立体几何高考专题之空间点线面的位置关系(原卷版含解析).docx

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1、1 1 1 111 1111.(2019 全国 III专题 08 立体几何第二十讲 空间点线面的位置关系2019 年文 8）如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心 ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则A BM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线B BMEN，且直线 BM，EN 是相交直线C BM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线D BMEN，且直线 BM，EN 是异面直线2.（2019 全国 1 文 19）如图，直四棱柱 ABCDA B C D 的底面是菱形，AA =4，AB=2， BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB ，A D 的中点.

2、（1） 证明：MN平面 C DE；（2） 求点 C 到平面 C DE 的距离3.（2019 全国 II 文 7）设 ， 为两个平面，则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行B 内有两条相交直线与 平行1 1 11 1111 1 1 1111 11C ， 平行于同一条直线D ， 垂直于同一平面4.（2019 北京文 13）已知 l，m 是平面 a外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m a；l a以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： _5.（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱 ABCA B C 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证：

3、（1）A B 平面 DEC ；（2）BEC E6.（2019 全国 II 文 17）如图，长方体 ABCDA B C D 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA 上，BEEC .（1） 证明：BE平面 EB C ；（2） 若 AE=A E，AB=3，求四棱锥E -BB C C 1 1的体积7.(2019 全国 III文 19）图 1 是由矩形 ADEB、 ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2， FBC=60.将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平

4、面 BCGE； （2）求图 2 中的四边形 ACGD 的面积.8.（2019 北京文 18）如图，在四棱锥 P -ABCD中， PA 平面 ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点（）求证：BD平面 PAC；（）若ABC=60，求证：平面 PAB平面 PAE；（）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由9.（2019 天津文 17）如图，在四棱锥 P -ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，VPCD 为 等边三角形，平面 PAC 平面 PCD ， PA CD ， CD =2 ， AD =3 ，（）设G ，H分别为PB ，AC的中点，求证：GH 平面PAD

5、；（）求证： PA 平面 PCD ；1 1 11 1111 11（）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.10.（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱 ABCA B C 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证：（1）A B 平面 DEC ；（2）BEC E11. （ 2019 浙 江 19 ） 如 图 ， 已 知 三 棱 柱ABC -A B C 1 1 1， 平 面A ACC 1 1平 面ABC , ABC =90，BAC =30 ,A A =AC =AC , E , F1 1分别是 AC，A B 的中点.（1）证明： EF BC；（2）求直线 EF 与平面 A BC 所成

6、角的余弦值.12.（2019 北京文 18）如图，在四棱锥 P -ABCD 中， PA 平面 ABCD，底部 ABCD 为菱 形，E 为 CD 的中点（）求证：BD平面 PAC；（）若ABC=60，求证：平面 PAB平面 PAE；（）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由1 1 1 111 11113. （2019 全国 1 文 16）已知ACB=90，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到ACB 两 边 AC，BC 的距离均为 3 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为_14. （2019 全国 1 文 19）如图，直四棱柱 ABCDA B C D 的底面是菱形

7、，AA =4，AB=2， BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB ，A D 的中点.（1） 证明：MN平面 C DE；（2） 求点 C 到平面 C DE 的距离15.（2019 天津文 17）如图，在四棱锥 P -ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，VPCD为等边三角形，平面PAC 平面PCD，PA CD，CD =2，AD =3，（）设G ，H分别为PB ，AC的中点，求证：GH 平面PAD；1 11（）求证：PA 平面PCD；（）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.16.（2019 浙江 8）设三棱锥 V-ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点（不含端

8、点），记直线 PB 与直线 AC 所成角为 ，直线 PB 与平面 ABC 所成角为 ，二面 角 P-AC-B 的平面角为 ，则A，C，B，D，17. （ 2019 浙 江 19 ） 如 图 ， 已 知 三 棱 柱ABC -A B C 1 1 1， 平 面A ACC 1 1平 面ABC , ABC =90，BAC =30 ,A A =AC =AC , E , F1 1分别是 AC，A B 的中点.（1）证明： EF BC；（2）求直线 EF 与平面 A BC 所成角的余弦值.2015-2018 年一、选择题1(2018 全国卷)在正方体ABCD -A B C D1 1 1 1中， E为棱 CC

9、的中点，则异面直线 AE 1与CD 所成角的正切值为1 1 1 11 11 1A22B32C52D722(2018 浙江)已知平面a ，直线 m，n满足m a ， n a，则“mn”是“m a ”的A充分不必要条件C充分必要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件3（2017 新课标）如图，在下列四个正方体中， A， B为正方体的两个顶点， M ，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接 AB与平面 MNQ不平行的是4（2017 新课标）在正方体ABCD -A B C D1 1 1 1中，E为棱CD的中点，则AA E DC1 1BA E BD1CA E BC1 1DA E AC15（2

