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1、2.2直接证明与间接证明22.1综合法和分析法第1课时综合法及其应用课标解读1.了解直接证明的证明方法综合法，掌握其证明方法、步骤(重点)2.理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题(难点)综合法【问题导思】阅读下列证明过程，回答问题已知实数x，y满足xy1，求证：2x2y2.证明：因为xy1，所以2x2y222，故2x2y2成立1本题的条件和结论是什么？【提示】条件：xy1，结论2x2y2.2本题的证明顺序是什么？【提示】从已知条件利用基本不等式到待证结论1综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合
2、法2综合法的框图表示PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)用综合法证明不等式问题已知a，b是正数，且ab1，求证：4.【思路探究】解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法，即可得出结论【自主解答】法一a，b是正数且ab1，ab20(当且仅当ab时，取等号)又0，0ab，4，4.法二a，b是正数，ab20，20(当且仅当ab时，上两式取等号)(ab)()4.又ab1，4.法三a，b是正数且ab1，11224(当且仅当ab时，取等号)1解答本题时，关键是灵活运用条件ab1.2综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向仔细分析题
3、目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法(2)转化条件，组织过程把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路(3)适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取(2013新乡高二检测)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：3.【证明】左边()()()3，因为a，b，c为不全相等的正实数，所以2，2，2，且上述三式的等号不能同时成立，所以()()()3633，即3.用综合法证
4、明几何问题如图221，直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1A1C1，AC1A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点图221求证：(1)C1M平面AA1B1B.(2)A1BAM.(3)平面AC1M平面B1NC.【思路探究】(1)由B1C1A1C1，M为A1B1的中点可知C1MA1B1，再根据C1MA1A即可得证(2)要证A1BAM，可转化为证明A1B平面AC1M.(3)要证面面平行，应转化证明线面平行【自主解答】(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1A1C1，M是A1B1的中点，C1MA1B1.又C1MA1A，A1AA1B1A1，A1A，A1B1平面AA1B1B，C1M平面AA1B1B
5、.(2)A1B平面AA1B1B，由(1)知C1M平面AA1B1B，A1BC1M.又A1BAC1，AC1，C1M平面AC1M，AC1C1MC1，A1B平面AC1M.又AM平面AC1M，A1BAM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AMB1N，AM平面B1NC，B1N平面B1NC，AM平面B1NC.又C1MCN，CN平面B1NC，C1M平面B1NC，C1M平面B1NC.又C1MAMM，C1M，AM平面AC1M，平面AC1M平面B1NC.平行与垂直关系的转化：本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面平行或垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互转化，如：ac，a，等其中线面
6、平行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A1B平面AC1M来证明A1BAM；本例(3)中，通过证明AM平面B1NC，C1M平面B1NC，来证明平面AC1M平面B1NC.将本例条件“B1C1A1C1，AC1A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点”改为“ABBB1，AC1平面A1BD，D为AC的中点”，求证：(1)B1C平面A1BD.(2)B1C1平面ABB1A1.【证明】(1)如图，连接AB1.令AB1A1BO，则O为AB1的中点连接OD，D为AC的中点，在ACB1中，有ODB1C.又OD平面A1BD，B1C平面A1BD，B1C平面A1BD.(2)ABB1B，三棱柱ABCA1B1
7、C1为直三棱柱，四边形ABB1A1为正方形A1BAB1，又AC1平面A1BD，A1B平面A1BD，AC1A1B.又AC1平面AB1C1，AB1平面AB1C1，AC1AB1A，A1B平面AB1C1.又B1C1平面AB1C1，A1BB1C1.又A1A平面A1B1C1，B1C1平面A1B1C1，A1AB1C1.又A1A平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1，A1AA1BA1，B1C1平面ABB1A1.用综合法证明数学中的其他问题设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)，其中m为常数，且m3.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比qf(m)，数列bn满足b1a1，
