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1、高三数学第一轮复习单元测试（7） 圆锥曲线一、选择题 （本大题共 12小题 ,每小题5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1若椭圆经过原点,且焦点为 F1 (1,0), F2 (3,0),则其离心率为（）A 3B 2C11432Dx2y242若抛物线 y22 px 的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p 的值为（）62A 2B 2C 4D 43已知双曲线 3x2y 29 ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（）A 2B 23C 2D 434与 y 轴相切且和半圆 x2y24(0x2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是（）A y24(
2、x1)(0x1)B y24( x1)(0x 1)C y24( x1)(0x1)Dy22( x1)(0x1)5直线 y2k与曲线 9k 2 x2y218k 2x( kR,且 k0)的公共点的个数为（）A 1B 2C3D 46如果方程x2y2（）pq1 表示曲线 ,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是A x2y21Bx2y 212qpq2qppC x2y 2Dx2y 212 pq12pqqq7曲线x2y26) 与曲线x 2y21(5m9) 的（）10m61(mm9mm5A 焦距相等B 离心率相等C焦点相同D准线相同8双曲线 mx2y21 的虚轴长是实轴长的2 倍，则 m（）A 1B 4C 414D9x
3、 轴的正半轴和yA4QP x, y的直线分别与轴的正半轴交于、B两点，点与点设过点P关于 y 轴对称， O 为坐标原点，若BP2PA，且 OQ AB1，则 P 点的轨迹方程是- 1 -（）A 3x 2 3 y21 x 0, y 0B 3x 2 3 y 21 x 0, y 022C 3 x 23 y21 x 0, y 0D 3 x 23y 21 x 0, y 02x2 上的点到直线 4 x210抛物线 y3 y8 0 距离的最小值是（）478D 3A B C35511已知抛物线 x2y 1上一定点 A(1,0) 和两动点 P,Q 当 PAPQ 是 ,点 Q 的横坐标的取值范围是（）A (,3B
4、1, )C 3,1D (, 3 U 1,)x2y212椭圆1上有 n 个不同的点 : P1, P2 ,.Pn , ,椭圆的右焦点为 F ,数列 | Pn F | 是公43差大于1的等差数列 ,则 n 的最大值为（）100A 199B 200C 198D 201二、填空题 (本大题共4 小题 ,每小题4 分 ,共 16 分 .把答案填在题中的横线上)x2y2F1 , F2,点 P 在椭圆上 .如果线段 PF1 的中点在 y 轴上 ,那13椭圆1的两个焦点为123么 | PF1|是 | PF2|的 _倍 .14如图把椭圆x2y2+= 1 的长轴 AB 分成 8 等25 16分 ,过每个分点作 x
5、轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1,P2, ,P7 七个点 ,F 是椭圆的焦点,则 |P1F|+|P 2F|+ +|P 7F|=.15要建造一座跨度为16 米 ,拱高为 4 米的抛物线拱桥,建桥时 ,每隔 4 米用一根柱支撑,两边的柱长应为 _.16已知两点M ( 5,0), N (5,0) ,给出下列直线方程: 5x3y0 ; 5x3y520 ;xy40 .则在直线上存在点P 满足 | MP | | PN |6 的所有直线方程是_.(只填序号 )- 2 -三、解答题 (本大题共 6 小题 , 共 74 分 ,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 )17（本小题满分 12 分）学校科技小组在计
6、算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为x 2y21 ，变轨（即航天器运行轨迹由10025椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、64为顶点的抛物线的实M 0,7线部分，降落点为 D ( 8, 0 ) . 观测点 A( 4, 0 )、 B( 6,0 ) 同时跟踪航天器 .（ 1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（ 2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A、 B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？18（本小题满分12 分）已知三点P（ 5， 2）、 F1 （ 6， 0）、 F 2 （ 6， 0）。（ 1）求以
