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1、数形结合思想在中学数学解题中应用摘要：数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。本文就数形结合思想在数学问题解析中的应用加以整理、总结，并给出部分例题，以便得到更好的推广。关键词：数形结合 代数问题 几何问题 相互转化For combining the application in mathematics（YANG zhongxiang）Abstract : Several combining in mathematics teaching is widely used in combination, a new mathematical
2、 thought to write with. Several combining ideas in mathematics got full attention. Based on several combining analytical mathematical thoughts in the application are summarized, and gives some examples, in order to get better.Key words：Combining the number Algebra problem Geometry problems Mutual tr
3、ansformation前言 数形结合思想在实际的应用中显得十分重要和广泛，数形结合思想几乎贯穿了整个解析几何，可以说数形结合思想是解析几何的精髓所在。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”关键是代
4、数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。美国著名数学教育家波利亚说过:“掌握数学就意味着要善于解题。”只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。中、高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。而数形结合思想又显得格外重要和实用。但在应用中也应该注意其应用的适用性、科学性、合理性等特性。一、数形结合思想理论（一）、数形结合思想的定义：数形结合是数学中重要的思想方法之一，是通过数和形两者之间的关系来解决数学问题
5、的方法思想。（二）数形结合思想的研究对象：数形结合思想的主要研究对象是数与几何图形或几何图形与数的关系，即对于所要研究的代数问题可以通过研究其所表示的曲线、图象等几何图形来得以解决，反之对于几何图形问题也可以转化为其所对应的代数问题加以解决。（三）数形结合思想的本质 ：数形结合思想的本质是几何图形的性质反映了数量关系；数量关系决定了几何图形的性质。“数”不仅具有精确性，它还具有联系性（即在某一特定范围内它是联系不间断的），唯一性，逻辑性等，他们之间可以经过多种变换。而几何图形往往具有直观性，我们可以较直观的从图象信息中分析得到信息。（四）数形结合思想的研究方法：数形结合思想的方法应用主要可以分
6、为两种情况：（1）、借助于“数”的精确性来阐明“形”的属性；（2）、借助于“形”的直观性来阐明“数”的关系。（五）数形结合思想的研究思路：数形结合思想的基本思路是：根据“数”的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决“数”的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，进而削弱或清除“形”的推理部分，使要解决的“形”的问题转换为数量关系的讨论。通过以上转换使问题得以解决或简单化。二、数形结合思想的实际应用（一）在一般方程中的应用：方程f(x) g(x) = 0的解情况，可化为f(x)g(x) 的解情况，也可看作函数y = f(x) 与y = g(x) 图像的交点的横坐标
7、的情况，所以只要我们准确地在数轴或坐标轴中画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也作可以作为一种验证方法用来检查自己到底有没有做错。例题1方程lnx=cosx解的个数为 。分析：画出函数y=lnx与y=cosx的图像（如图1）。注意观察两个图像的相对位置关系可以得出结论，XYY=lnxY=cosx图2-1（答案：1个。）利用代数方法求解：lnx=cosx已知lnx的定义域为0cosx成立的x的取值范围为 解析：如图2-5所示；图2
8、-5YX0注意，在单位圆上，使sinx，cosx的角x的终边与一、三象限角平分线重合，可知终边在该直线上方的角X有sinxcosx（如左图所示），由此得出满足题意的x取值范围为X（/4,5/4），即为图中阴影部分所表示区域。代数法：把sinxcosx转化为求sinx-cosx0，即2 sin（x-/4）0,求在（0。/2）上的解，解得x（/4,5/4）与图象解出一致。（三）不等式（组）、函数用象表示：在函数中，函数的解析式和图像的实质是相同的。同样，不等式也可以用图象表示，函数图象是用曲线的，那么，不等式就用所对应的区域来表示，该区域就在该不等式化为方程后所表示的曲线的领域内。例题4：设函数f
9、(x),g(x)分别是定义域在R上的奇函数和偶函数，当x0时，（）（）（）（），且（），则不等式（）（）的解集是解析：设（）（）（），（）（）（）（）（）（），故，（）为奇函数，又时，（）（）（）（）（），所以当时（）为增函数，又奇函数在对称区间上的单调性相同，时，（）也是增函数。（）（）（），（）（）如图为一个符合题意的图象，观察后可得：图（）（）（）的解集为：（，）（，）。由上图可以看出，该不等式的解集图象为该函数左下方与x轴负方向上小于-3相交部分和该函数右下方与x轴正方向上小于3相交部分，所有处在该区域内的x的值都满足题意，而曲线上的点则表示该函数的临界点。例题5：如下图2-8所示，阴
