《工具变量法~.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工具变量法~.docx（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、精品文档工具变量法一、工具变量法的主要思想在无限分布滞后模型中， 为了估计回归系数， 通常的做法是对回归系数作一些限制，从而对受限的无限分布滞后模型进行估计。在这里，考伊克模型、适应性期望模型与部分调整模型给出了很好的解决此类问题的思路。 经过变换，新的模型中，随机扰动项的表达式为：考伊克模型： vtutut 1 （ 01 ，为衰减率）（1.1 ）；适应性期望模型：vtut （1） ut 1（ 01 ，为期望系数）（ 1.2 ）；部分调整模型：vt（1） ut（ 01 ，1为调整系数） （1.3 ）。ut 为原无限分布滞后模型中的扰动项， v t为变换后的扰动项。在原模型中的随机扰动项满足经典
2、假设的前提下， 部分调整模型也满足经典假设，但是考伊克模型与适应性期望模型的随机扰动项由于存在原随机扰动项的滞后项，也就是说考伊克模型与适应性期望模型的解释变量Yt 1 势必与误差项 v t相关，因此，可能会出现上述两个模型的最小二乘估计甚至是有偏的这样严重的问题。那么，我们是否可以找到一个与Yt 1 高度相关但与 vt 不相关的变量来替代Yt 1 ？在这里，一个可行的估计方法就是工具变量法。在讨论工具变量法之前，我们先来了解一下外生变量和内生变量。一般来说：一个回归模型中的解释变量有的与随机扰动项无关， 我们称这样的解释变量为外生变量； 而模型中有的解释变量与随机扰动项相关， 我们可称这样的
3、解释变量为内生解释变量。 内生解释变量的典型情况之一就是滞后应变量为解释变量的情形，如上述考伊克模型与适应性期望模型中的Yt 1 。外生解释变量：回归模型中的解释变量与随机扰动项无关；内生解释变量：回归模型中的解释变量与随机扰动项无关；了解了内生变量和外生变量的概念，我们接着讨论工具变量法的主要思想：工具变量法和普通最小二乘法是模型参数估计的两类重要方法， 在多元线性回归模型中，如果出现解释变量与随机误差项相关（即出现内生变量）时，其回归系数的普通最小二乘估计是非一致的，这时就需要引入工具变量。工具变量，顾名思义是在模型估计过程中被作为工具使用， 以替代模型中与随机误差性相关的随机解释变量（即
4、内生变量） 。满足条件： 1）总体无关：工具变量与随机扰动项无关；2 ）样本相关：工具变量必须与被它所代替的内生变量高度相关；3 ）与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。做了替代后，用普通最小二乘法即可得到原回归系数的一致估计量。二、工具变量法的基本原理。1欢迎下载精品文档我们分别从简单线性回归模型和多元线性回归模型两方面来具体分析工具变量法的基本原理：简单线性回归模型考虑简单线性回归模型Yi12 X 2iui1,2, L , n（2.1 ）其中 X 2i 为内生变量。则其正规方程为：X1i ui0X 1i 1（2.2 ）X 2 i ui0设回归模型中的解释变量与随机扰动项相关，
5、则如前所述，普通最小二乘估计量是非一致的。现用一个工具变量Zi 来代替正规方程 中的解释变量 X2i ，其残差表达式不变。X 1iui0X 1i1（2.3 ）Z i u i0即：X1iYi12X 2i0（2.4 ）X1i1ZiYi12 X2i0解上述引入了工具变量后的正规方程可得斜率项系数的估计量为：zi yi（ 2.5）2IVzi x2i（2.5 ）式中小写字母代表相应大写字母的离差。该市所表示的估计量就是工具变量估计量，简称IV 估计量，用IV 表示。易证 IV 估计量是一致估计量。zi yizi 2 x2i uizi ui（2.6 ）事实上， 2IVzi x2i2zi x2izi x2i
