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1、立体几何高中文科数学立体几何部分整理第一章空间几何体（一）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2.三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图 光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图 光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（ 1）俯视图画在正视图的下方， “长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边， “高度”与正视图相等， “宽度”与俯视图。 （简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽” .（ 2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图
2、形，而不是直观图。3.直观图：3.1 直观图 是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。3.2 斜二测法：step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、 Oy ，（即取xoy90）；step2：画直观图时，把它画成对应的轴o x ,o y ，取x o y45 (or 135 ) ，它们确定的平面表示水平平面；step3：在坐标系x o y 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于 x 轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半。结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积
3、的2 倍 .4解决两种常见的题型时应注意：（ 1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（ 2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。【例题点击】将正三棱柱截去三个角（如图1 所示 A，B， C 分别是 GHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（）HAGABBB侧视 BBBCCIEDEDEEEEFFA BCD图 1图 2第 1页立体几何解：在图 2 的右边放扇墙 (心中有墙 ), 可得答案 A（二）立体几何1.棱柱1.1 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的
4、公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2 相关棱柱几何体系列 （棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：EDFC侧面ABl底面侧棱斜棱柱EDFC 棱柱底面是正多形正棱柱AB棱垂直于底面直棱柱其他棱柱 L四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体1.3 棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.4 面积、体积公式：S直棱柱侧 ch （ c 是底周长， h 是高）S直棱柱表面 = c
5、 h+ 2S 底V 棱柱 = S 底 h2. 圆柱2.1圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其AOC轴余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.B母线2.2圆柱的性质： 上、下底及平行于底面的截面都是轴截面等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3 侧面展开图： 圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形 .2.4 面积、体积公式：OC侧面AB底面S 圆柱侧 = 2rh ； S 圆柱全 = 2 rh2 r 2 ，V 圆柱 =S 底 h=r 2 h （其中 r 为底面半径， h 为圆柱高）第 2页立体几何3.棱锥3.1 棱锥 有一个面是多边形，其余各S顶点侧面面是有一个公共顶点的三
6、角形，由这些高面所围成的几何体叫做棱锥。侧棱正棱锥 如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。底面斜高3.2 棱锥的性质：DC平行于底面的截面是与底面相似的正OHAB多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图： VSOB,VSOH ,VSBH ,VOBH 为直角三角形）3.3 侧面展开图： 正 n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。11S，V 棱锥 = 1h
7、3.4 面积、体积公式： S 正棱锥侧 =ch， S 正棱锥全 =chS.（其中 c为底2底底23面周长， h 侧面斜高， h 棱锥的高）正四面体：对于棱长为 a 正四面体的问题可将它补成一个边长为2 a 的正方体问题。2对棱间的距离为2 a （正方体的边长）2正四面体的高6 a （2 l正方体体对角线 ）33正四面体的体积为23112a （ V正方体4V小三棱锥3V正方体 ）1 : 3 （1l正方体体对角线1正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为6： l 正方体体对角线）2第 3页立体几何4.棱台S4.1 棱台 用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.上底面C4.
8、2 正棱台的性质：D高AMO各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；B下底面正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是DC正多边形；ON顶点AB侧棱侧面斜高如右图：四边形 OMNO ,OBBO 都是直角梯形棱台经常补成棱锥研究 .如右图： VSOM 与VSON ,VSO B与VSOB相似 ，注意考虑相似比 .4.3S全S下底S侧，V棱台1S) h，（其中S,S是棱台的表面积、 体积公式：S （ 上底S SS3上，下底面面积，h 为棱台的高）5.圆锥S顶点5.1 圆锥 以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其母线轴余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。h侧面5.2 圆锥的性质：l平行于底面的
