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1、第二讲数列高考风向标数列的概念等差数列及其通项公式、前项和公式 数学归纳法及其应用 通项与前n 项和公式；等比数列及其通项公式、前 n 项和之间的关系是高考常考的热点内容，n递推数列在各地的高考中闪亮登场典型题选讲2an ,0an1 ;6例 若 数 列 an 满 足 an 12若 a1的 值 为1， 则 a202an 1,an1.72（）6531A BCD7777讲解逐步计算，可得a16,7a212157,7a310137,7a46,7a512157,.7这说明数列 an 是周期数列， T3.而 20 3 627应选 B, 所以 a205点评分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列， 显示了
2、以能力立意，题活而不难的特色例在等比数列 a n 中，前 n 项和为 Sn，若 Sm， Sm+2，Sm+1 成等差数列，则am, am+2,am+1 成等差数列 .（）写出这个命题的逆命题；（）判断逆命题是否为真，并给出证明.讲解（）逆命题：在等比数列a n 中，前 n 项和为 Sn，若 am, am+2, am+1 成等差数列，则 Sm， Sm+2， Sm+1 成等差数列 .（）设 a n 的首项为 a1，公比为q由已知得2am+2= am + a m+1 2a1qm+1=a1 q m 1 +a1qma10q 0 , 2q2 q 1=0 ,1 q=1 或 q=.2当 q=1 时，Sm=ma1
3、， Sm+2= (m+2)a 1， Sm+1= (m+1)a 1，Sm+Sm+1 2 Sm+2, Sm， Sm+2， Sm+1 不成等差数列 .当 q= 1 时 ,22a11 ( 1 )m 2 4m 22 S =21a1 1,m+213212 Sm+Sm+1=2 Sm+2 , Sm，Sm+2， Sm+1 成等差数列综上得：当公比 q=1 时，逆命题为假；当公比 q 1 时，逆命题为真点评对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题例设数列 an 前 n 的项和为Sn，且 (3m)Sn2manm 3(nN *). 其中 m
4、 为常数， m3,且 m 0（ 1）求证： an 是等比数列；na1,bn3f (bn 1)(nN*, n2),求证1，（ 2）若数列 a 的公比满足 q=f(m)且 b12bn为等差数列，并求bn 讲解 （ 1）由 (3m) Sn2manm3，得(3m)Sn 12man 1m3,两式相减，得(3m)an 12man ,( m3)an 12m ,anm3 an 是等比数列由a1 1,q f (m)2mN且时(2) b1, nn 2 ,m 3bn332bn 12f (bn 1)bn 12bnbn 13bn 3bn 11bn，得311.bn 13 1 是1为首项 1为公差的等差数列 ,bn31n1
5、n 2bn13,3故有 bnn3 .2点评 为了求数列bn的通项，用取倒数的技巧，得出数列1 的递推公式，从bn而将其转化为等差数列的问题例 设数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sn 是首项为 S1 各项均为正数且公比为q 的等比数列 .（）求数列an的通项公式 an （用 S1 和 q 表示）；（）试比较anan2与 2an 1 的大小，并证明你的结论 .讲解（）Sn是各项均为正数的等比数列， SnS1 qn 1 ( q0) 当 n=1 时， a1=S1；当 n2 时 , anSnSn 1S1 (q 1)q n 2 anS1(n1)S1 (q 1)q n 2 ( n 2)（）当 n=1
6、时，Q a1a3 2a2S1S(q1)q 2S( q 1) S1( q3)21 0,24 a1 a3 2a2 当 n 2 时,anan 2 2an 1S1 (qn2nn 11)qS1 (q1)q2S1(q 1)qS1q 132 .qn S10, qn 20,当 q=1 时， (q1)30,anan 2 2an 1.当 0 q 1时, (q1) 30,ana n 22an 1.当 q 1时, (q1)30,anan 22an 1.综上以上，我们可知：当n=1 时， a1 a32a2 当 n 2 时, 若q1,则 an an 2 2an 1 ;若 0 q1,则 an an 2 2an 1;若 q
7、1,则 anan 2 2an 1.点评数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题本题求解当中用到Sn 与 an 之间的关系式：S1 ,(n1)anSn 1 .(n2)Snnn例 已知数列 an 满足 an 0，且对一切 n N x，有ai3Sn2 , 其中 Snai ，i1i 1(1) 求证：对一切nN x，有 an21an1 2Sn ；(2) 求数列 an 的通项公式；(3) 求证：nak3kk1nai3Sn2讲解 (1)由i 1n1得ai3Sn21i1- 得a3S2S2n+1nn +1 nnn+1n+1n1n1n =(S+S )( S -S )=(2 S +a)
8、 a an+1 0， an2 1an 12Sn (2)由 an2 1an 12Sn ，得an2an2Sn 1 (n 2)，两式相减，得( an+1+ an)( an+1 - an)= an+1+ an， an+1+ an 0， an+1 - an =1(n 2)当 n=1， 2 时易得， a1=1 ， a2=2， an+1 - an =1(n 1) 从而 an 是等差数列，其首项为a1=1，公差 d=1 ，故 an=n (3)nakn1k kk3k 11n111)(1k 1k2k112112nn1223.2点评关于数列不等式的证明，常用的技巧是放缩法， 而放缩应特别注意其适度性，不可过大，也不
