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1、x 202x 2 y 2x 1 2高考数学考前 60 天冲刺 50 题【六大解答题】圆锥曲线1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中。椭圆 C : +y2。为 l2=1 的右焦点为 F ，右准线（1）求到点 F 和直线 l的距离相等的点 G 的轨迹方程。（2）过点 F 作直线交椭圆 C 于点 A, B ，又直线 OA 交 l 线段 AB 的长；uuur uuur于点 T , 若 OT =2OA ，求（3）已知点 M 的坐标为 (x, y ),x 0 ，直线OM 交直线0 0 0x x0 +y y =1 于点 N ，且 2uuur和椭圆 C 的一个交点为点 P ，是否存在实数 l，使得 OP =
2、luuuur uuurOM ON ? ，若存在，求出实数 l；若不存在，请说明理由。2.设 A、B 分别为椭圆 + =1(a, b 0) 的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦a 2 b 2距，且 x =4 是它的右准线，(1) 求椭圆方程；(2) 设 P 为右准线上不同于点（ 4，0）的任一点，若直线 AP、BP 分别与椭圆 交于异于 A、B 两点 M、N，证明：点 B 在以 MN 为直径的圆内3. 如图，已知椭圆x 2 y 2+ =1( a b 0) a 2 b2的长轴为AB，过点B的直线l与 轴垂直直线 (2 -k ) x -(1+2 k ) y +(1+2 k ) =0( k R ) 所经过
3、的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率e =32.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点， PH x 轴， H 为垂足，延长 HP 到点Q 使得 HP =PQ ，连结 AQ 延长交直线 l 于点 与以为直径的圆 O 的位置关系 ABM， N 为 MB 的中点试判断直线QN34.已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且经2过点 M (4,1)，直线l : y =x +m 交椭圆于不同的两点 A，B. （）求椭圆的方程；（）求 m 的取值范围；B（）若直线 l不过点 M，试问 kMA+kMB是否为定值？并说明理由。5.已知椭圆的焦点 F1
4、(1,0),F2(-1,0)，过P0,作垂直于y轴的直线被椭圆所截()1线段长为 6 ，过 F 作直线 l 与椭圆交于 A、B 两点.1（I）求椭圆的标准方程；uuur uuur uuur()是否存在实数 t 使 PA +PB =tPF ，若存在，求 t 的值和直线 l 的方程；若1不存在，说明理由6.已知椭圆 C :x 2 y 2 1+ =1(a b 0) 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半 a 2 b2 2轴为半径的圆与直线 x -y + 6 =0 相切，过点 P（4，0）且不垂直于 x 轴直 线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点。（1）求椭圆 C 的方程；uuur uuur（2）
5、 求 OA, OB 的取值范围；（3） 若 B 点在于 x 轴的对称点是 E，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点。 x 2 y 27.已知椭圆 + =1 a b 0 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直a 2 b 2角三角形，直线 x -y +b =0 是抛物线 y 2 =4 x 的一条切线（）求椭圆的方程；（）过点 S (0,- ) 的动直线 L 交椭圆 C 于 AB 两点问：是否3存在一个定点 T，使得以 AB 为直径的圆恒过点 T ? 若存在，求点 T 坐标； 若不存在，说明理由。x 28.设椭圆 C : +ya 22=1(a 0) 的两个焦点是 F ( -c,0) 和F ( c
6、,0)( c 0) ，且椭圆 C 上1 2的点到焦点 F 的最短距离为 3 - 2.2（1） 求椭圆的方程；（2） 若直线 l : y =kx +m (k 0) 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N，线段 MN 垂直平 分线恒过点 A（0，-1），求实数 m 的取值范围。9.已知椭圆 C :x 2 y 2+ =1 的短轴长等于焦距，椭圆 C 上的点到右焦点 F 的最短 a 2 b 2距离为 2 -1 （）求椭圆 C 的方程；（）过点 E (2 ，0) 且斜率为 k ( k 0) 的直线 l与 C 交于 M 、 N 两点， P 是点 M 关于 x 轴的对称点，证明： N、F、P 三点共线1 310
