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1、 第二章 有理数及其运算小结与复习一、有理数的意义1.有理数的分类知识点：大于零的数叫正数，在正数前面加上“”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物812，5.2 也可写作+3，+81的量，那么加上“”号后这个量就有了完全相反的意义；3，正整数正整数2正有理数既不是正数，也不是整负数数。正分数非负数负整数有理数有理数零零正分数负整数负分数分数负有理数负分数或2.数轴知识点：数轴是数与图形结合的工具；数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据；数轴的作用：1）形象地表示数（因为所有的有理数都可以用
2、数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理数），2）通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义， 3）比较有理数的大小：a）右边的数总比左边的数大，b）正数都大于零，c）负数都小于零，d）正数大于一切负数3. 相反数知识点: 只有符号不同的两个数互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别第 1 页 共 11 页 在原点的两边；规定：0 的相反数是 0。4. 绝对值知识点： 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，数 a 的绝对值记作a；绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若
3、a0，则aa. 若 a0，则a0. 若 a0，则aa ；绝对值越大的负数反而小；两个点 a 与 b 之间的距离为：ab。二、有理数的运算1. 有理数的加法知识点：有理数的加法法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，绝对值相等时，和为零（即互为相反数的两个数相加得 0）；绝对值不相等时，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数和 0 相加仍得这个数。加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：a+b+c=a+（b+c）多个有理数相加时，把符号相同的数结合在一起计算比较简便，若有互为相反的数，可利用它们的和为 0 的特点。2. 有理数的减法知识
4、点：有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即 ab=a+（-b）。注意：运算符号“+”加号、“”减号与性质符号“+”正号、“-”负号统一与转化，如 ab 中的减号也可看成负号，看作 a 与 b 的相反数的和：a+（-b）；一个数减去 0，仍得这个数；0 减去一个数，应得这个数的相反数。3. 有理数的加减混合运算知识点：有理数的加减法混合运算可以运用减法法则统一成加法运算；加减法混合运算统一成加法运算以后，可以把“+”号省略，使算式变得更加简洁。4. 有理数的乘法知识点：乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数和 0 相乘都得 0。几个不等于 0 的数相乘，积
5、的符号由负因数的个数决定；当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0。第 2 页 共 11 页 乘法交换律：ab=ba5. 有理数的除法乘法结合律：abc=a（bc） 乘法分配律：a（b+c）=ab+bcab1知识点：除法法则 1：除以一个数等于乘上这数的倒数，即 ab=ab（b0 即 0 不能做除数）。除法法则 2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0。倒数：乘积是 1 的两数互为倒数，即 a1=1（a0），0 没有倒数。a注意：倒数与相反数的区别6. 有理数的乘方n知识点：乘方：求 n
6、个相同因数的积的运算。乘方的结果叫幂，a 中，a 叫做底数，n 叫做指数。乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何次幂都为 0。7. 有理数的混合运算知识点：运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减，遇到有括号，先算小括号，再中括号，最后大括号，有多层括号时，从里向外依次进行。技巧：先观察算式的结构，策划好运算顺序，灵活进行运算。【巩固练习 1】一.选择题1. 关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 （）A. 0 是整数B. 0 是偶数C. 0 是自然数D. 0 既不是正数也不是负数2. 3.782：（）A. 是负数，不是分数 B. 不是分数，是有
7、理数 C. 是分数，不是有理数 D. 是分数，也是负数1二、将下列各数填入相应的集合中。 ，-1，12，0，-3.01，0.62，-15，-812，180，-42，7-45%，1。整数：_ 自然数：_正数：_ 负数： _第 3 页 共 11 页 偶数：_ 奇数： _分数：_ 非负数：_非负整数： _ 非正分数：_非负有理数：_ 有理数： _三、填空题1、一个数的绝对值是 6 ，这个数是。2、绝对值小于 3 的整数有个。113 、的 相 反 数的 倒 数是。4 、 计算 ：9( 1)( 2 ) 022002。5、如果a2 16，那么 a=_。 6、如果规定上升 8 米记作 8 米，那么 7 米表
8、示7、最小的正整数是_，最大的负整数是_，绝对值最小的有理数是_8、 河道中的水位比正常水位低 0.2m 记作-0.2m，那么比正常水位高 0.1m 记作_。9、一潜艇所在深度是-80 米,一条鲨鱼在艇上 30m 处,鲨鱼所在的深度是_。【巩固练习 2】一.填空题1. 数轴上与表示2 点相距 3 个单位的点所表示的数是_。2. 数轴表示+3 和3 的点离开原点的距离是_个单位，这两个点的位置分别在_点右边和左边。3. 在有理数中最大的负整数是 _, 最小的正整数是 _, 最大的非正数是_, 最小的非负数是_.4. 用“”或“”号填空：1 ）3.5 _ 0 ;_5)8) _ 3.14 ; 9)
9、1.6 _ 1.6 ;) .2) 2.8 _ 0 ;3) 1.95 _ 1.59 ;4);_ 0.3 ; 6) 0.67 _;7)_;10) ( ) _ (第 4 页 共 11 页 【巩固练习 3】一.填空题1. 如果一个数的相反数是它本身, 则这个数是_.2. 如果一个数的相反数是最小的正整数, 则这个数是_.ab1, 则 a 与 b_; 若a3. 若1, 则 a 与 b_; 若 a+b=0, 则 a 与bb_.4. 在数轴上与3 距离 4 个单位的点表示的数是5.写出大于-4 且小于 3 的所有整数为_;二、求下列各数的相反数20.26 ；3 ；a ；x+1 ； m+1 ；2xy ；ab
10、。5三、在数轴上表示出下列各数的相反数的点，并比较大小。31，4，1.5，2114，0，1，8，2，（4.5），22【巩固练习 4】一.选择题1. 3是 （负数或 0）A. 正数A. 0B. 负数C. 正数或 0D.2. 绝对值最小的整数是 （）B. 1C. 1 D. 1 和-131二、填空题 1.若 a, 则a_; 若a3, 则 a_.24231412_; 0.77+2342._;_; 333.绝对值小于 4 的负整数有三、解答题个，正整数有个，整数有个1. 已知x+y+3=0，求x+y的值。2. 已知 A，B 是数轴上两点，A 点表示1，B 点表示 3.5，求 A，B 两点间的距离。3.
