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1、2012年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2012年12月9日 上午9:0011:00）题 号一（18）二总 分9101112得 分评 卷复 核解答本试卷可以使用科学计算器一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三等分，则直线与之间的距离为_。2. 同时投掷两颗骰子，表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率，则 的值为_。3. 在平面直角坐标系中，已知点（，），点在直线上，使得是等腰三角形，则点的坐标是_。4. 在矩形中，。点分别在上，使得。是矩形内部的一点，若四边形的面积为，则四边形的面积等于_。5. 使得是素数的整数共有_个。6. 平面上一动点
2、到长为的线段所在直线的距离为，当取到最小值时，_。7. 已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式（是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面积为_。8. 将所有除以余和除以余的正整数从小到大排成一列，设表示这数列的前项的和，则_。（这里表示不超过实数的最大整数。）二、 解答题（第9,10题，每题15分，第11,12题，每题20分，共70分）9. 如图，是正方形内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为。已知，求证：或者，或者。10. 解方程组。11. 给定正实数，对任意一个正整数，记，这里，表示不超过实数的最大整数。（1） 若，求的取值范围；（2）
3、 求证：。12. 证明：在任意个互不相同的实数中，一定存在两个数，满足2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2011年12月4日 上午9:0011:00）题号一（18）二总分9101112得分评卷复核解答本试卷可以使用科学计算器一、 填空题（每题分，共分）1. 已知关于的两个方程：，其中。若方程中有一个根是方程的某个根的倍，则实数的值是_。2. 已知梯形中，/，则梯形的面积为_。3. 从编号分别为，的张卡片中任意抽取张，则抽出卡片的编号都大于等于的概率为_。4. 将个数，排列为，使得的值最小，则这个最小值为_。5. 已知正方形的边长为，分别是边，上的点，使得，线段与相交于点，则四边形的面
4、积为_。6. 在等腰直角三角形中，是内一点，使得，则边的长为_。7. 有名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得分，平局得分，负得分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第名的得分是最后五名选手的得分和的，则第名选手的得分是_。8. 已知，都是质数（质数即素数，允许，有相同的情况），且是个连续正整数的和，则的最小值为_。二、 解答题（第，题，每题分，第，题，每题分，共分）9. 如图，矩形的对角线交点为，已知，角的平分线与边交于点，直线与相交于点，直线与相交于点M。求证：。解10. 对于正整数，记。求所有的正整数组，使得，且。解11. （1）证明：存在整数，满足；（2）问
5、：是否存在整数，满足证明你的结论。解12. 对每一个大于的整数，设它的所有不同的质因数为，对于每个，存在正整数，使得，记例如，。（1）试找出一个正整数，使得；（2）证明：存在无穷多个正整数，使得。解2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（第15小题，每题8分，第610小题，每题10分，共90分）1. 已知，则_。2. 满足方程的所有实数对为_。3. 已知直角三角形ABC中，CD为的角平分线，则_。4. 若前2011个正整数的乘积能被整除，则正整数的最大值为_。5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边
6、AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为_。6. 如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是_。7. 整数满足，且关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则_。8. 已知实数满足且。设是方程的两个实数根，则平面直线坐标系内两点之间的距离的最大值为_。9. 如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于_。10. 设是整数，且能
7、被9整除，则的最小值是_，最大值是_。二、 解答题（每题15分，共60分）11. 已知面积为4的的边长分别为，AD是的角平分线，点是点C关于直线AD的对称点，若与相似，求的周长的最小值。12. 将1，2，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得7个三位数和都能被11整除，求三位数的最大值13. 设实数满足，且，求的最大值和最小值14. 称具有形式的数为“好数”，其中都是整数（1）证明：100，2010都是“好数”。（2）证明：存在正整数，使得是“好数”，而不是“好数”。2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题（2009年12月6日）一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分
8、，共90分）1、对于任意实数a,b，定义,ab=a(a+b) +b, 已知a2.5=28.5，则实数a的值是 。 2、在三角形ABC中，其中a,b是大于1的整数，则b-a= 。 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。4、已知关于x的方程有实根，并且所有实根的乘积为2，则所有实根的平方和为 。5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PEBC，PFCA，则线段EF长的最小值为 。6、设a，b是方程的两个根，c，d是方程的两个根，则(a+ c)( b + c)( a d)( b d)的值 。7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1)
9、, Q (2,2)，函数y=kx1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。8方程xyz=2009的所有整数解有 组。9如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，ABC=78，BCD=162。设AD,BC延长线交于E ，则AEB= 。 10、如图，在直角梯形ABCD中，ABC=BCD= 90，AB=BC=10，点M在BC上，使得ADM是正三角形，则ABM与DCM的面积和是 。二、（本题15分）如图，ABC 中ACB =90，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且BDC=3BAC，求BC的长。三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数，其中数字c可以是0。四、