7、 F1 、 F 2 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（ 2）设点P、 F1 、 F2 关于直线y x 的对称点分别为P 、 F1 、 F2 ，求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的双曲线的标准方程.- 3 -19（本小题满分 12 分）已知椭圆的中心在原点,离心率为1m,0) ( m 为大,一个焦点是 F (于 0 的常数 ).2（ 1）求椭圆的方程 ;uuuuruuur（ ）设是椭圆上一点且过点的直线l与y轴交于点M ,QF ,Q若 | MQ |2 | QF | 求直2,线 l 的斜率 .x2y220（本小题满分12 分）已知点 A, B 分别是椭圆1 长轴的左、 右端点 ,点 F 是
8、椭圆3620的右焦点 .点 P 在椭圆上 ,且位于 x 轴的上方 , PAPF .（ 1）求点 P 的坐标 ;（ 2）设 M 椭圆长轴 AB 上的一点 , M 到直线 AP 的距离等于 | MB |,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值 .- 4 -21（本小题满分12 分）已知抛物线y28x ,是否存在过点Q(1,1) 的弦 AB ,使 AB 恰被 Q 平分 .若存在 ,请求 AB 所在直线的方程;若不存在 ,请说明理由 .r r22（本小题满分 14 分）设 x, yR , i , j 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向rrr rrrrr量 axi( y 2) j
9、, bxi( y 2) j ,且 | a | | b | 8 .（ 1）求点 M ( x, y) 的轨迹 C 的方程 ;uuuruuuruuur（ 2）过点 (0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点 ,设 OPOAOB ,是否存在这样的直线 l ,使得四边形 OAPB 是矩形 ?若存在 ,求出直线 l 的方程 ; 若不存在 ,试说明理由 .- 5 -答案与解析（7）1 C . 原点到 F1 , F2 的距离之和是长轴长2a4 ,又2c2 ,所以椭圆的离心率c1e.2 D . 椭圆 x2y2a21 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 y 22px 的焦点为 (2,0)，则 p4 ，6
10、2故选 D3答案选 C依题意可知a3,ca2b 23923 ，c232 ，故选 Ce3a4A 设动圆圆心为M ( x, y) ,动圆与已知半圆相切的切点为A ,点 M 到 y 轴的距离为 d ,则有| OA | | OM |d ,而 dx,所以2x2y2x ,化简得 y24( x 1)(0x1) .5 D将 y2k 代入 9k2 x2y218k 2x 得： 9k 2 x24k 218k 2 x9| x |218 x4 0 ，显然该关于 | x| 的方程有两正解，即x 有四解，所以交点有 4个，故选择答案D 6 D由题意知 , pq0 .若 p 0, q0 ,则双曲线的焦点在y 轴上 ,而在选择
11、支A,C 中 ,椭圆的焦点都在 x 轴上 ,而选择支 B,D 不表示椭圆 ;若 p 0, q0,选择支 A,C 不表示椭圆 ,双曲线的半焦距平方c2p q ,双曲线的焦点在 x 轴上 ,选择支 D 的方程符合题意 .- 6 -7 A 由x2y21(m6)知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x轴 上 的 椭 圆 ， 由10m 6mx2y21(5 m9) 知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线， 故只能选择答案A 5m9m8A . 一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴？没说，至少没有明说。分析一下，因为等号后为常数“ +”，所以等号前为系数为“+”的对应实轴。 y2 的系数为“ +”，所以这个双曲
12、线是 “立” 着的。接下来排除 C、D 两过于扯淡的选项 既然说是双曲线，“ x2”与“ y2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形式x2y 21y2x210 ），题目中的双曲线方程并不是标准形式，所以要是 a2b2b2或 a2（ a,bx2y21变一下形儿，变成1/ | m |。由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方=4.1:14m14。选 A 当然，我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长即 | m |，所以即可直接把答案A 圈出来9 DBP2PA及A, B分别在 x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，A(3x,0),B(0,3 y)， 由uuur2(3 x,3 y) ，
13、由点 Q 与点 P 关于 y 轴对称知，uuurx, y) ，则ABQ( x, y) ， OQ = (uuur2uuur(3 x,3 y)(x, y)3 x23y21(x0, y0)OQAB22d| 4t 3t 28| | 3t 24t8|10 A .抛物线上任意一点（t ，t 2）到直线的距离55.因为424 3 8 0 ， 所 以 3t24t 8 0 恒 成 立 . 从 而 有d13t24t8，5dmin14384245433 .选 A 由题意知 设 P( x , x 21),Q( x , x1)uuuruuur02又因为由PQ知PAPQ,11 D .,112,A( 1,0) , PA,即
