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1、暑期数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了暑期数学建模竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打
2、印并签名)： 教练组 日期： 年 月 日评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：暑期数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：评阅记录（可供评阅时使用）：评阅人评分备注统一编号：评阅编号：购房策略问题摘要本问题研究的是人们在购房时应该向银行贷款多少及年限才能达到最省钱的目的，并且生活不会因贷款而变得过于拮据。很显然这是一个求解最值的多目标最优化问题。问题一，我们通过在互联网查找资料并加以推导即得到问题要求求解的量；问题二，我们利用0-1规划模型并把王先生贷款利息总额最少作为目标函数，利用lingo求解，得出王先生贷款最佳年限和还款方案；问题三，我们将多目标转化为单目标的方法
3、，以王先生的外甥能买得起房作为约束条件，以王先生因提前还贷所节省的利息最大为目标函数，同时王先生向其外甥收取一定的利息，利用matlab及lingo求解出了相近的两个结果；问题四，问题五，我们利用灰色模型预测出了2008年三种项目的资产增长情况，以投资所获效益最大为目标函数，加以投资风险的限制，利用matlab求出了在王先生所能承受风险的限度内收益的最大值，并得出投资方案。【关键词】 非线性规划 0-1规划 GM(1,1)模型 风险度 双目标规划模型一、 问题重述11问题背景近些年来，我国商品房销售火爆。由于升值潜力大，不少人愿意投资于房产。但是，高位的房价又迫使大多数人不得不向银行贷款。然后
4、，用按揭的方式逐月偿还银行贷款额。注意：向银行借贷时间必须以年为单位，如1年、2年、3年.等。1.2问题重述2007年9月1号，某高校教师王先生到某商品房去看房，销售小姐向他推荐等额本息还款方式，并给他一个银行还贷明细表。这个明细表给出了若向银行借了1万元钱、不同年限的等额房贷还款额。问题一：王先生不知还款公式怎样写，请你给出等额本息房贷还款公式，帮王先生解惑。如果向银行借1万元，借10年。请详细计算逐月还完1万元后，总共向银行还款的总额以及逐月被银行拿走的利息钱。问题二：王先生看中了一套135m2、单价为3230/m2的房子，准备9月10号前成交。他们家每月收入5600元，每月家庭开销在15
5、00-3000元之间服从均匀分布，每年还有3万元的年终奖金。这时候王先生手头有15万元的可支配的现金，现在请你建立一套详细的购房与商贷快速计算还贷数学模型，并为王先生设计还贷方案而且要指出每月的家庭开销上限（注：首付不得低于20%）。问题三：但事情有变：2008年3月10号，王先生经多方筹措，借到了无息的款项20万（包括年终奖金3万），准备提前还款，但其外甥A此时在本地购买了总房价为20万的房子，但首付不得低于40%，但外甥A手头只有可支配现金5万元，每月全家收入3500元，每月家庭开销在1500-2000元之间也服从均匀分布。她来向王先生借钱买房，王先生很为难，但此时，聪明的王夫人给出了一套
6、新方案，使两家人购房均欢欣鼓舞，你能给出这个新方案吗？问题四：但这事还未开始实施就被王先生其他五个外甥知道了，均想加入这一方案，并准备在3月份都购买房子，他们购买房子的总价以及他们的经济情况见表2。那么，王夫人怎样设计这7套房子的购房还贷及每个家庭的每月开销上限呢？请你帮她拿出详细的方案。即每套房子向银行贷款多少年、多少钱、是否提前还款及还款多少、总共向银行交了多少利息钱、这种方案总共节约了多少钱等等。问题五：王先生拿到方案后，觉得应该多向银行借钱，想把尽量多的钱拿出来投资三个项目，但遭到其他人的反对，你支持王先生的观点吗？请说明理由。如果你支持王先生的观点，问最多可拿多少钱投资这三个项目，各
7、投资多少？二、 模型的基本假设1、 假设贷款利率始终不变2、 假设投资项目收益增长情况稳定3、 假设王先生家庭收入及支出稳定无重大变故发生4、 假设各外甥家庭收入及支出稳定无重大变故发生5、 假设王先生给其外甥的借贷不限年限，且一次还清三、 符号的说明A：贷款总额为P：银行月利率M：总期数/月T：月还款额设X：每月还款额Si：第i种贷款每月所付金额W1：王先生借给外甥A w1元w2：应该收取外甥A w2元的利息Xi：Xi=1表示选用第i种房贷，Xi=0表示不采用第i中房贷四、 问题的分析贷款买房是大家都非常熟悉的现象，通过数学模型来解决购房问题具有重要意义。对于问题一，根据查找资料，我们很容易
