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1、二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例题判断下列代数式中哪些是二次根式？12 ， 16 a22a 2巩固， a9 ， x21 ，x （ x0）， m 3 2。1、下列各式中，不是二次根式的是（）A 45B 3C a221D22、下列各式中，是二次根式是（）.（ A）x （B）30（C）a 1 （D） b2 1知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，有
2、意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a 0 时，没有意义。例题 1x 取什么值时，4 5x有意义 （）5444（ A）x4 （ B） x 5 （ C）x 5 （ D） x 53x巩固使代数式x2有意义的 x 取值范围是（）A x2； B x3， 且x2；C x 3， 且x2；Dx 3，且x2；知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根， 也就是说，（）是一个非负数， 即0（）。注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是0 ，所以非负数（）的算术
3、平方根是非负数，即0 （），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、 偶次方类似。 这个性质在解答题目时应用较多， 如若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 。y例题已知 y2 xx 2 1 ，则 x知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则
4、等于a 本身，即；若 a 是负数，则等于a 的相反数 -a,即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0 ，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算（ 1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外
5、面； 如果被开方数是代数和的形式， 那么先解因式， ? 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（ 2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（ 3）二次根式的乘除法： 二次根式相乘 （除），将被开方数相乘 （除），所得的积 （商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式ab =a b（a 0， b0 ）；bb（ b0， a0 ）aa（ 4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，? 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算例题 1计算 a 39a3 a =a3例题 2(5 486 27
6、4 15 )3例题 3计算：（ 1） ( 271 ) ( 12145)35（ 2）；二次根式同步学习检测（一）（整章检测）（时间90 分钟满分 100 分）一、选择题（共12 分）1在根式15 、1a 2b2、3ab 、16、 12a2 b 中，最简二次根式有 （）a - b3aA 1 个B 2 个C 3 个D 4 个2在二次根式2-6，1，1和32中，与 6是同类根式的有 （），153256492A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个3在下列各式中，等号不成立的是（）A1 -aB 2xy 4x 2 y (x 0)aaC- 2a3a- 2aD(x+2xy +y) ( x +y ) x + y
7、4在下列各式的化简中，化简正确的有（） a3 a a 5x x - x 4x x 6aa3a 2ab24 +162b 10b6A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个5 已知二条线段的长分别为2 cm 、3cm ，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A1cmB 5 cmC 5cmD 1cm 或 5 cm6 已知 a 0，化简：a 2a2a的结果是（）A 1B -1C 0D 2a二、填空题（每题2 分，共 20 分）7 25 的绝对值是 _ ，它的倒数 _8当 x_ 时，1是二次根式13x9当 x_时， 2x5 有意义，若2x 有意义，则 x_ 。x10当 mn 时，( nm) 2
8、_，当 a_ 时，a 213a311化简2250.04_，11721082_。12计算： 3 5a 2 10b_13若最简二次根式 25x 21 与7x 2 1 是同类二次根式，则 x=_。14把根式 a1根号外的 a 移到根号内，得 _。a15二次根式33x 与2ax 的和是一个 二次根式，则正整数a 的最小值为；其和为。16观察下列各式： 222233443；33； 44；3881515则依次第四个式子是；用 n( n2)的等式表达你所观察得到的规律应是。三、解答题（共68 分）17 （ 5 分）计算：abaabab18 （5分）计算：241348)(2 128219 （5分）解方程：15