10、016 年全国 I 卷）平面过正方体 ABCD - A B C D 的顶点 A，平面 CB D ， I平面 ABCD=m， I 平面 ABB A =n，则 m，n 所成角的正弦值为A32B22C33D136（2016 年浙江）已知互相垂直的平面 a，b 交于直线 l若直线 m，n 满足 m，n， 则Aml 三、解答题Bmn Cnl Dmn7（2018 全国卷）如图，在三棱锥P -ABC中，AB =BC =2 2，PA =PB =PC =AC =4 ， O 为 AC 的中点PAOCBM(1)证明：PO 平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC =2 MB，求点C到平面POM的距离8（2018

11、全国卷）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M 是 CD 上异于C， D的点(1)证明：平面AMD 平面BMC；(2)在线段 AM上是否存在点 P ，使得 MC 平面 PBDM？说明理由DCAB9（2018 北京）如图，在四棱锥 P -ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD 平面 ABCD ， PA PD ， PA = PD ， E ， F 分别为 AD ， PB 的中点PAEFDCB(1)求证：PEBC；(2)求证：平面 PAB 平面 PCD ；(3)求证：EF平面PCD10（2018 天津）如图，在四面体 ABCD中，DABC是等边三角形，平面 ABC平面

12、ABD ，点 M 为棱 AB 的中点， AB =2 ， AD =2 3 ， BAD =90o(1)求证： AD BC；(2)求异面直线 BC与 MD 所成角的余弦值；(3)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值AMBCD11(2018 江苏)在平行六面体ABCD -A B C D1 1 1 1中，AA =AB1，AB B C1 1 1A1D1B1C1ADBC求证：(1)AB 平面A B C1 1；(2)平面ABB A 平面 A BC 1 1 112(2018 浙江)如图，已知多面体ABCA B C ， A A ， B B ， C C 均垂直于平面 ABC ， 1 1 1 1 1 1ABC

13、 =120o，A A =41，C C =11，AB =BC =B B =21A1B1AC1CB(1)证明：AB1平面A B C1 1 1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值13（2017 新课标）如图，四棱锥P -ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB =BC =12AD，BAD =ABC =90oPADBC(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若 DPCD 的面积为 2 7 ，求四棱锥 P -ABCD 的体积。14（2017 新课标）如图，四面体 ABCD 中， DABC 是正三角形， AD =CD DCEBA(1)证明： AC BD ；(2) 已知DAC

14、D是直角三角形，AB =BD若E为棱BD上与D不重合的点，且AE EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比平面 PBC ；15（2017 天津）如图，在四棱锥 P -ABCD 中，AD AD =1 ， BC =3 ， CD =4 ， PD =2 （）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值； （）求证： PD 平面 PDC，AD BC ，PD PB ，（）求直线 AB与平面 PBC 所成角的正弦值16（2017 山东）由四棱柱ABCD -A B C D 截去三棱锥 C -B CD1 1 1 1 1 1 1后得到的几何体如图所示，四边形 ABCD 为正方形， O 为 AC 与 BD 的交

15、点， E 为 AD 的中点， A E 1平ABCD面，（）证明：A O1平面B CD1 1；（）设 M 是 OD 的中点，证明：平面A EM 平面 B CD 1 1 1A1B1AED1BOCMD17 （ 2017 北京）如图，在三棱锥 P -ABC 中， PA AB ， PA BC ， AB BC ，PA =AB =BC =2， D 为线段 AC的中点， E 为线段 PC上一点（）求证： PA BD ；（）求证：平面 BDE 平面 PAC ；（）当 PA 平面 BDE 时，求三棱锥 E -BCD 的体积18（2017 浙江）如图，已知四棱锥P -ABCD，DPAD是以AD为斜边的等腰直角三角形

16、，BC AD，CD AD，PC =AD =2 DC =2CB，E为PD的中点（）证明： CE 平面 PAB ；（）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值PEADB C19（2017 江苏）如图，在三棱锥 A -BCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD， 点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD求证：（1）EF平面 ABC；（2）ADACAEBFDC20（2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32cm，容器的底面对角线AC的长为 107cm，容器的两底面对角线EG，E G1 1的长分别为 14cm

17、和 62cm 分别在容器和容器中注入水，水深均为 12cm 现有一根玻璃棒l，其长度为 40cm（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度11111ABDCBC= A DMEND= ，可得11专题 08 立体几何第二十讲 空间点线面的位置关系答案部分2019 年1.【解析】如图所示，联结 BE ， BD .因为点 N为正方形 ABCD的中心 ECD为正三角形，平面 ECD 平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，所以 BM