8、得出了王先生总共需要向银行还款的总额以及逐月被银行拿走的利息钱。对于问题二，问了确定王先生的还款方案，必须首先确定他的贷款年限。所以我们基于0-1模型完成对该问题的处理，然后建立目标函数及约束条件，利用lingo得出其还贷款方案。对于问题三，我们仍然采用问题二建立的模型，在满足外甥家得以购房后，使得王先生家获益最大化，这样两家人才能均欢欣鼓舞，并且满足实际情况。对于问题四，基本模型与问题三类似，要求出7套房子的购置及还款方案，必须求出其各个外甥的贷款年限，于是我们仍然可以利用0-1模型解决此问题，并根据问题二的思路，进一步解决剩余问题。对于问题五，根据问题三和问题四建立的模型及求解结果，确定是
9、否进行投资的判断依据为王先生投资所获利润是否大于王先生因贷款给各外甥所获利息。若王先生应该投资，那么要确定王先生的投资方案，就首先要知道下一年各项目收益增长情况及其收益率和风险损失率。于是可通过灰色模型来预测2008年的情况，并以投资所获利润最大为目标函数，加以风险损失的限制，利用matlab求解出最佳投资方案。五、 模型的建立和求解问题一5.1.1模型的分析与建立文中采用等额房贷的形式，其特点是每月所还贷款相同，所以不妨设贷款总额为A，银行月利率为p，总期数为m（个月），月还款额设为t，则各个月所欠银行贷款为：第一个月A 第二个月A*（1p）-t第三个月（A*（1p）-t）*（1p）-tA*
10、(1p)2-X*1+(1+p)第四个月A*（1+p）-X*（1p）-X*（1p）-XA*(1+p)3-X*1+(1+p)+(1+p)2由此可得第n个月后即（第n+1个月）所欠银行贷款为 A*(1+p)n X*1+(1+p)+(1+p)2+(1+p)n-1= A*(1+p)n X*(1+p)n-1/p 由于还款总期数为m，也即第m月刚好还完银行所有贷款，因此有 A*(1+p)m X*(1+p)m-1/p=0 由此求得 X = A*p*(1+p)m /(1+p)m-15.1.2模型的求解所以如果王先生向银行借1万元，10年还清的话，参照表1可得p=0.478125%，代入上式计算得出X=109.7
11、06864（元），与表一的109.71相符。所以逐月换完1万元后，总共向银行还款：109.706864*120=13164.82（元）逐月被银行拿走的利息钱为：109.706864-10000/120=26.37（元）问题二5.2.1模型的分析在此问题中，所设计方案应该以付给银行利息最小为目标，同时满足平时的正常生活与首付时20%的条件，故而本文是一非线性规划的最优解问题。5.2.2模型的建立在此，我们选用0-1规划模型，以Xi表示下表中8种房贷的选取与否（Xi=1表示选用第i种房贷，Xi=0表示不采用第i中房贷）。而且只选用一种贷款，所以有i=18Xi=1Xi0,i=1,2,38首付的限制条
12、件为1500003230*135-A*100003230*135*20%日常的家庭生活分为两个阶段（一）10月12月的每月收入只有5600元，此外，手头上还有首付后15万的剩余部分，平均分到这三个月。每月还款根据下表可以表示为A*i=18（Xi*Si）此时要满足 5600+150000-3230*135-A*100003-A*i=18Xi*Si=1500(二)2008年起，每年初都会得到上一年的3万元年终奖金，平均分到12个月，为2500元。所以有8100-A*i=18Xi*Si1500i年限/Yi月还款（元）/Si11858.4022440.9933302.0044232.6055191.0
13、5610109.7171582.9782070.14目标函数是所付利息，表示为Min Z=A*i=18Xi*Si*Yi*12-A*10000 5600+150000-3230*135-A*100003-A*i=18Xi*Si1500 1500003230*135-A*100003230*135*20%Sti=18Xi=1 Xi0,i=1,2,385.2.3模型的求解对上述规划问题直接利用软件lingo求解，可得X4=1，A=29.03939万元。经验证，首付为145656.1元，每月还贷5547.97元，前三月每月可供家庭开销的金额为1500.1元，只能最小程度的满足家庭正常生活，而2008年