8、bnf(bn1)(nN*，n2)，求证：为等差数列【思路探究】通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键【自主解答】(1)由(3m)Sn2manm3得(3m)Sn12man1m3.两式相减得(3m)an12man(m3)，且a11，an是等比数列(2)b1a11，qf(m)，n2，nN*时，bnf(bn1)bnbn13bn3bn1.数列为首项为1，公差为的等差数列1综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件2综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”综合法在数学证明中的
9、应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等设数列an的每一项都不为0，证明：数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有.【证明】必要性：设等差数列an的公差为d.若d0，则所述等式显然成立；若d0，则()()()()().充分性：依题意有，.得，两端同乘a1an1an2得a1(n1)an1nan2.同理可得：a1nan(n1)an1.得2nan1n(an2an)，即2an1an2an，所以数列an为等差数列命题得证.综合法的简单应用(12分)在ABC中，三边a，b，c成等比数列求证：acos2ccos2b.【思路点拨】利用二
10、倍角公式及余弦定理，将三角形角的问题转化为边的问题进行证明【规范解答】左边(ac)(acos Cccos A)4分(ac)(ac)8分(ac)bbb右边，acos2ccos2b.12分通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，也可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则1综合法证题是从条件出发，由因导果，从已知看可知，逐步推出未知2综合法适用的范围：(1)定义明确的题型，如证明函数单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等(2)已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型1设P，则()A0P1B1P2C2P3 D3P4【解析】Plog11
11、2log113log114log115log11120,1log1111log11120log111212，即1PB是sin Asin B的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若AB，则ab，又，sin Asin B，若sin Asin B，则由正弦定理得ab，AB.【答案】C3设a，b，c，则a，b，c的大小关系为_【解析】a2c22(84)0，ac，又1，cb，acb.【答案】acb4已知函数f(x)2x1，g(x)x，xR，数列an，bn满足条件：a11，anf(bn)g(bn1)，nN*.求证：数列bn1为等比数列【证明】由题意得2bn1bn1
12、，bn112bn22(bn1)，2，又a12b111，b10，b1110.故数列bn1是以1为首项，2为公比的等比数列.一、选择题1设a，bR，且ab，ab2，则必有()A1abBab1Cab1 Dab2ab，即ab，可排除A、D.又1.故B正确【答案】B2l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【解析】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线
13、不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错【答案】B3已知yx0，且xy1，那么()Axy2xy B2xyxyCx2xyy Dx2xyx0，且xy1，设y，x，则，2xy，x2xy0；|5；|2，|2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是_(用序号及“”表示)【解析】0，|2，|2.|222288283225.|5.【答案】三、解答题9在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：ABC为等边三角形【证明】由A、B、C成等差数列，有2BAC.因为A、B、C
14、为ABC的内角，所以ABC.由，得B.由a、b、c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及，可得b2a2c22accos Ba2c2ac.再由，得a2c2acac，即(ac)20，因此ac，从而有AC.由，得ABC，所以ABC为等边三角形10设a0，f(x)在R上满足f(x)f(x)，(1)求a的值；(2)证明f(x)在(0，)上是增函数【解】(1)依题意，对一切xR有f(x)f(x)，即aex，所以(a)(ex)0对一切xR成立由此可得a0，即a21.又因为a0，所以a1.(2)证明：设0x10，x20，得x1x20，ex2ex10,1ex1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x)在(0，
15、)上是增函数11如图222，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1平面ABCD，DD12.图222(1)求证：B1B平面D1AC；(2)求证：平面D1AC平面B1BDD1.【证明】(1)设ACBDE，连接D1E，平面ABCD平面A1B1C1D1.B1D1BE，B1D1BE，四边形B1D1EB是平行四边形，所以B1BD1E.又因为B1B平面D1AC，D1E平面D1AC，所以B1B平面D1AC(2)侧棱DD1平面ABCD，AC平面ABCD，ACDD1.下底ABCD是正方形，ACBD.DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，AC平面B1BDD1，AC平面D1AC，平面D1AC平面B1BDD1.