9、可过小例 6如图 , 一粒子在区域( x, y) | x0, y 0 上运动 , 在第一秒内它从原点运动到点B1 (0,1) , 接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度（ 1）设粒子从原点到达点 An、 Bn、 C n 时，所经过的时间分别为 an 、 b n 、 c n 的通相公式；（ 2）求粒子从原点运动到点 P(16,44) 时所需的时间；（ 3）粒子从原点开始运动，求经过xx 秒后，它所处的坐标讲解(1)由图形可设 A1 (1,0), A2 (2,0), L , An (n,0) ，当粒y子从原点到达 An 时，明显有B5B4a13,a2a11
10、,B3a3a112 a13 4,a4a31,B2a5a320 a35 4,a6a51,B1a2 n 1a2n 3(2 n 1) 4,a2 na2 n 11,0 a2n 1a1435 L(2 n1) 4n21 ,a2na2 n114n2 .b2 n1a2n 12(2 n 1)4n24n 1,b2 na2 n2 2n 4n24n an、 bn、 cn ，试写出C5C4C3C2C1A1A2A3A4 A5A6xc2 n 1b2n1(2 n 1)4n22n(2 n1)2(2n1) ,c2 na2 n2n4n22n(2n)2(2 n) ,即 cnn2n .（2）有图形知， 粒子从原点运动到点P(16,44
11、)时所需的时间是到达点C44 所经过得时间 c44再加（ 44 16） 28 秒，所以 t44244282008 秒（ 3）由 cnn2nxx ，解得 1n1 8017，取最大得 n=44,2经计算，得 c44 xx4，有 1117 .a4a5am8点评 本小题年全国 （旧教材版） 高考理科压轴试题 主要考查数列的通项公式，等比数列的前 n 项和以及不等式的证明 考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力当中的第2 小题，显然与课本上的问题an 1cand 有着相同的本质而第小题又有着明显的高等数学的背景， 体现了知识与技能的交汇， 方法与能力的提升， 显示了较强的选拔功能针对性演练某人要买
12、房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度 为 n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高环境 不满意度 降低，设住第 n 层楼时，环境 不满意度 为 8 ，则此人应选（）n(A) 1 楼(B) 2 楼(C) 3 楼(D)4 楼2.若等比数列的各项均为正数，前 n 项之和为 S ，前 n 项之积为 P ，前 n 项倒数之和为M ，则()SSSnn（ C）P22S（ A） P =（ B） P M（ D） P MMM3. xx 年 12 月，全世界爆发禽流感，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M在杀死禽流感病毒N 的同时
13、能够自身复制已知个细菌M 可以杀死个病毒N，并且生成个细菌 M ，那么个细菌 M 和 2048 个禽流感病毒N 最多可生成细菌M 的数值是（）（ A ） 1024（ B） 2048（ C） 2049（ D）无法确定4. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，令 TnS1 S2 L Sn ，称 Tn 为数列 a1 ， a2 ，nan 的“理想数”，已知数列 a1 ，a2 ， a500 的“理想数” 为 xx，那么数列 2， a1 ，a2 ，a500 的“理想数”为(A) xx(B) xx(C) xx(D) xx5. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但
14、由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：xx 年xx 年xx 年新植亩数100014001800沙地亩数252002400022400而一旦植完，则不会被沙化 .问：（ 1）每年沙化的亩数为多少？（ 2）到那一年可绿化完全部荒沙地？已知正项数列an满足 a1a （ 0 a 1），且 an1an. 求证an1（ 1） ana;1n 1 anak1.（ 2）1k 1 k答案 CC C A（ 1）由表知，每年比上一年多造林400 亩 .因为 xx 年新植1400 亩，故当年沙地应降为252001400 23800 亩，但当年实际沙地面积为24000 亩，所以 x
15、x 年沙化土地为200 亩 .同理 xx 年沙化土地为 200亩 .所以每年沙化的土地面积为200 亩 .（ 2）由 (1) 知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200 亩 .设 xx 年及其以后各年的造林亩数分别为a 1 、 a 2、 a 3、，则 n 年造林面积总和为：Sn1600nn(n1)400 .2由题意： Sn24000200n 化简得n27n 1200 ,解得：n8 .故 8 年，即到xx 年可绿化完全部沙地.（ 1）将条件 an 1an变形，得111.1 anan 1an于是，有111,a2a111,a3a2111,a4a3111 .anan1将这 n-1个不等式叠加，得111,anna故ana.n11 a（ 2）注意到 0a1，于是由（ 1）得a11an1，1 n 1 a1nnanakn从而，有k 1 k1k 11nk( k1)k11111.k1n 1k 1