6、若工具变量与解释变量高度相关，则表明（2.6 ）式中zi x2i 较大；若工具变量与随机扰动项渐近无关， 则表明（2.6 ）式中zi ui 随着样本容量的增加而趋向于零。故在工具变量与它相应的解释变量高度相关而与随机扰动项渐近无关的条件下，有p lim 2IVp limzi ui（ 2.7 ）22p limzi x2 i样本估计总体，（2.7 ）表明 IV 估计量是一致估计量。2欢迎下载精品文档多元线性回归模型：工具变量法可直接推广到多元线性回归模型Yi1 X 1i2 X 2iLk X kiuii 1,2, L , n（2.8）其中： X1i1在讨论工具变量法在多元线性回归模型中的应用之前，
7、我们先来分析工具变量的个数问题。为了一般起见， 当解释变量与随机扰动项不相关时， 我们把解释变量本身也作为是一个工具变量。 这就是说，在我们的模型中凡事预随机扰动项无关或渐近无关而与解释变量相关的变量都称为是工具变量。 这样与随机扰动项无关的解释变量本身当然是与解释变量高度相关的变量， 故它也是工具变量。 在作了这样的约定之后对多元回归模型（ 2.8 ）来说，工具变量的个数一定不会小于解释变量（包括常数项）的个数（但可以大于解释变量的个数） 。这是因为凡是与随机扰动项相关的解释变量都要有与随机扰动项无关或者渐近无关的工具变量或工具变量的线性组合， 而凡与随机扰动项无关的解释变量本身就是一个工具
8、变量 （按我们上述约定）。所以工具变量的个数当然不小于解释变量（包含常数项）的个数。因此：工具变量的个数可以等于也可以大于（但不能小于）解释变量（包括常数项）的个数。接下来的分析中，我们重点讨论工具变量的个数与解释变量的个数相等的情形：对于多元线性回归模型（ 2.8 ）：设解释变量 Xj ，( j1,2, L , k ) 的工具变量为Zj ，( j1,2, L , k ) ，其中 Z1X1 1，而且某些 Z 变量可能与 X 变量相同。若多元线性回归模型（ 2.8 ）的正规方程为：X u?01i i?0X2i ui（ 2.9 ）MX u?0ki i则可通过将这个正规方程组中的解释变量换成其相应的
9、工具变量， 但残差的形式保持不变。得：Z u?01i i?0Z2i uiM(2.10)Zu?0ki i解方程组（ 2.10 ）可得回归系数的一致估计量即IV 估计量。k?代入（）式中，经整理得：Yij Xji2.10将 uij 1。3欢迎下载精品文档knn? Z1iX=Z1iYj1i1jjii1ikn? ZXnZY2iji=j1i1ji12ii（2.11 ）Mkn? ZXnZYkiji=j1i1ji1kii若令Z11Z 21LZk 1X11X21LXk1?1ZZ12Z22LZk2，XXXLXk2?Y1222,2MMMMMMM，Z nZ nLZ knX nX nLXkn?1212k则（ 2.11
10、 ）式可以表示为：Z , X ?Z ,Y（2.12 ）若 Z ,X 是一个满秩矩阵，则回归系数的IV 估计量为：?,1,（Z X） Z Y（2.13 ）IVY1Y2MYn当解释变量与随机扰动项不相关时，我们把这个解释变量本身也作为是一个工具变量。把模型中凡是与随机扰动项无关或渐进无关而与解释变量相关的变量都称为解释变量。工具变量的个数一定不会小于解释变量（包括常数项）的个数。三、二阶段最小二乘法（TLS）IV 估计量可以看作是两次运用最小二乘法的结果。第一阶段：求解释变量X 对工具变量 Z 的回归，得到一个解释变量的拟合值 X 。1（ 3.1 ）X Z Z Z Z X PZ X第二阶段：求应变