18、平面 BDE ，EN 平面 BDE ，因为 BM 是BDE 中 DE 边上的中线， EN 是 BDE 中 BD 边上的中线，直线 BM ， EN 是相交直线，设 DE =a ，则 BD =2 a ， BE =3 5a 2 + a 2 = 2a 4 4，6所以 BM = a ， EN =23 1a 2 + a4 42=a，所以 BM EN 故选 B2. 【解析】（ 1 ）连结 B C , ME . 因为 M ，E 分别为 BB , BC 的中点，所以 ME B C ，且1 1 1ME = B C .又因为N为 A D 的中点，所以 ND = A D .2 2 由题设知 ，故 = ，因此四边形MN

19、DE为平行四边形， 1 1 1 1MNED.又MN 平面C DE1，所以MN平面C DE1.（2）过C作C E的垂线，垂足为H. 由已知可得 DE BC ， DE C C1，所以DE平面 C CE ，故DECH.1从而CH平面C DE1，故CH的长即为C到平面C DE1的距离，由已知可得CE=1，C C=4，所以C E =117，故CH =4 1717.从而点C到平面C DE1的距离为4 1717.1 1 11 11 11 1 111 111 1 11111 11 1 11 111 113.【解析】对于 A， a内有无数条直线与 b 平行，则 a与 b相交或 ab，排除；对于 B， a内有两条

20、相交直线与 b平行，则ab；对于 C， a， b平行于同一条直线，则 a 与 b相交或 ab，排除；对于 D， a ， b垂直于同一平面，则 a与 b相交或 ab，排除 故选 B4.【解析】若m /a，过 m 作平面 bI a =m ，则m /m，又l a，则l m，又 m，m同在 b 内，所以 l m ，即 .5.【解析】证明：（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点， 所以 EDAB.在直三棱柱 ABC-A B C 中，ABA B ，所以 A B ED.又因为 ED平面 DEC ，A B 平面 DEC ，所以 A B 平面 DEC .（2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以

21、 BEAC.因为三棱柱 ABC-A B C 是直棱柱，所以 CC 平面 ABC. 又因为 BE平面 ABC，所以 CC BE.因为 C C平面 A ACC ，AC平面 A ACC ，C CAC=C， 所以 BE平面 A ACC .因为 C E平面 A ACC ，所以 BEC E.1 11 11 111 16.【解析】（1）由已知得 B C 平面 ABB A ，BE 平面 ABB A ，故B C BE1 1.又BE EC1，所以 BE平面EB C1 1.（2）由（1）知BEB =90.由题设知 ABE A B E，所以 AA =2 AE =6故 AE=AB=3，.1AEB =A EB =451

22、1，作EF BB1，垂足为 F，则 EF平面BB C C ，且 EF =AB =3 1 1.所以，四棱锥E -BB C C 的体积V = 1 1133 6 3 =18.F7.【解析】（1）由已知得AD P BE，CG P BE，所以AD P CG，故AD，CG确定一个平面，从 而A，C，G，D四点共面由已知得AB BE，AB BC，故AB 平面BCGE又因为AB 平面ABC，所以平面ABC 平面BCGE（2）取 CG的中点 M ，联结 EM ， DM .因为 AB DE ， AB 平面BCGE，所以 DE 平面BCGE，故 DE CG .由已知，四边形 BCGE 是菱形，且 EBC =60 因

23、此 DM CG .得 EM CG ，故 CG 平面 DEM .在 DEM 中， DE =1 ， EM =3 ，故 DM=2 .所以四边形ACGD的面积为4.8.【解析】（）因为 PA 平面ABCD，且 BD 平面ABCD，所以 PA BD又因为底面ABCD为菱形，所以 BD AC 又 PA 平面 PAC ， AC 平面 PAC ， PA I AC =A，所以 BD 平面PAC（）因为PA平面ABCD， AE 平面ABCD， 所以PAAE因为底面ABCD为菱形，ABC=60，且E为CD的中点， 所以AECD又 AB /CD ，所以ABAE又 PA 平面 PAB ， AB 平面 PAB ， PAI

24、 AB =A，所以AE平面PAB又 AE 平面 PAE，所以平面PAB平面 PAE（）棱PB上存在点F，且 F为 PB的中点，使得CF平面PAE取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG因为G， F分别为 PA， PB的中点，则FGAB，且FG=12AB因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CE=12AB所以FGCE，且FG=CE1 1 11 11 11 1 111 111 1 11111 11 1 11 111 1111 11所以四边形CEGF为平行四边形， 所以CFEG因为CF 平面PAE，EG 平面PAE， 所以CF平面PAE9.【解析】（）连接 BD