9、x804x5320 （5分）解不等式：2( x3)6( x1)21 （5分）已知：x204212，求 xx2 的值22 （5分）化简并求值12aa 2a 22a1其中 a1a1a 2a2323 （5分）已知实数a 满足 |2003 a|+a 2004=a，则 a 2003 2 的值是多少？24 （5分）已知正数 a 和 b ，有下列命题：（1 ）若 a b2，则ab 1 ；（）若a b3，则ab3；22（3 ）若 a b6 ，则 ab 3 ；根据以上三个命题所提供的规律猜想：若ab9 ，则ab 。25 （ 6 分）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。已知 m 为实数，
10、化简：m3m1m解：原式mmm1mmm1m26 （ 6 分）如图，ABC 中，ACBRt， AB8, BC2 ，求斜边 AB 上的高 CD 27 （ 8 分）观察下列等式：1212 1；21( 21)( 21)13232；32(32 )(32)14343；43(43)(43)回答下列问题：（1 ）利用你观察到的规律，化简：13112（2 ）计算：111.112233210328（ 8 分）水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与 AE 的长度之比）为1： 0.6 ，背水坡坡比为 1：2 ，大坝高DE =30 米，坝顶宽CD=10 米，求大坝的截面的周长。DCABEF新人教九年级（上）第21 章二次根式
11、同步学习检测（二）一、选择题1、如果3是二次根式，则x 的取值范围是（）x+5A、 x5B、 x 5C、 x1B 、 x0, 化简二次根式 xy的正确结果为（）x2A、 yB、 yC 、 yD 、 y9、若代数式(2 a) 2 +(a 4) 2 的值是常数 2 ，则 a 的取值范围是（）A、 a 4B 、a2C、 2 a4D 、 a=2 或 a=410 、下列根式不能与48合并的是（）1A、 0.12B 、18C、1D、75311 、如果最简根式3a 8 与17 2a是同类二次根式， 那么使4a 2x 有意义的 x 的范围是（）A、 x10B 、x10C、 x1012 、若实数 x、 y 满足
12、 x2 +y 2 4x 2y+5=0, 则x+y的值是（）3y 2x3A、 1B 、+2C、 3+22D、 3 222二、填空题1、要使x 1有意义，则 x 的取值范围是。3 x2、若a+4 +a+2b 2=0 ，则 ab=。3、若1 a 2与a 21 都是二次根式，那么1 a 2+ a2 1 =。4、若 y=1 2x+2x 1+(x 1) 2，则 (x+y) 2003 =。5、若2x1+3x，化简(x+2) 2 3=(x+3) 3。6、若(a+1) 2=(a 1) 2，则 a=.7、比较大小： 352611 1014 138、若最简根式m2 3与5m+3是同类二次根式，则m=.2233449
13、、已知2=23,3=3,4=415,请你用含 n 的38815式子将其中蕴涵的规律表示出来：.110 、若5的整数部分是a ，小数部分是b，则 a =。b11 、已知x =1a，则4x+x 2 =。a12 、已知 a=3 53+5，则化简 a 得.三、计算与化简1、 ( 3 + 2 ) 1+ ( 2) 232 、1+11+ 83 +15 +335a113、 (1+ 2 3 )(1 2 +3 )+264、9a +3a+a 32a四、先化简再求值4a +bab1、已知 a=3,b= 4，求 +的( a + b )( a b )ab ( b a )ab值。a+2+a2 4a+2 a2 42、化简：a
14、+2 取自己喜爱的 a 的值计算。a+2 a2 4a2 43+2323、当 a=， b=32时，求a2 3ab+b 2的值。3 22a2 1a 2 2a+114、当 a=时，求a2 a的值。1 3a 1a五、解答下列各题1、解方程：3(xy 1)=2 (x+1)2、解方程组：x=623、已知直角三角x+y=4形 两 直 角 边 长 分 别 为a=1,b=23 111,求斜边的长。23 11【参考答案】同步学习检测（一）一、选择题1 C2 B3 C4 B5 D6 B二、填空题7 52, 258 1312 302ab13 1nnn1n1n2n2三、解答题9 5 ，x 且x010 m-n ， 011
15、 3， 452214 a15 65551016. 5，424171 4 6193xy20x33212211,323200911818aa24 925 原式(m)mm (1)m m 1m26 627 （ 1）2m22311 ；（ 2 ） 928 (9830 5634)米同步学习检测（二）一、选择题1、 C2、 C3、 C4、 C5、 D6 、 C7、C8 、 D9、 C10 、B11 、 A12 、 C二、填空题1、 1 x8、 69、n+=n(n 2 且 n 为整数 )n 2 1n2 1110 、511 、 a12 、2a三、计算与化简231、 3 22、3+13 、 4+464 、a6四、先化简再求值1、 3 22 、 a3 、 954、 3五、解答下列各题1、 x=5+262、 x=23 2 y=6 233、464、7652262