14、往后将有前一年的3万元年终奖金支持日常家庭生活，平均每月可供家庭开销的金额约为4000元，大于日常开销的上限3000元，所以说除去前三个月，房贷对于家庭的日常生活不会产生任何影响。由此我们认为，从长远角度来说，拮据前三个月来使利息最小是值得的，故而此解可行。综上，对于王先生的最优房贷方案为年限贷款金额/元首付/元每月还款/元每月家庭开销上限/元2007.10-122008后5290390.39145656.15547.971500不限问题三5.3.1模型的分析问题三中，提到了等额还贷期间的提前还款问题，在实际生活中，提前还款的好处是，可以省下大笔的利息，而且提前还款的时间越早金额越大，省下的利
15、息越多。问题三中还涉及王先生外甥借钱买房的情况， 根据问题所述，中王夫人的方案使得两家人购房均欢欣鼓舞，所以可以理解为王先生借给外甥A钱，然后用剩下的钱提前还款，但是由于王先生提前还款的金额减少，如果不增加其他收入，必定导致王先生节省的利息减少，但是因为两家人均高兴，所以王先生在此方案下的综合购房花费不能少于提前还款20万元方案的综合购房花费，解决次问题的关键在于王先生借给外甥A w1元后，应该收取外甥A w2元的利息。5.3.2模型的建立在此情况下，首先应该满足王先生的外甥在得到王先生个人的“借贷”帮助后，外甥能够付起首付，从而从银行申请房贷。同样以问题二中的0-1规划模型来解决此问题，故而
16、首先确定限制条件：（1）、题中明确支出，采用了王夫人所提出的方案后，俩家人均欢欣鼓舞。对于王先生，即需满足借给外甥后综合购房利息变少。为了简化模型，我们把此规划的目标写为借出w1、收息w2后的综合购房花费最小值。即Min=XA，53,0.00459*53-A-w2因为目前外甥所面临的问题是首付不够，所以才不能向银行贷款，作为亲戚或长辈，是应该帮写力所能及的忙，但是也不能趁火打劫，所以要有限制。即假如没有首付的限制，王先生提供的借贷应该优于或等价于银行所提供的借贷。为此我们假设两者的借贷形式相等，即王先生，利率p，还款月数m（此项与银行相同），则有限制条件：pi=18Xi*pim=12*i=18
17、Xi*Yiw2=Xw1,m,p*m-w1需要说明的是p并不具有实际意义，只是为了衡量王先生与银行两者借贷的最优而设的参数而已。（2）、王先生借给外甥w1元，使其可以申请房贷（即满足首付大于等于40%）。而且，从外甥的角度来说，向银行贷款w1+50000200000*40%即w130000且w1150000（3）、此方案要满足外甥的正常生活支出。因为相较于问题二，其没有年终奖之类的资金来源，即每月看可供支配的金额一定，故而使每月还银行贷款之后，要求剩余的钱数大于等于2000。3500-w110000*i=18Xi*Si2000（4）0-1规划所需的基本条件：i=18Xi=1Xi0,i=1,2,3
18、8综上，此模型为Min=XA，53,0.00459*53-A-w2w2=Xw1,m,p*m-w1m=12*i=18Xi*YiS.tpi=18Xi*pi150000w1300003500-w110000*i=18Xi*Si2000i=18Xi=1Xi0,i=1,2,385.3.3模型的求解利用lingo求出最优解：首付/元借入(出)/w1元总利息/w2元外甥A200000150000102493.2王先生150000 问题四5.4.1问题分析问题四中由于其他五个外甥的加入，导致20万元需要重新分配，但其分配准则与问题三基本一致，采用0-1规划模型，以Xij=1表示第j个外甥选用i贷款，W1j代表
19、第j个外甥向王先生所借金额，W2j表示第j个外甥所付的利息钱，同理，原字符后标j代表外甥代号。根据题目给出的条件，限制条件均于问题三相同，故不等式为：购买房子的总价Gj手头可支配的现金Cj每月开销（均匀分布）/Oj每月家庭总收入/Ij首付最少/Fj年终奖外甥A20万5万2000元3500元80万元外甥B35万15万1500元5000元10.52万元外甥C30万20万1800元4000元90万元外甥D15万10万1000元3500元63万元外甥E25万8万1500元4500元7.50万元外甥F20万9万800元3000元85万元5.4.2 模型的建立 根据问题三，列出目标函数：Min=XA-(2
20、00000-j=16w1j)，53,0.00459*53-A+(200000-j=16w1j)-j=16w2j约束条件约束条件与问题三类似。 w2j=Xw1j,mj,pj*mj-w1jmj=12*i=18Xij*YiS.t(j=1,2,3.6)pji=18Xij*pijj=16w1j200000w1j+CjFjIj-Gj-Cj-w1j10000*i=18Xij*SijOji=18Xij=1Xij0,i=1,2,385.4.3 模型的求解 此模型使用lingo或是matlab软件进行求解。问题五5.5.1模型的分析王先生想拿更多的钱去投资其他的项目却遭到别人的反对，那么我们只要求出王先生这样做是