25、，易知AC I BD =H，BH =DH .又由BG =PG，故GH PD，又因为GH 平面 PAD， PD 平面 PAD，所以GH 平面 PAD.（）取棱 PC 的中点 N ，连接 DN .依题意，得 DN PC ，又因为平面 PAC 平面 PCD ， 平面 PAC I 平面 PCD =PC ，所以 DN 平面 PAC ，又 PA 平面 PAC ，故 DN PA .又已知PA CD，CD I DN =D，所以 PA 平面PCD.（）连接AN，由（）中DN 平面PAC，可知DAN为直线 AD与平面PAC所成的角，因为 PCD 为等边三角形， CD =2 且 N 为 PC 的中点，所以DN =3

26、 .又 DN AN ，故在 RtAND 中，sin DAN =DN 3=AD 3.所以，直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为33.10.【解析】（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，所以 EDAB.在直三棱柱 ABC-A B C 中，ABA B ，所以 A B ED.又因为 ED平面 DEC ，A B 平面 DEC ，所以 A B 平面 DEC .（2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BEAC.因为三棱柱 ABC-A B C 是直棱柱，所以 CC 平面 ABC.又因为 BE平面 ABC，所以 CC BE.因为 C C平面 A ACC ，AC平面 A ACC ，C

27、 CAC=C，所以 BE平面 A ACC .因为 C E平面 A ACC ，所以 BEC E.11.【解析】（I）连接 A E，因为 A A=A C，E 是 AC 的中点，所以 A EAC.1 111 11 111111111111111111111又平面A ACC 平面ABC，A E平面A ACC ，平面A ACC 平面ABC=AC，所以，A E平面ABC，则A EBC.又因为A FAB，ABC=90，故BCA F. 所以BC平面A EF.因此EFBC.（）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA 是平行四边形由于A E平面ABC，故AE EG，所以平行四边形EGFA 为矩形 由（I）得BC

28、平面EGFA ，则平面A BC平面EGFA ，所以EF在平面A BC上的射影在直线A G上.连接A G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A BC所成的角（或其补角）.不妨设AC=4，则在A EG中，A E=2 3 ，EG= 3 .A G 15由于O为A G的中点，故 EO =OG = 1 = ，2 2EO 2 +OG 2 -EG 2 3所以 cos EOG = =2EO OG 5因此，直线EF与平面A BC所成角的余弦值是3512.【解析】（）因为 PA 平面ABCD，且 BD 平面ABCD，所以 PA BD 又因为底面ABCD为菱形，所以 BD AC 又 PA 平面PAC，AC 平面PAC

29、，PA I AC =A，所以 BD 平面PAC（）因为PA平面ABCD， AE 平面ABCD， 所以PAAE因为底面ABCD为菱形，ABC=60，且E为CD的中点， 所以AECD又 AB /CD ，所以ABAE又 PA 平面 PAB ， AB 平面 PAB ， PAI AB =A，所以AE平面PAB又 AE 平面 PAE，所以平面PAB平面 PAE（）棱PB上存在点F，且 F为 PB的中点，使得CF平面PAE取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG因为G， F分别为 PA， PB的中点，则FGAB，且FG=12AB因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CE=

30、12AB所以FGCE，且FG=CE所以四边形CEGF为平行四边形， 所以CFEG因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE13.【解析】过点P作PO平面ABC交平面ABC于点O，过点P作PDAC交AC于点D，作PEBC交BC于点E，联结OD，OC，OE， 则 AC 平面 POD , BC 平面 POE ,所以 AC OD , BC OE ,又 ACB =90,( )2Rt PCOPO = 2211111ABDCBC= A DME= ND= ，可得由题设知，故，因此四边形MNDE为平行四边形，11故四边形 ODCE为矩形.有所做辅助线可知 PD =PE =3，所以 CD =CE =2

31、2-3 =1，所以矩形 ODCE为边长是1的正方形，则 OC =2.在 中，PC =2, OC =2，所以 .PO即为点 P 到平面 ABC 的距离，即所求距离为 .14.【解析】（1）连结 B C , ME . 因为 M，E 分别为 BB , BC 的中点，所以 ME B C ，且1 1 1ME = B C .又因为N为 A D 的中点，所以 ND = A D .2 2 1 1 1 1MNED.又MN 平面C DE1，所以MN平面C DE1.（2）过C作C E的垂线，垂足为H. 由已知可得 DE BC ， DE C C1，所以DE平面 C CE ，故DECH.1从而CH平面 C DE ，故CH的长即为C到平面 C DE 的距离，1 1由已知可得CE=1，C C=4，所以C E =117，故CH =4 1717.从而点C到平面C DE1的距离为4 1717.15.【解析】（）连接BD ，易知AC I BD =H，BH =DH.又由BG =PG，故GH PD，又因为GH 平面 PAD， PD 平面 PAD，所以GH 平面 PAD.（）取棱PC的中点N，连接DN