9、截面都是圆， 截面直径与底面直径之比等于顶点轴截面到截面的距离与顶点到底面的距离之比；r轴截面是等腰三角形；如右图：VSABABO如右图： l 2h2r 2 .底面5.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。5.4 面积、体积公式：S 圆锥侧 =rl ， S 圆锥全 =r (rl ) ， V 圆锥 = 1r 2h （其中3r 为底面半径，h 为圆锥的高， l 为母线长）6.圆台6.1 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.6.2 圆台的性质：圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；第 4页立体几何圆台的轴截面是等腰梯形；圆台经常
10、补成圆锥来研究。如右图：SVSOA与 VSOB相似 ，注意相似比的应用 .6.3 圆台的侧面展开图是一个扇环；6.4 圆台的表面积、体积公式：轴A r OS 圆台侧 = (R + r) l(r、R 为上下底面半径 )母线hS 圆台全 = r2 + R2+ (R + r)ll轴截面= 1/3 (22Vr+ r R) h (h 为圆台的高 )圆台BRO7.球7.1 球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；7.2 球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面； rR22（其中，球心到截面
11、的距离为d、球心轴d球的半径为R、截面的半径为r）O7.3 球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长上底面D侧面C 下底面.球面半径方体，球与正方体等的内接与外切.RdrAO1B注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长。DCACAB4OO7.4 球面积、体积公式： S球 4 R2 ,V球R33DC（其中 R 为球的半径）ABAc32例：（福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为，则正方体的棱长为3_第 5页立体几何例题讲练1 、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A 9B 10C 11D 12
12、2解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱3组合而成的简单几何体，其表面及为：22S 41212 2 2 1 3 12 .，故选 D 。俯视图正 (主 )视图侧 (左 )视图2 、已知某几何体的俯视图是如图 5所示的矩形，正视图 (或称主视图 )是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图 (或称左视图 )是一个底边长为 6、高为 4的等腰三角形(1) 求该几何体的体积 V ； (2) 求该几何体的侧面积 S解 :由已知可得该几何体是底面为矩形，高为 4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥 V-ABCD 。(1)186 464V3(2)该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等
13、腰三角形,且 BC 边上的高为2h142842 ,另两个侧面 VAB. VCD也是全等的等腰三角形 ,262AB 边上的高为 h24252因此S2( 1 64 218 5) 40 242223 、用与球心距离为1，则球的体积为（）的平面去截球，所得的截面面积为882C. 8232A.B.3D.33解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为 1球的半径是2 ，所以根据球的体积公式知V球4 R38 2，故 B 为正确答案33第 6页立体几何第二章点、直线、平面之间的位置关系（一）平面的基本性质1.平面无限延展，无边界1.1 三个定理与三个推论公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在
14、平面内。(用于证明直线在平面内)公理 2：不共线 的三点确定一个平面.(用于确定平面 )推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面.推论 2：两条相交直线确定一个平面.推论 3：两条平行直线确定一个平面.公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.第 7页立体几何（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：共面 :a I b=A,a/b异面 :a 与b异面1.1 平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述： a / b, b / ca / c1.2 等角定理：如果一个角的两边
15、与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。1.3 异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线；（ 2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。PA图形语言：aP符号语言： A与 异面PAaaA a1.4 异面直线所成的角： （1）范围：0 ,90；（ 2）作异面直线所成的角：平移法.如右图，在空间任取一点O，过 O 作 a / a, b / b ，则 a ,b ab所成的角为异面直线a, b 所成的角。 特别地， 找异面直线所aO成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊b点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成
16、的角.l2.直线与平面的位置关系：l IAll /平行： /3.斜交：I=a平面与平面的位置关系：相交垂直：第 8页立体几何（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：.即 l Il / .定义：直线与平面无公共点a / b判定定理： aa /（线线平行线面平行）ba / 性质定理： aa / b （线面平行线线平行）Ibba/a /(面面平行线面平行 )； ba /（用于判断）；aa2.线面斜交： l IA直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平P面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】 PO于 O，则 AO 是 PA 在平面内的射影，则PAO 就是直线 PA