11、量Y 对解释变量的拟合值X 的回归，得到回归系数的估计值。11X XX YX PZ Y（3.2 ）TLSPz Pz XX注意到 PZ为一对称的幂等矩阵，所以，X Pz X1（ 3.3 ）TLSX PZ YIV二阶段最小二乘法（ TLS）简例Yi12 X2 i3 X 3i4 X 4i5 X 5iui（3.4 ）。4欢迎下载精品文档X2 i 、X3i 是内生变量，X4 i 、5 i 是外生变量X第一阶段：分别用内生解释变量对所有外生解释变量回归；X 2i2024X 4i25X5 iu2 iX3 i3034X 4i35X5iu3i（ 3.5 ）（ 3.6 ）得 X 2i 、 X 3i 的拟合值 X
12、2i 、 X 3i ，也称为工具变量。第二阶段：用上述拟合值代替实际值。（3.7 ）Yi12 X 2i3X 3i4X 4 i5X 5iui我们也称 X4i ， X5i 为工具变量。四、用工具变量法估计自回归模型由于考伊克模型与适应性期望模型均可化为一阶自回归模型。 而自回归模型中由于含有滞后应变量作为解释变量，所以回归系数的最小二乘估计是非一致的，为了得到一致的估计可用工具变量法， 但用什么变量作为工具变量也是很难作出决断的。例如对模型：YtXtYt1ut（4.1 ）利维亚坦（ Liviatan）建议用解释变量的滞后一个时期Xt 1 的值作为随机解释变量 Yt 1 的工具变量。但由于大多数经济
13、时间序列在相邻两期之间存在高度相关，从而使 Liviatan的方法受到多重共线性的困扰。在这里我们看一个例子：Yt1X1t2X2t3Yt 1vt（4.2 ）假定 Yt 1 和v t 相关。为了消除这种相关，假定我们采取如下工具变量法：先?求 Y 对 X t 和 X t 的回归，并从此回归得到估计值 Y 。然后做回归：t12tYt?vt（ 4.3 ）1X1t2X2t3Yt 1?其中 Yt 1 是从第一步回归估计处理的。在这个例子中利用两阶段最小二乘法消除了原模型中Yt 1 和 vt 之间的相关性。五、简述工具有效性的萨甘检验假定我们用一个工具变量来替代与误差项相关的自变量。 那么工具变量又会多有
14、效呢？也就是说我们如何知道所选的工具变量与误差项是独立的呢？萨甘提出了一个统计量（即SARG）来检验工具变量法中所使用的工具有效性。5欢迎下载精品文档SARG所涉及的步骤如下：1 、将 回归 方程 中所包括 的变 量分 成两组，一组 是外 生变 量（称为X1， X2，L ，Xp ），另一组是内生变量（称为Z1，Z2，L，Zq）。W， W，L， W 为1中的Z的变量工具，其中sq。2、选取 1 2s3、用 W 替代 Z 并估计原来的回归，也就是说，通过工具变量来估计原来的回归并得出残差值 u?。4、将 ?对一个常数项、所有的X变量和所有的W变量（但不包括Z变量）u进行回归，从回归中得出R2 。5
15、、现在计算 SARG统计量，它的定义为：SARG=22（5.1 ）n k R :s q其中 n观测次数， k原回归方程中的系数个数。 在工具变量外生的虚拟假设下，萨甘证明了， SARG检验渐近服从自由度为 sq 的 2 分布，其中 s 指工具个数（即 W变量的个数），而 q 指原回归方程中问题变量的个数。在一个具体应用中，如果计算出来的2 值统计显著，我们就拒绝工具的有效性。如果它在统计上不显著，我们就可以认为所选择的工具变量是靠得住的。应该强调指出sq ，即工具变量的个数必须大于q 。否则（即 sq ）,SARG检验就是靠不住的。6、虚拟假设是所有的（ W）工具变量都是有效的。如果计算出来的2 检验超过了2 检验的临界值，则拒绝虚拟假设，这意味着至少有一个工具变量是与误差项相关的，因而基于所选工具的工具变量估计值就是靠不住的。6欢迎下载精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书， 学习资料等等打造全网一站式需求。7欢迎下载