7、.椭圆 E 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 .点 P(1， )、A、B2 2 x 2 y 2 2在椭圆 E 上，且PAPBmOP(mR)(1) 求椭圆 E 的方程及直线 AB 的斜率；(2) 当 m3 时，证明原点 O 是PAB 的重心，并求直线 AB 的方程 11.已知抛物线 y 2 =4 x ，点 M (1, 0) 关于 y 轴的对称点为 N ，直线 l 过点 M 交抛物线于A , B两点（1）证明：直线NA , NB的斜率互为相反数；（2）求 DANB 面积的最小值；（3）当点M的坐标为( m , 0)， ( m 0 且m 1)根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说
8、明理由）：12.已知椭圆 E：+ =1（abo）的离心率 e= ，且经过点（ 6 ,1），O a 2 b2 2为坐标原点。（）求椭圆 E 的标准方程；（）圆 O 是以椭圆 E 的长轴为直径的圆，M 是直线x=4 在 x 轴上方的一点，过 M 作圆 O 的两条切线， 切点分别为 P、Q，当PMQ=60时，求直线 PQ 的方程.13.设抛物线 C ：x 214 y 的焦点为 F，曲线 C 与 C 关于原点对称2 1() 求曲线 C 的方程；2() 曲线 C 上是否存在一点 P（异2于原点），过点 P 作 C 的两条切1线 PA，PB，切点 A，B，满足| AB | 是 | FA | 与 | FB
9、| 的等差 中项？若存在，求出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由14. 在 平 面 直 角 坐 标 系 C :( x -4)2 +( y -5)2 =4 ，2xoy中 ， 已 知 圆 C : ( x +3)21+( y -1)2=4 和 圆（1）若直线 l 过点 A(4,0) ，且被圆 C 截得的弦长为 2 3 ，求直线 l 的方程；1（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l 和1l ，它们分别与圆 C 和圆 C 相交，且直线 l 被圆 C 截得的弦长与直线 l 被圆 C 2 1 2 1 1 2 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标。315
10、.已知，椭圆 C 过点 A (1, ) ，两个焦点为（-1，0），（1，0）。2（1）求椭圆 C 的方程；1 2（2）E、F 是椭圆 C 上的两个动点，如 果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相 反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。16已知双曲线 E ：x 2 y 2- =124 12的左焦点为 F ，左准线l与 x 轴的交点是圆 C 的圆心，圆 C 恰好经过坐标原点 O ，设 G 是圆 C 上任意一点 （）求圆 C 的方程；（）若直线 FG 与直线 所截得的弦长；l交于点 T ，且 G 为线段 FT 的中点，求直线 FG 被圆 C（）在平面上是否存在定点 P ，使得对圆
11、C 上任意的点 G 有GFGP=12？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由x 2 y 217. 椭圆 C ： + =1（ a b 0 ）的左、右焦点分别为 F 、 F ，右顶点为 A ，a2 b 2uuur uuuurP 为椭圆 C 上任意一点已知 PF PF 的最大值为 3 ，最小值为 2 1 2（1） 求椭圆 C 的方程；（2） 若直线 l ： y =kx +m 与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点（ M 、 N 不是左右 顶点），且以 MN 为直径的圆过点 A 求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标18. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆x 2 y 2+ =1 的中心，焦点与该
12、椭圆的右焦点重 4 3合.(1) 求抛物线 D 的方程;(2) 已知动直线 l 过点 P(4,0),交抛物线 D 于 A 、 B 两点.(i)若直线l的斜率为 1,求 AB 的长;(ii)是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为 定值？如果存在，求出 m 的方程；如果不存在，说明理由.19.已知圆 C 的方程为 x12+( y -2)2=1 ，定直线 l 的方程为 y =-1动圆 C 与圆C 外切，且与直线 l 相切1（）求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程；（II）斜率为 k 的直线 l 与轨迹 M 相切于第一象限的点 P，过点 P 作直线 l 的垂线恰好