17、与平面所成的角。A范围：0,90，注：若 l或l /，则直线 l 与平面O所成的角为0；若 l，则直线l 与平面所成的角为90。3.面面平行：定义：I/；判定 1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：a,b, a I bO, a /,b /（如图一）判定 2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述： a,a/.【如图二】O aba图一图二第 9页立体几何/ 面面平行的性质： （ 1）a /（面面平行线面平行）；a/（2）Iaa / b ；（面面平行线线平行）Ib（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直定义：若一条直线垂直于平面内的任
18、意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意a, 都有 la ，且 l，则 l.a,ba IbO判定定理： ll（线线垂直线面垂直）lalba / b/a证明或判定线面垂直的依据：（ 1）b（较常用）；（2）aa性质：（ 1） l, ala （线面垂直线线垂直）；（ 2） a, ba / b3.2 面面斜交二面角：（ 1）定义：【如图】OBl , OAlAOB 是二面角 l的平面角范围：AOB0 ,180 作二面角的平面角的方法： （ 1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法 .第10页立体几何3.3 面面垂直（ 1）定义：若二面角l的平面角为 90 ，则；（ 2）判定定理：如果
19、一个平面经过另一个平面的一条垂线，那a B么这两个平面互相垂直 .aa（线面垂直面面垂直）A（ 3）性质：若，二面角的一个平面角为MON ，则 MON90 ；a IAB线面垂直）；Aa（面面垂直aaaABa或a /aAa.A aa第11页立体几何（一）、立体几何网络图：公理 4线线平行线面平行面面平行三垂线定理线线垂直线面垂直面面垂直三垂线逆定理1、线线平行的判断：（1）、平行于同一直线的两直线平行。（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（12）、垂直于同一平面的两直线平行
20、。2、线线垂直的判断：（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。3、线面平行的判断：（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（5）、两个平面平行，其中一个平面第12页立体几何内的直线必平行于另一个平面。【实战真题】1、如图，在四棱锥PABCD 中，平面PAD平面ABCD ，AB=AD ， BAD=
21、60 ， E、 F分别是 AP、 AD 的中点求证：（ 1）直线 EF平面 PCD；（ 2）平面 BEF平面 PAD2、四棱锥 P-ABCD 中， PA底面 ABCD ，AB AD ，点 E 在线段 AD 上，且 CE AB 。（ I）求证： CE平面 PAD；（11）若 PA=AB=1 ， AD=3 ， CD=2 ， CDA=45 ，求四棱锥P-ABCD 的体积13如图，四边形 ABCD 为正方形， QA平面 ABCD ， PD QA， QA=AB= PD （I ）证明： PQ平面 DCQ ；2（II ）求棱锥 Q ABCD 的的体积与棱锥P DCQ 的体积的比值第13页立体几何4如图，四棱
22、锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB60 ，AB2 AD ，PD底面 ABCD （I ）证明：PABD ；（II ）设 PD=AD=1 ，求棱锥D-PBC 的高5. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1 中， A1 B11 1， D，ACE 分别是棱 BC ，CC1 上的点（点 D 不同于点 C ），且 ADDE ，F 为B1C1 的中点求证：（ 1）平面 ADE平面 BCC1 B1 ；（ 2）直线 A1F / 平面 ADE 第14页立体几何答案 1、2（ I）证明：因为 PA平面 ABCD， CE平面 ABCD，所以 PACE.因为 ABAD , CE / / AB, 所以
23、 CEAD.又 PA IADA, 所以 CE 平面 PAD。（ II）由（ I）可知 CEAD ，在 Rt ECD 中， DE=CD cos 45 1,CECDsin 451,又因为 ABCE1, AB / /CE ，所以四边形 ABCE为矩形，所以 S四边形 ABCDS矩形 ADCE S ECDABAE1 CEDE1211 15 .222又 PA平面 ABCD， PA=1，所以 V四边形 P1PA155ABCDS四边形 ABCD31.3263解：（ I）由条件知 PDAQ 为直角梯形因为 QA 平面 ABCD ，所以平面 PDAQ 平面 ABCD ，交线为 AD.又四边形 ABCD 为正方形
24、， DC AD ，所以 DC平面 PDAQ ，可得 PQ DC.在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ=2PD，则 PQ QD2所以 PQ平面 DCQ.6 分（ II ）设 AB= a.由题设知 AQ 为棱锥 Q ABCD 的高，所以棱锥Q ABCD 的体积 V11 a3 .3由（ I）知 PQ 为棱锥 P DCQ 的高，而 PQ=2a ， DCQ 的面积为2 a2 ，2第15页立体几何所以棱锥 P DCQ 的体积为 V21 a3.3故棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥P DCQ 的体积的比值为1. 12 分4.（）因为DAB 60 , AB 2AD ， 由余弦定理得 BD3AD从而 BD 2
25、+AD 2= AB 2，故 BDAD又 PD 底面 ABCD ，可得 BD PD所以 BD平面 PAD. 故 PABD（）如图，作DEPB，垂足为E。已知 PD底面 ABCD ，则 PDBC 。由（）知BDAD ，又 BC/AD ，所以 BCBD 。故 BC平面 PBD， BCDE 。则 DE 平面 PBC。由题设知， PD=1 ，则 BD=3 ， PB=2，根据 BEPB=PD BD ，得 DE=3 ，2即棱锥 D PBC 的高为3 .25 证明：（ 1） ABC A1 B1 C1 是直三棱柱， CC1平面 ABC 。又 AD平面 ABC ， CC1AD 。又 ADDE ，CC1， DE平面 BCC1 B1，CC1I DE E ， AD平面 BCC1 B1又 AD平面 ADE ，平面 ADE平面 BCC1 B1 。（ 2） A BAC，F为B C 的中点，A FB C 。1 11 11 1111又 CC1平面 A1 B1C1 ，且 A1 F平面 A1B1C1 ， CC1A1F 。又 CC1，B1C1平面 BCC1B1 ， CC1 I B1 C1C1 ， A1F平面 A1 B1C1 。由（ 1）知， AD平面 BCC B ， A F AD。1 11第16页立体几何又 AD平面 ADE , A1 F平面 ADE ，直线 A1 F / 平面 ADE第17页