10、影部分的点满足不等式组x+y=52x+y=0, y=0 值的坐标是 图2-8解析：这是线性规划问题，运用数形结合的思想方法，如上图2-8所示，做L：6x+8y=0的直线，然后向右（上）平移，使得L与阴影部分相交又到原点距离最大的交点，得（0,5）。本题主要利用不等式组来确定x，y的取值范围（图中阴影部分），并利用该范围内的点做为定义域求满足目标函数的点，这是数形结合的应用中较为常见的“数”“形”转换的方法。它避免了纯代数运算的繁杂性，较为充分的体现出了“形”的直观性。由上两个例题可以看出，利用数形结合方法来解不等式（组），不仅可以避免许多繁杂的代数运算，简化解题的程序。而且可以使做题的过程更加
11、直观。（四）曲线方程与曲线方程图象：曲线方程是中学数学中的重要组成部分，它包括圆的曲线方程、椭圆的曲线方程、双曲线方程，抛物线方程等曲线方程，数形结思想合在这一方面体现的更为重要，整个曲线方程几乎都是围绕数形结合思想来分析、解决问题。例题5：如果实数x，y满足等式（x-2）2+y2=3，求y/x的最大值 解析：本题作为代数问题的形式，y/x的最大值不易直接求出，若采用数形结合思想，利用y/x的几何意义则较为简便，如图2-10所示，在直角坐标系中，（x-2）2+y2=3表示以（2,0）为圆心，31/2为半径的圆，y/x=（y-0）/(x-0)表示圆上任意一点P（x,y）与原点连线斜率，当OP与圆
12、相切，角POQ=60时，y/x取得最大值31/2。4P0YXQ1图2-10例题5.圆x2+y2+2x-4y-3=0上到直线l：x+y+1=0的距离为21/2的点共有 解析：先将圆的一般方程化为标准方程（x+1）2+(y-2)2=8,它与直线x+y+1=0的位置关系如图2-9所示，O、（-1，-2）是圆心，A（-1,0）和B(0,-1)是直线x+y+1=0与坐标轴的交点，连结O、B,易知O、BAB，而且O、B=21/2，此圆的半径r=81/2，延长O、B，交圆于C，则BC=21/2,做直径DE/AB,则点D、E到直线x+y+1=0的距离都是21/2圆到直线距离为21/2的点有C,D,E三个。YX
13、EDA（-1,0）BO（-1，-2）图2-9例题7：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两个不同动点A,B满足AOB0，如图2-11所示：BAOYX图2-11求(1)AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；(2)AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。解析：（1）设AOB的重心G为（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则：x=(x1+x2)/3y=(y1+y2)/3OAOBKOAKOB=1,即x1x2+y1y2=0， 又点A,B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22，代人化简得x1x2=-1，y=（y1+y2）/3=
14、1/3(x12+x22)=1/3(x1+x2)2-2x1x2=1/3*(3x)2+2/3 =3x2+2/3所以，重心G的轨迹方程为：y=3x2+2/3(2) SAOB =1/2OAOB=1/2（x12+y12）(x22+y22)1/2 由（1）得SAOB=1/2(1+x12x24+1)1/2=1/2(x12+x22+2)1/2 =1/22(x12x22)1/2+21/2=1/22(-1)1/2+2 =1/2*2=1 当且仅当x12=x22,即x1=-x2=-1时，等式成立。故AOB的面积存在最小值，最小值为1。通过以上三个例题可以看出，在解析几何问题中，数形结合思想的应用是十分灵活的，有的问题
15、需要将代数问题转化为线性的几何问题解决，而有的线性的几何问题又需要转化成代数问题解决，甚至在同一个题中会出现代数问题和几何问题的多次的相互转化。（五）数形结合在集合、数列（组）中的应用集合主要采用描述法、文氏图法、例举法等；数列（组）在数学中的应用主要体现在数理统计中，常用的表示方法为竖状图法、扇形图法和表格法等。其特点都是在利用图形的直观性来表示其数学意义的属性。例题8；设集合A,B是全集U的两个子集，则A是B的真子集是（CuA）UB=U的 （ ）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件 解析：（1）A是B的真子集（CuA）UB=U， （2）当（CuA）UB=
16、U时，A，B的关系可以是A是B的真子集或A=B，故（CuA）UB=U A是B的真子集用文氏图表示如下：UA=BBAU图2-12满足（CuA）UB=U的条件有A=B或A是B的真子集。故非必要条件。但A是的真子集就一定满足（CuA）UB=U。故为充分条件。（六）复数用图象表示其几何意义借助复平面上的两点间的距离公式和直线、圆、圆锥曲线等，再利用复数的意义求解问题，比单纯利用代数计算优越的多。例12如果复数z满足z+i+z-i=2,那么z+i+1的最小值是（ ）A.1 B. C.2 D.解析：复平面内满足z+i+z-i=2的点z的轨迹是线段AB,而z+i+1表示点Z到P(-1,-1)的距离如图2-1
17、3 所示,由图知z+i+1的最小值是1，选A.图2-13（七 ）向量问题用图象解析利用向量可以解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角（异面直线的角、线面角、二面角）和空间距离（点线距、线线距、线面距、面面距），利用空间向量解决立体几何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，大大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。例10如图所示，P是正方形的ABCD的对角线BD上一点，四边形PECF是矩形，求证:（1）.PA=EF图2-14（2）.PAEF解析：建立如图2-14的坐标系，设正方形的边长是1，=,则A(0,1),P(,),E(,0),F(1, )=(-,1-) =(-1,- )(1).