10、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,与都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；证明：若(a，b)是和谐的，且是有理数，则a,b都是有理数；2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b，定义,ab=a(a+b) +b, 已知a2.5=28.5，则实数a的值是 。 【答案】4
11、，2、在三角形ABC中，其中a,b是大于1的整数，则b-a= 。 【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。【答案】50,944、已知关于x的方程有实根，并且所有实根的乘积为2，则所有实根的平方和为 。【答案】55、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PEBC，PFCA，则线段EF长的最小值为 。【答案】6、设a，b是方程的两个根，c，d是方程的两个根，则(a+ c)( b + c)( a d)( b d)的值 。【答案】27727在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx1 的图像与线段P
12、Q 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。【答案】8方程xyz=2009的所有整数解有 组。【答案】729如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，ABC=78，BCD=162。设AD,BC延长线交于E ，则AEB= 。【答案】21 10、如图，在直角梯形ABCD中，ABC=BCD= 90，AB=BC=10，点M在BC上，使得ADM是正三角形，则ABM与DCM的面积和是 。【答案】二、（本题15分）如图，ABC 中ACB =90，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且BDC=3BAC，求BC的长。解：设BC=x，则，如图，作ABD平分线BE，则,因此。由角平分线定理可知。因此
13、，解得三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数，其中数字c可以是0。解：设,，则，故有整数解，由于10 x 100，故y0。因此是完全平方数，可设，故，0 50- t1，使所有满足题设的三个质数a、b、c的和a+b+c都能被n整除；（2）求上一小题中n的最大值。四、（本题20分）如图：在RtABC中，CACB，C=90，CDEF、KLMN是ABC的两个内接正方形，已知SCDEF=441，SKLMN=440，求ABC的三边长。2005年（宇振杯）上海市初中数学竞赛参考解答一、 填空题1、6，31； 2、4648； 3、18； 4、5； 5、；6、 7、18； 8、 9、 10、29二、设矩形
14、ABCD的相邻两边长为m、n，则按题意有m+n=,，因此m、n是二次方程的两正根。 上述二次方程有两正根的条件是即当时，满足条件的矩形ABCD存在；当时，满足条件的矩形ABCD不存在。三、（1）c=2a+5b， a+b+c=3a+6b=3(a+2b) 又a、b、c都是大于3的质数，故引(a+b+c)，即存在正整数n1(例如n=3)，使 （2）a、b、c都是大于3的质数 a、b、c都不是3的倍数 若，例，这与C不是3的倍数矛盾同理，也将导致矛盾因此，只能，于是当为质数，a+b+c=99=911；当为质数，a+b+c=135=915；在所有中，最大为9四、论正方形CDEF的边长为x，正方形KLMN
15、的边长为y，则按题设x=21，y=，设BC=a，CA=b，AB=c，则a2+b2=c2注意到 又由AKLABC得AL= 同理，MB=故 于是将它代入式，可得 进而 于是a、b是二次方程的两根 ba，2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题一、填空题(前5题每题6分，后5题每题8分，共7 O分)1若关于x的二次方程x2+(3a-1)x+a+8=0有两个不相等的实根x1、x2，且x11，则实数a的取值范围是 2方程=3的解是 3一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的2倍；又若这二位数加上9，则得到的和恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的2倍；原二位数是 4如图，ABC中，CD
16、、CE分别是AB边上高和中线，CE=BE=1，又CE的中垂线过点B，且交AC于点F，则CD+BF的长为 5如图，分别以RtXYZ的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY，若直角边YZ=1，XZ=2，则六边形ABCDEF的面积为 6如图，正方形纸片ABCD的面积为1，点M、N分别在AD、BC上，且AM=BN=2/5，将点C折至MN上，落在点P的位置。折痕为BQ(Q在CD上)，连PQ，则以PQ为边长的正方形面积为 7三个不同的正整数a、b、c，使a+b+c=13 3,且任意两个数的和都是完全平方数，则a、 b、c是 8若实数a、b、c、d满足a2+b2+c2+d2=10，则y=
17、(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b- c)2+(b-d)2+(c-d)2的最大值是 9已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c=O有两个实根x1、x2，若abc，且a+b+c=0，则d=|x1-x2|的取值范围为 1O如图，ABC中。AB=AC，点P、Q分别在AC、AB上，且AP=PQ=QB=BC，则A的大小是 二、(本题16分)如图PQMN是平行四边形ABCD的内接四边形 (1)若MPBC,NQAB，求证：S四边形PQMN=SABCD； (2)若S四边形PQMN= ABCD，问是否能推出MPBc或NQAB?证明你的结论 三、(本题l 6分)设n是正整数，d1d2d3d4是n的四个
18、最小的正整数约数，若n=d12+d22+d32+d42，求n的值四、(本题l 8分)如图，已知ABC，且SABC=1，D、E分别是AB、AC上的动点，BD与CE相交于点P，使SBCDE=SBPC，求SDEP的最大值 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题（2003年12月7日上午9001100）解答本试卷不得使用计算器.一、填空题（本大题10小题，前5题每题6分、后5题每题8分，共70分.）1、设曲线C为函数的图象，C关于轴对称的曲线为C1，C1关于轴对称的曲线为C2，则曲线C2是函数的图象.2、甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元。一天学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲痁实
