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1、指数与指数函数【考纲要求】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；4.掌握指数函数图象：5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；【知识网络】指数与指数函数指数的概念指数运算性质指数函数的图像与()an=a142L43anZ*图象与性质【考点梳理】考点一、整数指数幂的概念及运算性质(1)整数指数幂的概念an个aa0=1(a0)a-n=1an(a0,nZ*)(2)运算法则aman=am+n；(m)=a
2、nmn；aman=am-n(mn，a0)；(ab)m=ambm.第1页共6页nn考点二、根式的概念和运算法则(1)n次方根的定义：若xn=y(nN*，n1，yR)，则x称为y的n次方根.要点诠释：n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为y；零的奇次方根为零，记为n0=0；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为0=0.(2)根式的意义与运算法则(ny)n=ya=nna,(n为奇数)|a|(n为偶数)考点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a0，n，mN*，且mn1an=naman=(n
3、a)m=nam为既约分数，分数指数幂可如下定义：ma-n=1man4考点四、有理数指数幂的运算性质(a0，b0，a,bQ)(1)aaab=aa+b;(2)(aa)b=aab;(3)(ab)a=aaba;当a0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如(-4)2(4-4)2；21(3)幂指数不能随便约分.如(-4)4(-4)2.考点五、指数函数(1)定义：第2页共6页函数y=ax(a0且a1)叫做指数函
4、数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.(2)图象及性质：y=ax0a1时图象图象定义域R，值域（0，+）a0=1,即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点性质ax=a，即x=1时，y等于底数a在定义域上是单调减函数x1x0时，0ax1既不是奇函数，也不是偶函数【典型例题】类型一、指数运算、化简、求值在定义域上是单调增函数x0时，0ax0时，ax1例1.已知3a=5b=c，且11+=2，求c的值。ab由3a=c得log3a=1alog3=1=log3a同理可得=log5+=2log3+log5=2bab7221-17【解析】1ccc111ccclog15=2c2=15c0c=15c【总
5、结升华】运算顺序(能否应用公式)；举一反三：【变式】计算下列各式：1(1)1.5-3(-)0+80.2542+(323)6-(-)3；63(2)()3(-)0+80.2542+(323)6；86(3)a-8ab413322a3+23ab+4b3(1-23ba)3a.212131【解析】(1)原式=()3+2424+2233-()3=21+427=110；33(2)原式=81(-1)(-)31111)1+(23)424+(23)6(326=2+231+44+2233=112；第3页共6页(3)原式=a(a-8b)13a131a3=a111+333(a-8b)=a.1111(a3)2+2a3b3+
6、(2b3)2类型二、函数的定义域、值域例2求下列函数的定义域、值域.11113a3-2b(a3)3-(2b3)3x+1(a为大于1的常数)2x3(1)y=；(2)y=4x-2x+1；(3)y=()-|x|；(4)y=a1+2x2【解析】(1)函数的定义域为R(对一切xR，2x-1).(1+2x)-11=1-y=，又2x0，1+2x1，x1+21+2x2x-10111，-1-0，1+2x1+2x01-11+2x0，2x=即x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，2443值域为,+).4(3)定义域为R，|x|0，-|x|0，300的条件，第(4)小2=1-1不能遗漏.x+1x+1举一
7、反三：【变式】求下列函数的定义域：(1)y=33-x(2)y=2x-1(3)y=1-ax(a0,a1)3【解析】(1)(-，需满足3-x0，即x3(3)0,+)为使得函数有意义，需满足2x-10，即2x1，故x00+(4)a1时，(-，；0a1时，0，).类型三、指数函数的单调性第4页共6页例3判断下列各数的大小关系：121(1)()3,34,()-233(3)1.080.3与0.983.1121【解析】(1)()3()-210.983.11(2)22.5，(2.5)0，()2.52(4)a2与a3(a0,a1)1(2)()2.5(2.5)01时，a2a3【解析】先比较1.5-0.2321=(
8、)-0.2=()5与()3的大小.0aa3【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写；(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是0和1).举一反三：21【变式1】比较1.5-0.2，1.30.7，()3的大小.321233由于底数22(0，1)，y=()x在R上是减函数，3331111212120，0()3()51，所以y=1.3x在R上为增函数1.30.71.30=1，21()31.5-0.21【解析】a-2a+a=a3-a3=a3-a3=2142213333a1-a2,0a1第5页共6页类型四、判断函
9、数的奇偶性+例5判断下列函数的奇偶性：f(x)=(11)j(x)(j(x)为奇函数)2x-12【解析】f(x)定义域关于原点对称(j(x)定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是j(x)定义域除掉0这个元素)，令g(x)=11112x1-2x1+，则g(-x)=+=+=+2x-122-x-121-2x22x-12-(2x-1)-111111=+=-1-+=-(+)=-g(x)22x-12x-122x-12g(x)为奇函数，又j(x)为奇函数，f(x)为偶函数.举一反三：【变式】判断函数的奇偶性：f(x)=【解析】定义域x|xR且x0，xx+.2x-12又f(-x)=-x(112x12x1+)=
10、-x(+)=x(-)2-x-121-2x22x-12=x(22x-1+111111-)=x(1+-)=x(+)=f(x)，2x-12x-122x-12f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.类型五、指数函数的图象问题例6为了得到函数y=93x+5的图象，可以把函数y=3x的图象()A向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度【解析】y=93x+5=3x+2+5，把函数y=3x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数y=93x+5的图象，故选C【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等第6页共6页