)(2)(23利用 Fourier 变换，解积分方程1 t ,0t10g( )cos td0,t1解：由课本P12(1
17、.13)-(1.14) 式，即 Fourier 余弦逆变换公式可得，10sin t1g( )f ( t)costdt1t )costdt1 t(1d sin t0000sin11cos t1cost1tdt1sin tsin22000tsin t,t04求 f1(t)e, t0 与 f2(t )t的卷积 f1 (t ) f 2 (t) 。0,t00,0解：f1(t) f2 (t )f1 () f2 (t)d当0或 t0时，被积函数等零；当且即时，被积函数不为零，从而0 t0 0tttf1 ( ) f 2 ( t)de sin(t )de (t s) sin sds00te tes sin sdse t01sin t coste t21tsin scoss es2011