21、否会获得更大的利益即可，也就是说，如果王先生投资所获得收益大于其还贷少付的利息或向外甥收取的利息，那么我们认为王先生的做法是正确的，应该支持。在三个备选投资项目中，我们假定以一万元为本金。题目给出了过去10年间三种项目的收益情况，故我们考虑到利用灰色模型预测出三种项目在2008年的收益情况，并为不同的项目赋予三个不同的权值，然后对其求和并取最大值，即可得出三种项目要投资各占的比例。于是，我们只要直接算出王先生拿一万元投资的收益与其原来的收益相比即可。5.5.2基于模型的基本假设和符号规定1、假设投资项目不需要缴纳交易费2、假设王先生投资资金M=1万元；3、投资越分散，总的风险越小；4、总体风险
22、用投资项目Si中最大的一个风险来度量；5、三种资产Si之间是相互独立的；6、在投资的这一时期内, ri,pi,r0为定值，不受意外因素影响；7、净收益和总体风险只受 ri,pi影响，不受其他因素干扰。5.5.2基于模型的符号规定Si 第i种投资项目，如股票，债券ri,qi, -分别为Si的平均收益率,风险损失率xi -投资项目Si的资金 a -投资风险度Q -总体收益 Q -总体收益的增量5.5.3模型的建立假定a、b、c分别为一万元中甲乙丙三种项目各自获得投资资金，总收益用Q表示根据matlab灰色模型，我们得出如下收益情况：年份/2008项目甲项目乙项目丙增长情况1.0521.06251.
23、1135收益率/%4.3335.2089.458风险损失率/%0.9752.8670.942假设项目甲乙丙分别为第1、2、3个项目，即项目Si收益率Ri/%风险损失率Qi/%14.3330.97525.2082.86739.4580.942总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量，即：max qixi|i=1,2n要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小, 这是一个多目标规划模型: 目标函数max i=13rixi min maxqixi 约束条件i=13xi=Mxi0 i=1,2,35.5.4模型的简化在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qixi/
24、Ma，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。模型建立 固定风险水平，优化收益 目标函数： Q=maxi=13rixi 约束条件：qixiMai=13xi=Mxi0 i=1,2,35.5.5模型的求解Minf=-0.0433,-0.05208,-0.09458x1,x2,x3x1+x2+x3=10.00975x1a0.02867x2a0.00942x3axi0 (i=1,2,3)由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：a=0;while(1.1-a)1c=-0.043
25、33,-0.05208,-0.09458;Aeq=1 1 1;beq=1;A=0.00975 0 0;0 0.02867 0;0 0 0.0942;b=a;a;a;vlb=0,0,0,;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=xQ=-val plot(a,Q,.)axis(0 0.1 0 0.5)hold ona=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)计算结果a =0.0070x =0.6815 0.2442 0.0743Q =0.0493由此可见，按此种方案，王先生每投资一万元即可获得493元的利润。若王先生贷款给外甥
26、，则他对外甥所要的利率必定不会比银行高，否则外甥就不需要向王先生贷款。而银行的年利率分别为0.459%和0.478%，即一万元可获得459元和478元，与投资所获得493元的利润相比，王先生显然应该多拿钱去投资项目。方案为：项目甲乙丙所占总金额比例分别为68.15%、24.42%、7.43%。最多拿15.623万元。六、 模型的评价针对五个问题，分别建立了五个模型进行求解，考虑了各个问题的条件与限制要素，并结合实践生活中的情况，比如借钱还钱中涉及利息问题，包括私人与银行和私人与私人间的借贷关系。但是由于实践生活中会发生许多变化，比如银行利率的调整，家庭消费的变化，以及突发事故（包括生病等），使得问题复杂化，所以模型有待于进一步优化。