19、行每买5支送1支（不足5支不送），乙店实行买4支或4支以上打8.5折，小王买13支这种铅笔，最少需要化元。3、已知实数a、b、c满足a+b+c=0，则的值是.4、已知凸四边形ABCD的四边长为AB8，BC4，CDDA6，则用不等式表示A大小的范围是。5、在1，2，3，2003中有些正整数n，使得能分解为两个整系数一次式的乘积，则这样的n共有个。6、设正整数m，n满足m n，且，则的值是。7、数1，2，3，按下列方式排列：12任取其中一数，并划去该数所在的行与列；这样做了次后，所取出的个数的和是。8、如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN3，NP4的正方形MNPQ内，且NB在边NP上。若
20、正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成轨迹的总长是（保留）。 9、如图，ABC中，ABBC10，点M、N在BC上，使得MNAM4，MACBAN，则ABC的面积是。10、ABC中，C3A，AB10，BC8，则AC的长是。二、（本题16分），均为正整数，若关于的方程的两个实数根都大于1，且小于2，求，的值。三、（本题16分）如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得CMN的周长为2。求（1）MAN的大小；（2）MAN面积的最小值。四、（本题18分）某学生为了描点作出函数y=ax2+bx+c(a0)的图象，取自变量的7
21、个值：，且，分别算出对应的的值，列出下表：xx1x2x3x4x5x6x7y51107185285407549717 但由于粗心算错了其中一个y值。请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由。 参考答案 一、1-ax2+bx-c 21095 3O005 40A90 544 6527 7 k(k2+1) 85 9 103 二、令f(x)=4x22mx+n，则y=f(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x=2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛一、填空题(15题每小题6分，610题每小题8分，共70分) 1在2002当中嵌入一个数码组成五位数2002若这个五位数能被7整除，则嵌入的数码“”
22、是 2若实数a满足a3a1ax解为 3如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A处，第二次过A再折叠，使折痕DEBC若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为 4已知关于正整数n的二次式y=n2+an(n为实常数)若当且仅当n=5时，y有最小值，则实数n的取值范围是 5如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A(10，O)、B(0，10)、C(10，O)、D(O，10)，则该正方形内及边界上共有 个整点(即纵、横坐标都是整数的点)6如图，P为ABC形内一点，点D、E、F分别在BC、CA、AB上过A、B、C分别作PD、PE、PF的平行线，交对边或对边的延长线于点X、Y、Z
23、若，则= 7若ABC的三边两两不等，面积为，且中线AD、BE的长分别为1和2，则中线CF的长为 8计算： 9若正数x、y、z满足xyz(x+y+z)=4，则(x+y)(y+z)的最小可能值为 lO若关于x的方程恰有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是 二、(16分)已知p为质数，使二次方程x22px+p25p1=0的两根都是整数求出p的所有可能值三、(16分)已知XYZ是直角边长为l的等腰直角三角形(Z=90)，它的3个顶点分别在等腰RtABC(C=90)的三边上求ABC直角边长的最大可能值四、(18分)平面上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连问至少要连
24、多少条线段?证明你的结论四、(1)若7个点中，有一点孤立(即它不与其他点连线)，则剩下6点每2点必须连线，此时至少要连1 5条 (2)若7点中，有一点只与另一点连线，则剩下5点每2点必须连线，此时至少要连11条 (3)若每一点至少引出3条线段，则至少要连21/2条线段由于线段数为整数，故此时至少要连1 1条 (4)若每点至少引出2条线段，且确有一点(记为A)只引出2条线段AB、AC，则不与A相连的4点每2点必须连线，要连6条由B引出的线段至少有2条，即除BA外还至少有一条因此，此时至少要连6+2+1=9条图中所给出的是连9条线的情况综合(1)(4)，至少要连9条线段，才能满足要求2000年“弘
25、晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分，共70分)1如图，已知ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G若BE5，EF2，则FG的长是 2有四个底面都是正方形的长方体容器A、B、C、D，已知A、B的底面边长均为3，C、D的底面边长均为a，A、C的高均为3，B、D的高均为a，在只知道a3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和3，若n的十进位制表示为999(20个9)，则n3的十进位制表示中含有数码9的个数是 4在 ABC中，若AB5，BC6，CA7，H为垂心，则AH的长为 5若直角三角形两直角边上中线的长度之比
26、为m，则m的取值范围是 6若关于x的方程|1-x|mx有解，则实数阴的取值范围是 7从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个8.方程的整数解(x，y) 9.如图，正ABC中，点M、N分别在AB、AC上，且ANBM，BN与CM相交于点O若SABC7，SOBC=2则= 10.设x、y都是正整数，且使y。则y的最大值为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和 三、(16分)(1)在44的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后画去其中2行与2列若无论怎样画，都至少有一个红色的小方格没有被画去，则至少要涂多少个小方格?证明你的结论 (2)如果把上题中的“44方格纸”改成“nn的方格纸(n5)”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格?证明你的结论四、(18分)如图，ABCD是一个边长为l的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q求四边形PUQV面积的最大值69