18、=(-)+(1-) =-+1 =(-1)+ (-) =-+1 =，即PA=EF（2）. (-)(-1)(1-)(-) 0 ，即PAEF例11如图所示，在棱长为1的正方形ABCD-ABCD中，E,F分别是DD,BD的中点，G在棱CD上，且CGCD,H是CG的中点，1 求证：EFBC2 求证：EF与C G所成角的余弦值3 求FH的长解：如图2-15所示，建立空间直角坐标系D-xyz，E(0,0, ) F(,0) C(0,1,0) D(0,1,1)B(1,1,1) G(0, ,0)(1).证明： =(,-) =(-1,0,-1)=(-1)+ 0+(-1)=0 图2-15 EFBC(2). =(0,-
19、 ,-1)=由（1）得 cos=(3). H是C G的中点H(,)即H（0，）又F(,0)FH=（八）几何问题用代数方法解决三、用数形结合时应注意的几个问题（误区）“数形结合”它直观、形象，可避免繁杂的计算、证明等，获取出奇制胜的解法。然而，它并不是“万能”的。图形虽然直观、形象，但它是一个部分，而不是全部，甚是有些图形是有误差的，并不准确，所以我们不能以点代面，不能简单地根据图形就获取答案。就是要用到图形，我们在作图时或画草图时也要注意一些细节，不能马虎应付。用数形结合时要注意以下这几个主要事项。（一）精确作图，避免潦草作图而导出的错误在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函
20、数图像的延伸趋势以及伸展“速度”。因为我们画出的只是函数图像的一小部分，而不是全部。常言到“知人知面不知心”，同样的，我们从函数图像的部分而知道它的全部，在没画出来的部分图像是怎么样的呢？我们只有根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了。（二）注意转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小定义域是一个变量的最大范围，如果不注意转化过程是否是等价的过程，那么变量的定义域就有可能扩大或缩小了，这样，画出来的图像就会多出一部分或者少了一角，而根据这样有误差的图像，做出来的结果是会不准确的，那就是白做了这道题，所以注意转化过程要等价是关键的。不论是否注意到转化过程要等价，我们最好能做好一道题，就再用另
21、外一种方法验证一下所得到的答案是否准确，这样才会有信心地保证做完一题就一定正确。（三）注意图形的存在合理性，不可“无中生有”有的图形根据定义域或值域是不可能存在的，但往往会因为对定义域或值域的存在区间或存在的条件没有认真考虑或者没有考虑全面，得出错误的判断，画出错误的图形，从而得出错误的结论，把不存在当成了存在或者把存在当成了不存在。（四）注意仔细观察图像，避免漏掉了一些可能的情形 有些问题可以从图像直接解得，但要经过认真地分析，而有些问题很难由图像直观而得，值得注意。我们要仔细地观察图像，看看这些图像的位置关系是否都是合理的，是不是漏掉了一些情况呢？我们只有做到不重不漏，我们保证所得到的答案是准确的。（五）用数形结合解题尤其在证明问题时要避免逻辑循环“形”并不能作为证明的依据，遇到证明题时，在几何直观分析的同时，还要进行代数抽象的探索，并用严谨的数学语言写出证明过程的理论依据，这样才算做好证明题。应用数形结合时，“形”只是一种手段，一个工具，而不是理论依据。不论是怎么样的题目，“形”只是我们思考问题的种方式，为解题提供一些帮助，但我们都要写出我们做这道题的理论依据，这样才会让人知道你不是直接从图像中看出来的或者是猜测得到的，这样才有说服力，是有效的。- 23 -详参照