13、经过点 A（0，6），并交轨迹 M 于异于点 P 的点 Q，记 S 为 DPOQ （O 为坐标原点）的面积，求 S 的值x 2 y 2 320已知椭圆 + =1 (a b 0) 经过点 M ( , 6) ，它的焦距为 2 ，它的左、a 2 b 2 2右顶点分别为 A , A ， P 是该椭圆上的一个动点（非顶点），点 P 是点 P 关于 x1 2 1 2 1轴的对称点，直线 A P 与A P 相交于点 E .1 1 2 2（）求该椭圆的标准方程（）求点 E 的轨迹方程21.椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，离心率 e =22，椭圆上的点到焦点的最短距离为 1-22, 直线 l
14、与 y 轴交于点 P（0，m），与椭圆 C 交于相uur uur异两点 A、B，且AP lPB（1）求椭圆方程；（2）若Oy第F18BA题图T lx，求 m 的取值范围22设抛物线 M 方程为 y 2 =2 px ( p 0) ，其焦点为 F，P（a, b )（ a 0) 为直线 y =x 与抛物线 M 的一个交点， | PF |=5（1） 求抛物线的方程；（2） 过焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点，试问在抛物线 M 的准线上是 否存在一点 Q，使得 DQAB为等边三角形，若存在求出 Q 点的坐标，若不存在请说明理由23.已知点 R ( -3,0) ，点 P 在 y 轴上，点
15、Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，uuuur uuuur r uuur uuuur且满足 2 PM +3 MQ =0, RP PM =0 .（）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；（）设 A( x , y ) 、B ( x , y ) 为轨迹 C 上两点，且 x 1, y 0, N (1,0) ，求实数 l ，1 1 2 2 1 1使 AB =l16AN ，且 AB = .3724.如图，在 DABC 中，| AB |=|AC |= ,| BC |=22的中点 P .（1）求椭圆的标准方程；，以 B 、C 为焦点的椭圆恰好过 AC（2）过椭圆的右顶点A
16、 作直线 l 与圆 E : ( x -1)2 1+y2=2相交于 M 、 N 两点，试探究点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1: 3 的 两段弧吗？若能，求出直线 l 的方程；若不能，请说明理 由.yAPxB O Cx 225.如图所示， F 是抛物线 y 2 =2 px ( p 0) 的焦点，点 A(4,2) 为抛 物线内一定点，点 P 为抛物线上一动点， PA +PF 的最小值为y8.（1）求抛物线方程；P（2）若 O 为坐标原点，问是否存在定点 M ，使过点 M 的动直线 与抛物线交于 B , C 两点，且以 BC 为直径的圆恰过坐标原点 , 若O FA(4,x存在，求出定点
17、 M 的坐标；若不存在，请说明理由.x 2 y 226. 已知椭圆 + =1(a b 0) 上有一个顶点到两个焦点之间a 2 b 2的距离分别为 3 +2 2 ， 3 -2 2 。（1） 求椭圆的方程；（2） 如果直线 x =t (t R ) 与椭圆相交于 A, B ，若 C ( -3,0), D(3,0) ，证明直线 CA 与 直线 BD 的交点 K 必在一条确定的双曲线上；（3） 过点Q (1 , 0) 作直线 l （与 x 轴不垂直）与椭圆交于 M 、N 两点，与 y 轴交于 uuuur uuuur uuur uuur点 R ，若 RM =lMQ ， RN =mNQ ，证明： l+m为定
18、值。27.已知抛物线 C:y2=4x，F 是 C 的焦点，过焦点 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点。（1）求 OA OB 的值；（2）设 AF = l FB ，求ABO 的面积 S 的最小值； （3）在（2）的条件下若 S 5 ，求 l 的取值范围。28. 已知抛物线 D 的顶点是椭圆x 2 y 2+ =1 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重 4 3合.(1) 求抛物线 D 的方程;(2) 已知动直线 l 过点 P (4,0),交抛物线 D 于 A 、 B 两点.(i)若直线l的斜率为 1,求 AB 的长;(ii)是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆
19、M 所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出 m 的方程；如果不存在，说明理由.高考数学（理）考前 60 天冲刺【六大解答题】圆锥曲线专练答案1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中。椭圆 C : +y2。为 l2=1 的右焦点为 F ，右准线（1）求到点 F 和直线 l的距离相等的点 G 的轨迹方程。（2）过点 F 作直线交椭圆 C 于点 A, B ，又直线 OA 交 l 线段 AB 的长；uuur uuur于点 T ,若 OT =2OA ，求)0022y02 x2 y2( x+y)2P P2 x2 y2( x+y0 N0Nx 2 y 2（3）已知点 M 的坐标为(x , y00x x, x 0
20、 ，直线 OM 交直线 0 +y y =1 于点 N ，且2uuur uuuur uuur和椭圆 C 的一个交点为点 P ，是否存在实数 l，使得 OP =lOM ON ? ，若存在， 求出实数 l；若不存在，请说明理由。x 2解：（1）由椭圆方程为 +y 2 =12可得 a2=2 ， b2=1 ， c =1 ，F (1,0)， l : x =2 设 G ( x , y)，则由题意可知 ( x -1)2 +y 2 =|x -2 |，化简得点 G 的轨迹方程为 y 2 =-2x +3 . 4 分 （2）由题意可知 x =x =c =1 ，A Fx 2故将 x =1 代入 +y =1 ，A 2可得
21、 | y |= A22，从而AB = 2 8 分（3）假设存在实数 l满足题意由已知得 OM : y = 0 x x0x x0 +y y =1 2椭圆 C：x 22+y2=1由解得 x =Nx022 x0+2 y02，y =N2 y0x 2 +2 y 0 02由解得 12 分xP2=x022 x 20+2 y02，yP2=x02 y 202 +2 y02 uuur 2 2 2 2 OP =x 2 +y 2 = 0 + 0 = 0 0 ，x 2 +2 y 2 x 2 +2 y 2 x 2 +2 y 20 0 0 0 0 0uuuur uuur 2 2 2 2 OM ON =x x +y y =
22、0 + 0 = 0 0x 2 +2 y 2 x 2 +2 y 2 x 2 +2 y 2 0 0 0 0 0 0故 可 得 l =1)满 足题意 16 分2.设 A、B 分别为椭圆 + =1(a , b 0) 的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦a 2 b 2距，且 x =4 是它的右准线，(1) 求椭圆方程；(2) 设 P 为右准线上不同于点（4，0）的任一点，若直线 AP、BP 分别与椭圆 交于异于 A、B 两点 M、N，证明：点 B 在以 MN 为直径的圆内6 y00x2 x -y +1 =0解：（1）由a =2c a2=4c得c =1a =2b = 3方程为x 2 y 2+ =1 6 分 4
23、 3（2）Q A（ -2，0），B（2，0），令 M ( x , y )0 0Q M 在椭圆上， y02=34(4 -x02) ，又 M 异于 A、B 点，-2 x 2 ，令 P (4, y ) Q P、A、M三点共线，0y -y 4 -x 0 = 0 ，y -0 x +2 0 0 y =6 y 6 y 0 P (4, 0x +2 x +2 0 0uuuur uuur) BM =( x -2, y ), BP =(2, 0 ) x +2010 分uuuur uuurQ -2 x 0 ，20 -5 x 2 0 BM BP 0， 140 0 0分 PBM 90o,B 在以 MN 为直径的圆内3.
24、如图，已知椭圆x 2 y 2+ =1( a b 0) a 2 b2的长轴为AB，过点B的直线l与 轴垂直直线 (2 -k ) x -(1+2 k ) y +(1+2 k ) =0( k R ) 所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率e =32.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点， PH x 轴， H 为垂足，延长 HP 到点Q 使得 HP =PQ ，连结 AQ 延长交直线 l 于点 与以为直径的圆 O 的位置关系 ABM， N 为 MB 的中点试判断直线QN（1）将 (2 -k ) x -(1+2 k ) y +(1+2 k ) =0 整理
25、得 ( -x -2 y +2) k +2 x -y +1 =0-x-2y +2 =0解方程组 得直线所经过的定点（0，1），所以 b B=1 由离心率e =32得 a =2 所以椭圆的标准方程为x 24+y 2 =1 -4 分x +200()()000 00 0( )（2）设 P (x, y0 0)，则x 204+y 2 =1 0HP =PQ， Q (x,2 y0 0) OQ = x02+(2y02)=2Q点在以O为圆心，2 为半径的的圆上即Q点在以AB为直径的圆O上6分又 A (-2,0)，直线 AQ 的方程为 y =2 y0x +20(x+2)令 x =2 ，得 M 2,8 y0x +20
