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1、说说旋转变换胡明华将平面图形 F1 绕定点 M 旋转一个定角 a，得到图形 F2，这就是旋转变换。在旋转变换下，旋转前后的图形全等。旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上。1. 旋转后，使分散的条件相对集中，便于问题的解决例 1. 如图 1， ABC中， AB 3， AC 2，以 BC 为边的 BCP 是等边三角形，求 AP 的最大、最小值。图 1分析：已知条件AB=3 ， AC=2 与所求的 AP 比较分散。考虑到BCP 是等边三角形，若ACP 绕点 P 逆时针旋转 60 到 A BP ，则A BAC， A PAP， APA 60 ， 可得AA P 是等边三角形， APA
2、A ，则 AB 3， A B2 与所求 AA 就集中到AA B 中（特殊情况A ， A ， B 三点在同一直线）。由于 AB A BAA AB A B ，所以 1AA5 。即 AP 的最大值为 5，最小值为 1。2. 由条件和结论出发，确定旋转的方向、角度例 2. 已知：正方形 ABCD 内一点 E 到 A 、B、C 三点的距离之和的最小值为26 ，求此正方形的边长。图 2分析：已知条件EA+EB+EC的最小值为26 ，由于EA 、 EB 、 EC比较分散，不便解决。可将ABE 绕点B 逆时针旋转60得A BE 。为什么要旋转60呢？因旋转60 后， AEA E ，BEE 是等边三角形，EE
3、EB，这样EAEBECA E E EEC，就转化为一条折线的长，进一步A E E EECA C，而A C是定长。故当E 落在 A C 上（显然此时E 也落在 A C上 ）时， A C就是 EAEBEC 的最小值，因而A C26.下面只要作 A FBC交 CB延长线于 F，设 BCx，则由于ABA60 ，得A BF30 ， A F1 A B1 x，22FB3 x，2在 RtA FC 中，运用勾股定理，得A F 2FC 2A C 2即 ( 1 x) 2( x3 x) 2(26) 2 ，22解得 x2，即正方形的边长为 2。请看应用例 3.已知：ABC 中， ABAC，在ABC内有一点 P，使APB
4、APC ，求证： PCPB。图 3分析： 将 APB 绕点 A 旋转至APC ，如图 3 连结 PP ， 则APAP，APBAP C，因为APBAPC ，所以AP CAPC，由于APP AP P，所以PP CP PC，于是有 PCP C，而 PB P C，所以 PCPB。例 4. 如图 4，在四边形ABCD 中，AB=BC ， AC 90， B135 ，K 为 AB上一点， N 为 BC 上一点。若BKN 的周长等于 AB的 2 倍，求KDN的度数。图 4分析：显然，ADC45 ， ADAC，将ADK 绕点 D 顺时针方向旋转45 至CDK （ K 在 BC的延长上），则NKBKBN2 ABA
5、B BCAKBKBNNCNK BKBN，即NKNK ，进一步可得DKNDK N，故 KDN145 225. .K DN2例 5. 如图 5， O1、 O2及定点 P，定角，求作： O1 上点 C， O2 上点 D ，使 PC=PD ，且CPD。图 5分析： 假设 C、D 两点已作出，把O1 绕点 P 逆时针旋转，到 O1 ，则PO1C 旋转 到 PO1 D 的 位 置 ， 显 然 ， D 就 是 O1 与 O2 的 交 点 。 故 本 题 可 先 连 结PO1 ，再作 PO1 PO1，O1 PO1 ，再以 O1 为圆心， O1 的半径作 O1 ，交O2 于 D ，最后以 P 为圆心，以 PD
6、为半径作圆，交 O1 于点 C，可完成作图。练习：1. 如 图 6 ， 正 方 形ABCD 内 一 点 P ， PA ： PB ： PC=1 ： 2： 3 ， 求APB 的度数。（答案：135 ）图 62. 如图 7， ABC中， BAC 90 ， AD 是高，点 P、 Q、 R 分别在 AB 、BC、AC 上，求证 PQR的周长 2 AD 。 （提示：可将 ABC绕点 A旋转 180 到 AB C ）。图73. 如图8，三角形l， m， n 互相平行，A是 l上一点。求作ABC，使 B在直线m上 ，C 在直线n 上，且使ABC 为一等边三角形。（提示：作ADm，可考虑将ABC 逆时针旋转60）图 8年级初中学科数学版本期数内容标题说说旋转变换分类索引号G.622.46分类索引描述辅导与自学主题词说说旋转变换栏目名称中考经典供稿老师审稿老师录入韩素果一校康纪云二校审核