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1、高三数学第一学期第三次阶段测试数学试题一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分答案填在题中横线上1已知集合 M11， ， Nx12x 14，xZ ，则 M IN _.22设 sin3(),tan()1 , 则 tan(2) 的值等于 _.52212i_象限 .3复数在复平面上对应的点位于第34i4在 ABC 中， BC=1 ，B3，当 ABC 的面积等于3 时， tan C _.5 设 y f(x ) 是一次函数 , f (0)1, 且 f(1), f (4), f (13) 成等比数列 ,则 f (2) f (4)f (2n )_6四棱锥 PABCD 的顶点 P 在底面AB
2、CD 中的投影恰好是A ，其三视图如右图，则四棱锥PABCD的表面积为 _7函数 ylog a ( x1)1 (a0， 且 a1) 的图象恒过定点A ，若点 A在一次函数 ymxn 的图象上，其中mn0 ，则 12的最小值为 _mn8设 O 是 ABC 内部一点，且 OAOC2OB, 则 AOB与 AOC 的面积之比为 _9若函数 f ( x) 是定义在（ 0，+）上的增函数，且对一切x0,y0满足 f ( xy)f ( x)f ( y) ，则不等式 f (x6) f (x)2 f (4)的解集为 _10 （理）若直线 ykx1与圆 x2y2kxmy 40 交于 M、N 两点，并且 M、N 关
3、于直线 x y0 对kxy10称，则不等式组kxmy0表示的平面区域的面积是_y0yx1（文）不等式组y0表示的平面区域的面积是_xy011 已知函数 f (x) 的导数 f( x)a( x1)( xa), 若 f ( x)在 xa 处取到极大值， 则 a 的取值范围是12 若从点O 所作的两条射线OM 、 ON上分别有点 M 1 、 M 2 与点 N 1 、 N 2 ，则三角形面积之比为：S OM 1 N1OM 1 ON1.若从点 O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ 和 OR 上分别有点S OM 2 N2OM 2ON 2P1 、 P2 与点 Q1 、 Q 2 和 R1 、 R2
4、 ，则类似的结论为：_13 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第 n 个图案中有白色地面砖_块14 给出定义：若 m1xm1 x ，即2（其中 m 为整数），则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记作2 x m . 在此基础上给出下列关于函数f (x)| x x |的四个命题： 函数 yf ( x) 的定义域是 R，值域是 0， 1；2 函数 yf ( x) 的图像关于直线 xk(k Z) 对称；2 函数 yf ( x) 是周期函数，最小正周期是1 ； 函数 yf ( x) 在1 , 1上是增函数；22则其中真命题是 _二、解答题：本大题共6 小题，共90 分解答应写出文
5、字说明，证明过程或演算过程ur15 (本小题满分14 分 )已知向量 m =（sinB ，1 cosB )，且与向量 n（ 2， 0）所成角为，其中 A, B,3C 是 ABC 的内角（ 1）求角的大小；（ 2）求 sinA+sinC的取值范围16 (本小题满分 14分 ) 已知数列 an 满足 a11, 且当 n 1,nN * 时, 有 an 12an 1 1.5an1 2an（）求证：数列 1 为等差数列；an（）试问a1a2 是否是数列 an 中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由17 (本小题满分 15 分 ) 设有关于 x 的一元二次方程x22axb20 （ ）若 a 是从
6、01，2，3 四个数中任取的一个数，b 是从 01，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（ ）若 a 是从区间 0，3 任取的一个数，b 是从区间 0，2 任取的一个数，求上述方程有实根的概率18 (本小题满分 15 分 )已知：正方体 ABCD-A 1B1C1D 1 ， AA 1 =2 ， E 为棱 CC1 的中点D1C1( ) 求证： B1D 1AE ；A1B1E( ) 求证： AC / 平面 B1 DE ；（）求三棱锥A-BDE 的体积DCAB19 (本小题满分16 分)（理科做） 已知O:221(2,1),由O外一点P（a,b）向Oxy和定点 A引切线 PQ ，切点为 Q，且
7、满足 | PQ | PA | .（ 1 ）求实数 a,b 间满足的等量关系；（2 ）求线段 PQ 长的最小值；（ 3 ）若以 P 为圆心所作的 P 与 O 有公共点，试求半径最小值时P 的方程。（文科做） 已知二次函数f (x)ax2bx c, (a, b, cR) 满足：对任意实数x，都有 f ( x)x ，且当 x （ 1 ， 3）时，有 f ( x)1( x 2) 2 成立。8（ 1）证明： f (2) 2。（ 2）若 f ( 2)0, f ( x) 的表达式。（ 3）设 g( x)f ( x)m xx0,) ，若 g (x) 图上的点都位于直线y1的上方，求实数m 的24取值范围。20