26、又 B (2,0)， N 为 MB 的中点， 4 y N 2, 0 8 分uuur uuur OQ =(x, 2 y )，NQ =0 02 x y x -2, 0 0x +20uuur uuur OQ NQ =x0(x -20)+2 y 02 x y 4 x y 2 x (4-x 0 0 =x x -2 + 0 0 =x x -2 +x +2 x +2 x +2 0 0 02)=x (x -2 )+x(2-x)=0 0 0 0 0uuur uuur OQ NQ 直线 QN与圆O相切34.已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且经2过点 M (4,1)，直线l : y =x +m
27、交椭圆于不同的两点 A，B. （）求椭圆的方程；（）求 m 的取值范围；（）若直线 l 不过点 M，试问 kMA+kMB是否为定值？并说明理由。（）Qc 3 b 1= , = ，-2 分 a 2 a 2x 2 y 2依题意设椭圆方程为： + =1, 把点 4,1 代入，得 b4b2 b 22=5椭圆方程为x 2 y 2+ =1. -4 分 20 5（）把 y =x +m 代入椭圆方程得： 5 x2+8mx +4 m2-20 =0 ，由 0, 可得 -5 m b 0) 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半a 2 b2 2轴为半径的圆与直线 x -y + 6 =0 相切，过点 P（4，0）且不垂
28、直于 x 轴直2221 21 2uuur uuur，y + y111，11221 2()1线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点。（1）求椭圆 C 的方程；uuur uuur（2） 求 OA, OB 的取值范围；（3） 若 B 点在于 x 轴的对称点是 E，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点。(1)解：由题意知c 1e = =a 2，e2c2 a 2 -b 2 = = =a2 a214，即a24= b32又b =61 +1= 3 ， a 2=4，b2=3故椭圆的方程为x 2 y 2+ =14 3(2)解：由题意知直线 AB 的斜率存在，设直线 PB 的方程为 y =k ( x -4)由
29、x 2 y 2 得： (4 k 2 +3) x -32 k x +64 k -12 =0+ =14 3y =k ( x -4)由D=( -32 k2)2-4(4 k2+3)(64k2-12) 0得：k214设A(x ， y ) ， B (x ， y ) ， 则 1 1 2 232k 2 64k 2 -12x +x = ，x x =4k 2 +3 4 k 2 +3y y =k ( x -4) k ( x -4) =k 1 2 1 22x x -4k 1 22( x +x ) +16k 1 22uuur uuurOA OB =x x +y y =(1 +k 2 ) 1 2 1 264 k 2 -1
30、2 32 k 2 87-4k 2 +16k 2 =25 -4k 2 +3 4k 2 +3 4k 2 +31 87 87 87 13 0 k 2 - - b 0 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直 a 2 b 2角三角形，直线 x -y +b =0 是抛物线 y （）求椭圆的方程；2=4 x 的一条切线（）过点 S (0,- ) 的动直线 L 交椭圆 C 于3AB 两点问：是否消去y得 2x1 212存在一个定点 T，使得以 AB 为直径的圆恒过点 T ? 若存在，求点 T 坐标； 若不存在，说明理由。解析：（）由x -y +b =0 y 2 =4 x: x +(2b -4) x +b 2
31、 =0因直线 y =x +b与抛物线 y 2 =4 x 相切， D =(2b -4) 2 -4b 2 =0 ， b =1 ， 2 分x 2 y 2圆 C : + =1( a b 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰 a 2 b 2直角三角形， a = 2b = 2故所求椭圆方程为x 22+y 2 =1.1 4（）当 L 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程：x 2 +( y + ) 2 =( )3 3当 L 与 x 轴垂直时，以 AB 为直径的圆的方程： x 2 +y 2 =12 1 4x2 +( y + ) 2 =( ) 2由 3 3 解得 2 +y 2 =1x =0y =1即两圆公共点（0，1）因此，所求的点 T 如果存在，只能是（0，1）（）当直线 L 斜率不存在时，以 AB 为直径的圆过点 T（0，1）（）若直线 L 斜率存在时，可设直线 L： y =kx -13由 1y =kx - 3 消去y得 : (18k 2 +9) x 2 -12 kx -16 =0 x 2+y 2 =12记点 A( x , y ) 1 1B ( x , y ), 则 2 212kx +x =1 2 18k 2 +9 -16x x =18k 2 +9TATB,综合（）（），以 AB 为直径的圆恒过点