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1、曲线系问题探讨与研究 焦景会曲线系问题是高中数学课程中重要而又难以掌握的问题，它可分为直线系、圆系、圆锥曲线系三类，现归纳分析如下，供同学们参考。一. 直线系问题 1. 过两直线交点的直线系问题若点是两直线与的交点，则过点P的直线系方程为： 例1. 已知直线过的交点且过点，求的方程。解：由题意可得的方程为过点解得：因此的方程为即 2. 平行直线系问题方程，当k为定值时，表示斜率为k的平行直线系。方程（为定值，）表示斜率为的平行直线系。 例2. 直线且过点，求的方程。解：因为，故设的方程为点在直线上，则即的方程为 3. 过定点直线系当k为变量时，方程表示过定点的直线系。 例3. 求证：当m为任意
2、实数时，直线必过一定点。证明：将原方程变形为：即由此可知直线过定点（3，5）二. 圆系问题 1. 过直线和圆交点或两圆交点的圆系问题过圆和直线的交点的圆系方程为：过圆和圆交点的曲线系方程为： 例4. 求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程。解：所求的圆过已知两圆交点，故可表示为：即 （*）圆心，因为圆心在直线上，代入可得：解得：代入（*）式得： 2. 同心圆系问题方程，当为定点，r为变量时，表示同心圆系。 例5. 求与圆同心，且过点（，1）的圆的方程。解：所求圆与已知圆同心，可得方程又所求圆过点（），将此点坐标代入方程可得：则所求圆的方程为：三. 圆锥曲线系问题 1. 离心率相同的圆锥曲线系问题表示离心率相同的椭圆系。表示离心率相同（且渐近线相同）的双曲线系。 2. 共焦点的圆锥曲线系表示共焦点的椭圆系。表示共焦点的双曲线系。 例6. 求与椭圆有公共焦点，且过点（0，3）的椭圆方程。解：所求椭圆与已知椭圆有相同焦点，可设所求椭圆方程为将点（0，3）坐标代入得：故所求椭圆方程为 例7. 求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线方程。解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为因为在所求双曲线上，故代入可得，所以即为所求曲线方程。 例8. 求渐近线方程为，经过点的双曲线的标准方程。解：由渐近线方程得双曲线方程：因为双曲线过点M，所以将点M的坐标代入得：故所求双曲线方程为：