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1、小马成群 - 初三数学专题复习 旋转模型之半角 page 1 of 4 M D N C BA Q P D C BA C H F E D B A 半角 例题： 如图，将CBN绕点C顺时针旋转90，得CAD，连结MD， 则ADBNn，CDCN，ACDBCN， MCDACMACD ACMBCN 904545MCN MDCMNC， MDMNx 又易得454590DAM， 在Rt AMD中，有 222 mnx，故应选(B) 练习： 1、如图，正方形ABCD的边长为 1，AB、AD上各存一点P、Q，若APQ的周长为 2，求PCQ的度数 2、E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF ，A
2、HEF，H为垂足， 求证：AHAB 小马成群 - 初三数学专题复习 旋转模型之半角 page 2 of 4 xmnNM C BA 图1 A B C D E 图2 A B C DE 3、如图所示，在等腰直角ABC的斜边AB上取两点M、N，使45MCN，记AMm，MNx，BNn， 求证：以x、m、n为边长的三角形的形状是直角三角形. 4、已知：如图 1 在Rt ABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE探 究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系 小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED， 使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列
3、问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图 2，其它条件丌变，中探究的结论是否发生 改变？请说明你的猜想并给予证明 小马成群 - 初三数学专题复习 旋转模型之半角 page 3 of 4 n xmnNM D C BA P NM C BA Q P D C BA F Q P D C BA C H F E D B A C H F EG D B A xmnNM C BA 解析： 1、如图，正方形ABCD的边长为 1，AB、AD上各存一点P、Q，若APQ的周长为 2，求PCQ的度数 解： 把CDQ绕点C旋转
4、90到CBF的位置，CQ=CF 2AQAPQP， 又2AQQDAPPB， QD+BP=QP 又DQ= BF， PQ= PF QCPFCP QCPFCP 又90QCF， 45PCQ 2、E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF ，AHEF，H为垂足， 求证：AHAB 解： 延长CB至G，使BGDF，连结AG， 易证ABGADF， BAGDAF，AGAF 再证AEGAEF， 全等三角形的对应高相等 (利用三角形全等可证得)，则有AHAB 3、如图所示，在等腰直角ABC的斜边AB上取两点M、N，使45MCN，记AMm，MNx，BNn， 求证：以x、m、n为边长的三角形的形状是直角
5、三角形. 解： 法：如图所示，将CBN绕点C顺时针旋转90，得到CAD. 连接MD，则ADBNn，CDCN，ACDBCN， 故904545MCDACMACDACMBCNMCN， 从而MDCMNC， 则MDMNx. 而454590DAM， 故在直角三角形AMD中有 222 mnx. 法 2：我们用上一讲学习过的“对称变换”也能得到解答 如图所示，以CM为对称轴将CMA翻折到CMP的位置 易证CPN和CBN关于CN对称，且PMN为直角三角形， 并且可得PMAMm，PNNBn，MNx 小马成群 - 初三数学专题复习 旋转模型之半角 page 4 of 4 图2 A B C DE 图1 A B C D
6、 E F ED C B A E E D C B A 4、已知：如图 1 在Rt ABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE探 究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系 小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED， 使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图 2，其它条件丌变，中探究的结论是否发生 改变？请说明你的猜想并给予证明 222 DEBDEC 证明： 根据AEC绕点A顺时针旋转90得到A
7、BE AECABE BEEC ，AEAE ，CABE，EACEAB 在Rt ABC中 ABAC 45ABCACB 90ABCABE 即90EBD 222 EBBDED 又45DAE 45BADEAC 45EABBAD 即45EAD AEDAED DE DE 222 DEBDEC 关系式 222 DEBDEC仍然成立 证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FE AFDABD AFAB，FDDB FADBAD，AFDABD 又ABAC，AFAC 45FAEFADDAEFAD 9045EACBACBAEDAEDABDAB FAEEAC 又AEAE AFEACE FEEC，45AFEACE 180135AFDABDABC 1354590DFEAFDAFE 在Rt DFE中 222 DFFEDE即 222 DEBDEC