8、 (本小题满分16 分 ) 已知二次函数f(x)x2)() 同时满足：不等式f ( x) 0的解集ax a x R有且只有一个元素； 在定义域内存在0x1x2 ，使得不等式 f ( x1 )f ( x2 ) 成立。设数列 an 的前 n 项和 Snf ( n) 。（ 1）求函数 f (x) 的表达式；（ 2 ）求数列 an 的通项公式；（ 3）设各项均不为零的数列 cn 中，所有满足 ci ci 10 的整数 I 的个数称为这个数列 cn 的变号数。令 cn 1a cn 的变号数（ n 为正整数），求数列an高三数学第一学期第三次阶段测试（加试）（满分 40 分，答卷时间30 分钟）解答题（共
9、4 小题，每小题10 分，共 40 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1. （ 10 分）求由曲线yx22 与 y3x ， x0 ， x2 所围成的平面图形的面积11R ，若点 P （ 1,1 ）在矩阵 A 的变换下得到点P (0,-3) ，2. （ 10 分）已知矩阵 A，其中 aa1（ 1 ）求实数 a 的值；（ 2 ）求矩阵 A 的特征值及特征向量3. （ 10 分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9 个白球， 1 个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10 元；摸出2 个红球可获得奖金50 元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次
10、，乙摸两次，令表示甲，乙摸球后获得的奖金总额.求：（ I） 的分布列（II ） 的的数学期望4. （ 10 分）如图，四面体ABCD 中， O、 E 分别是 BD、 BC 的中点，CACBCDBD2, ABAD2.A（ I）求证： AO 平面 BCD ；（ II）求点 E 到平面 ACD 的距离（用空间向量求解）DOCBE高三数学第一学期第三次阶段测试数学试题必修部分答案一、填空题：1.12.73. 三 4， 2 35 ， n (2n 3)6 ， 2a22a27 ，88， 1249，（ 0， +）10，111 ，（ 0， +VO P1Q1 R1OP1 OQ1OR113， 4n 2） 12 ，O
11、P2 OQ 2 OR24VO P Q R22214 ， 二、解答题：15 ，解：（ 1 ） m =（ sinB ， 1-cosB) , 且与向量 n（2， 0）所成角为,31cos B3,3sin B tan B3又 0B3,即 B2, AC, 7 2233（ 2 ）：由（1 ）可得 sin Asin Csin Asin(A)1sin A3sin( A) 102cos A323 0A3A212 333 sin( A)3,sin Asin C3, 1, 1232当且仅当 AC时 ,sin A sin C1 14 616 ，解：（）当 n2时 ,由 an 12an11 得,an 1 an 4an
12、1an0 2 分an12an两边同除以 a n an1 得,114 ， 4 分a na n 1即 114对且N *成立，a nan 1n 1n 1 是以 15 为首项， d=4为公差的等差数列 . 7分ana1（）由（）得，11(n1) d4n1, 所以 , an1. 9 分ana14n1 a1a 2111 . 11 分5945设 a1a2是数列 an 的第 t 项，则 at111 ,4t45解得， t=11 N x， 13 分 a1a2 是数列 an 的第 11 项. 14分17. 解：设事件A 为“方程 a22axb20 有实根”当 a 0， b0时，方程 x22axb20 有实根的充要条
13、件为a b （ ）基本事件共 12个：(0，0)，(01)，(0，2)，(10)，(11)，(12)，(2，0)，(21)，(2，2)，(3，0)，(31)，(3，2) 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示 b 的取值事件 A 中包含 9 个基本事件，事件 A 发生的概率为93P( A)124（ ）试验的全部结束所构成的区域为(a，b) | 0 a 3，0 b 2 构成事件 A 的区域为，( a b) |0 a 3 0 b 2 a b321222 所以所求的概率为322318. 解： ( )证明：连结BD ，则 BD / B1D1 ， 1 分 ABCD 是正方形，ACBD CE 面 ABC
14、D ， CE BD 又 ACI CE C ， BD面 ACE 4 分 AE面 ACE ， BDAE ， B1D1AE 5 分（）证明：作BB1 的中点 F，连结 AF 、CF、EF E、F 是 CC1、 BB1 的中点， CEB1F ，四边形 B1 FCE 是平行四边形，CF/ B1E 7 分 E, F 是 CC、BB1的中点， EF /BC ，1又 BC / AD ， EF / AD 四边形 ADEF 是平行四边形，AF / ED ， AF I CF C ， B1E I EDE ，平面 ACF / 面 B1 DE 9 分又 AC 平面 ACF ， AC / 面 B1 DE 10 分1AB A