14、( 1 x1,1 x12 ) (x2x1, x2 2x1 2 ) 0,也就是(1x1 )( x2x1)(1x12 )( x22x12 )0 , 因为 x1x2 ,且 x11,所以上式化简得- 7 -x211(1x1 )1 ,由基本不等式可得x21或 x23 .1x1(1x1 )x112D .,| P1F |最小, | PnF |,F为椭圆的右焦点,由题意知 要使所求的 n 最大 应使最大 又设Pn 的横坐标为 xn 故由第二定义可得,| Pn F |aexn ,其中 a2,e1,所以当 x1 2时 ,2| PF1| 1 , 当 xn2 时 ,| Pn F | 3 最 大 . 由 等 差 数 列
15、 的 通 项 公 式 可 得 ,| Pn F | PF1 | (n 1)d ,即 n21,又因为 d1,解得 n201.d100137 倍 .由已知椭圆的方程得 a23, b3, c3, F1 (3,0), F2 (3,0) .由于焦点 F1和 F2关于y 轴对称 ,所以 PF2 必垂直于 x轴 .所以P(3,3 ),| PF |3 ,| PF |(33)2(3 )273,所以 | PF2 |7 | PF1 |.2221221435.设 P1 (x1,y1),P 2(x2,y2), ,P7(x7,y7),所以根据对称关系x1 +x 2+ +x7 =0,于是|P F|+|P F|+ +|P7F|
16、=a+ex1+a+ex+ +a+ex=7a+e(x +x2+ +x)= 7a=35, 所以应填 35.122717151米 .由题意知 ,设抛物线的方程为 x22 py ( p0),又抛物线的跨度为16,拱高为4,所以点 (8,-4) 为抛物线上的点,所以 p8 .即抛物线方程为x216 y .所以当 x4时 , y1,所以柱子的高度为1米.16 .由 | MP | PN |6 可知点 P 在双曲线 x2y21的右支上 ,故只要判断直线916与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为y4 x ,直线过原点且斜率54352;直线与直线平行,且在 y3,所以直线与双曲线无交点轴上的截距为故3
17、43与双曲线的右支有两个交点;直线的斜率 1,故与双曲线的右支有一个交点 .64317（ 1）设曲线方程为yax 2，647由题意可知， 0a64.7- 8 -a1.71x264曲线方程为 y.7 7（ 2）设变轨点为 C( x, y ) ，根据题意可知x 2y2(1)1,4 y 210025得7y360，y1x264,( 2)77y4 或 y9y4 .（不合题意，舍去） .4C 点的坐标为 ( 6, 4 ) ，得x6 或 x6 （不合题意，舍去） .| AC | 25,| BC |4 .答：当观测点A、B 测得 AC、 BC 距离分别为 25、 4 时，应向航天器发出变轨指令 .18（ 1）
18、由题意，可设所求椭圆的标准方程为x 2y 21 ( ab0) ，其半焦距 c6 。a2 +b22a | PF1 | | PF2 |11222122 26 5 ， a3 5 ，b2a 2c245 369 ，故所求椭圆的标准方程为x2+ y 21；459（ 2）点 P（ 5， 2）、 F1 （ 6， 0）、 F 2 （ 6， 0）关于直线y x 的对称点分别为：P (2,5) 、 F1 （0， -6）、 F2 （ 0，6）设所求双曲线的标准方程为x2y 21 (a10, b10) ，由题意知半焦距c16 ，2 -2a1b12a1| P F1 | | P F2 |1122 212224 5 ， a1
19、2 5 ，22a1236 20 16y 2x2b1c1，故所求双曲线的标准方程为-1.201619 （ 1 ） 设 所 求 椭 圆 方 程 为 :x2y21(ab0) . 由 已 知 得 : c m, c1, 所 以a2b2a2a2m,b3m .故所求椭圆的方程为:x2y21.3m24m2uuuuruuur（ 2 ） 设 Q( xQ , yQ ) , 直 线 l : y k (x m) , 则 点 M (0, km). 当 MQ2QF时 , 由 于F (m,0), M (0, km).由定比分点坐标公式,得- 9 -02m2km014m2k 2 m2xQm ,yQkm .又点 Q 在椭圆上,所
20、以991,1231234m23m2解得 kuuuuruuur时 , xQ0( 2) (m)2m ,yQkmkm .2 6 . 当 MQ2QF1212于是4m2k 2 m21 ,解得 k0 .故直线 l 的斜率为 0或 26 .4m23m2A(6,0), F (0,4)uuur( xuuur( x 4, y) ,20（ 1）由已知可得点, 设点 P( x, y) ,则 AP6, y) , FPx2y 213620y2由已知可得( x6)(x4)0 .则 2x29x180解得 x3 ,或 x6 . 由于2y 0 ,只能 x353.所以点 P 的坐标是 (353) ., 于是 y22,22（ 2 ）直线AP 的方程是x3y60. 设点 M (m,0), 则 M 到直线AP 的距离是m6m62.于是| m6 | ,又6m6 ,解得 m2 .椭圆上的点 ( x, y) 到点25 x2 4 ( x9) 2M 的距离 d 有 d 2( x2)2y 2x2