11、已知：a2b3=0，求 2a2b1 的值。1 1 5【巩固练习 5】计算：1） （3 2 634）；2） 12345699100；第 5 页 共 11 页 523( 2000 ) ( 1999 ) ( 4000 )43） （8）6+8（+7）；4）。6351）3121532123）492425【巩固练习 6】计算：1）（；2）2（）；2311（5）；3 7 7113 7 74 8 1224）（1( )24( )（124( 29 )7）；5） ；6）4 8 12（5）；33241( )4( 1 )。3【巩固练习 7】1.计算：（-5） ； -5；32；（-1）2001；322. 若x1（2xy4
12、） = 0 ，求代数式 x yxy 的值。5251517（ ）2 323【巩固练习 8】计算：（1）3； （2）(3)（4）3213 5 20 ( 4)23 54 610373653 ( ) (0 .8)60（5）223 （6）（7）（8）3232232第 6 页 共 11 页 521 ( 5) ( ) 0.8 14（9）2（10）3 （-5） 3-1822( )35-（-3） ；221( 1 )412234（11） -3 69； （12）（-1）5（-4）（-0.4）(1 )33321( )3；a 12b 3c 1 0，求3abc a c3的值（13）如果223一、选择题 （10 小题，每小
13、题 3 分，共 30 分，答案填入表格中）1 32 51 在下列各数中，3.8，5，0， ， ，4，中，属于负数的个数为（）A2个2 计算：64 的结果是（A2 B 103 一个数的倒数等于它本身的数是（B3 个C4 个C 2C 1D5个）D 10D0）1BA1第 7 页 共 11 页 4 下列判断错误的是（）A 任何数的绝对值一定是非负数；C 一个正数的绝对值一定是正数；B 一个负数的绝对值一定是正数；D 一个数不是正数就是负数；5 有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示则下列结论正确的是（）A ab0cC ba0B b0acD abc0ba 0 c6两个有理数的和是正数，积是负数，则这
14、两个有理数（）A 都是正数；B 都是负数；D 一正一负，且负数的绝对值较大。C 一正一负，且正数的绝对值较大；7若a=8，b=，5 且a + b0，那么 ab 的值是（）A3或138. 大于1999 而小于 2000 的所有整数的和是（A 1999 B 19989 当 n 为正整数时，( 1)B 13 或13C3 或3）D 3 或13D 2000C 1999( 1)2n 12n的值是（）22A0B2CD2或10 补充下列表格：31332333435363792781243根据表格中个位数的规律可知，3 的个位数是（25）A1B3C7D9二、填空题 （8 小题，每小题 2 分，共 16 分）11
15、12的相反数是.12若水位上升 20cm 记作+20cm ，则15cm 表示_134 个3 相乘写成乘方的形式是_1213.14比较大小：第 8 页 共 11 页 15 在数轴上距 2.5有 3.5个单位长度的点所表示的数是1n11112nnn 116 用“偶数”或“奇数”填：当n 为_时，4417 一根 2 米长的小棒，小明第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，第五次后剩下的长度为_米.18 观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 10 个图形共有三、解答题（6小题，每小题5分，共30分）个19 (+4.3) (4) +(2.3) (+4)20 (48)625(4)
16、1 2 121 ( + )(12)4 3 2122 16(2) ( )(4)328第 9 页 共 11 页 11992( 38)（用简便方法）1424 5 + (.02 1)23193(1 )525 若a=2，b=3，c 是最大的负整数，求 a + bc 的值(6分)26某牛奶厂在一条南北走向的大街上设有 O ，A ，B ，C 四家特约经销店. A 店位于 O 店的南面 3 千米处；B 店位于 O 店的北面 1 千米处，C 店在O 店的北面 2 千米处.(1)请以 O 为原点，向北的方向为正方向，1 个单位长度表示 1 千米，画一条数轴.在数轴上分别表示出 O ，A ，B ，C 的位置吗？(4
17、分)第 10 页 共 11 页 (2)牛奶厂的送货车从 O 店出发，要把一车牛奶分别送到 A ，B ，C 三家经销店，最后回到O 店，那么走的最短路程是多少千米？(4分)27股民小杨上星期五买进某公司股票 1000 股，每股 27 元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：星期一二三四五每股涨跌+2.20+1.42-0.80-2.52+1.30(1)星期三收盘时，该股票涨或跌了多少元？(4分)w(2)本周内该股票的最高价是每股多少元？最底价是每股多少元？(2分)(3)已知小杨买进股票时付了 1.5的手续费,卖出时还需要付成交额的 1.5的手续费和1的交易税，如果小杨在星期五收盘前将全部股票卖出,则他的收益情况如何? (4分)第 11 页 共 11 页