15、D2 12 分（ 3） S ABD2VA BDEVE ABD1 S ABD CE1 S ABD CE233319 ，解：（ 1）连 OP ，。 15 分Q 为切点， PQ OQ ，由勾股定理有| PQ |2 | OP |2| OQ |2又由已知 | PQ | | PA |,故 | PQ |2| PA |2即： (a 2b2 )12(a 2) 2(b 1) 2化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：2ab305 分（ 2 ）由 2a b3 0 ，得 b= 2a+3。| PQ |a 2b 21a 2( 2a3)215a212a85(a6)24 .55故当 a6时 ,| PQ |min25 ，即线段
16、 PQ 长的最小值为25 10 分555（ 3 ）设 P 的半径为 R ，OP 设 O 有公共点， O 的半径为 1 ，| R 1 | | OP | R 1,即 R| OP | 1 |且 R | OP | 1.而 | OP |a2b2a 2( 2a 3) 25(a6)29 .55故当 a6时 ,| PQ |min35, 此时 b2a 33 , Rmin3 5 1.5555得半径取最小值P 的方程为( x6) 2( y3)2( 3 5 1) 2 16 分555本题其它解法参照以上标准酌情给分（文）解：（1）由条件知f (2)4a2b c2 恒成立又取 x=2 时， f (2)4a2bc1 (22
17、) 22 与恒成立8 f ( 2)24 分（ 2 ）4a2bc2 4ac2b1, b1 ,c14a 6 分4a2bc02又 f (x)x 恒成立，即 ax 2(b1)xc0 恒成立 a0,( 11) 24a(14a)0 ， 10分2解出： a1 ,b1 , c1， f ( x)1 x 21 x1 12 分822822m1（ 3 ）由分析条件知道，只要f ( x) 图象（在 y轴右侧）总在直线yx上方即可，也就是直线的斜率 m 小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：242y1 x 21 x12822利用相切时 =0 ，解出mm x1y1224 m(,12 ) 16 分2解法 2： g( x)1
18、 x 2( 1m )x11 在 x 0,) 必须恒成立82224即 x 24(1 m) x 20在 x 0,) 恒成立 0 ，即 4(1 m) 2 80 ，解得： 12m1222022(1m)0解出： m 12f (0)20总之， m ( ,12 )2 16 分20 ，解（ 1 ） f ( x)0 的解集有且只有一个元素，a 24a0a 0或 a4,当 a=4 时，函数f ( x)x24x4在 (0,2)上递减故存在 0x1x2 ，使得不等式f ( x1 ) f ( x2 ) 成立当 a=0 时，函数f ( x)x2在 (0,) 上递增故不存在 0x1x2 ，使得不等式f ( x1 )f (x
19、2 ) 成立综上，得 a=4 ， f ( x)x24x4 5 分（ 2 ）由（ 1 ）可知Snn244n当 n=1 时， a1 s1 1当 n2 时， ansnsn 1( n24n4)( n1) 24(n1)42n5ansnsn 11,n1 11 分2n5n23, n1（ 3 ）由题设 cn14, n，2n25n3时,cn 1cn442n5 2n380,(2n5)(2n3)n3时, 数列 cn 递增，c410,由140n 5,可知 c4 c5 0,32n5即 n3 时，有且只有1 个变号数；又 c13, c25, c33,即 c1 c20,c2 c3 0此处变号数有2 个。综上得数列 cn 的
20、变号数为3。 16 分高三数学第一学期第三次阶段测试数学试题加试部分答案1.解： S122 3x) dx222) dx 1( x(3x x012.11102. . 解：（ 1）由11=a3得 a 1 3a4（ 2）由（ 1）知11A41则矩阵 A 的特征多项式为f ( x)111) 2422 34(1令 f ()0 ，得矩阵 A 的特征值为 -1或 31时(1) xy02 x当二元一次方程4x(1) yy0 矩阵 A 的属于特征值 -1的一个特征向量为123(1) xy0y 0当时，二元一次方程4x(1) y2 x01 矩阵 A 的属于特征值3 的一个特征向量为23. (I)取值为 0,10,
21、20,50,60.(II) E72924318960101020503.3 元 .100010001000100010004 . 解（ I）证明：连结 OCQ BODO , ABAD ,AOBD.Q BODO , BCCD ,COBD .在 AOC 中，由已知可得AO1,CO3.而 AC 2,AO 2CO 2AC 2 ,AOC90o , 即 AOOC.Q BD I OCO,AO平面 BCD（ II）解：设平面r( x, y, z), 则ACD 的法向量为 nr uuur(x, y, z).(1,0,1)0,n.ADr uuur(x, y, z).(0, 3,1)0,n.ACxz0,3 yz0.令 yr(3,1,3) 是平面 ACD 的一个法向量。1,得 nuuur(1 ,3 ,0),又 EC2 2点 E 到平面 ACD 的距离uuur rhEC.n321r7.n7