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1、北 京 交 通 大 学2007-2008学年第一学期微积分（B）期末考试试卷（B卷）答案 1（本题满分8分） 设函数在点处可导，求极限 解： 2（本题满分8分） 求积分 解： 令，则，所以有 3（本题满分8分） 设函数由参数方程所确定，求 解： 4（本题满分8分） 计算曲线上对应于的一段弧的长度 解： 所以，因此，所求弧长为 5（本题满分8分） 设，求 解： 等式两端从到积分，记，得 而 ， 所以，有，即 ，所以，有 6（本题满分8分） 设曲线在点处的切线与轴的交点为，求极限 解： 切线斜率为，所以切线方程为 令，得的切线与轴的交点的横坐标为， 于是 7（本题满分8分） 设，求 解： 8（本题
2、满分8分） 设，求积分 解： 9（本题满分9分） 设当时，的导数与是等价无穷小，求 解： 所以， 由题意，得 所以， 10（本题满分9分） 设是常数，讨论方程根的个数，并指出每个根所在的范围 解： 将方程改写为，引入函数由于，从而有于是可得 当时，原方程无根； 当时，原方程有唯一根，； 当时，原方程有个根，； 当时，原方程有个根，； 当时，原方程有唯一根， 11（本题满分9分） 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且如果函数在区间上的最大值，证明：存在，使得 证明： 令，则函数在闭区间上连续，在开区间内可导，而且由题设，知， 由连续函数的最大值定理，以及题设，知存在，使得，所以 ，所以由连续
3、函数的零点定理，知存在，使得 再由，由Rolle中值定理，知存在，使得而，所以存在，使得 12（本题满分9分） 设抛物线与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为，其中一条切线于抛物线相切于点， 求的表达式 为何值时，面积取最小值 解： 抛物线在点处的切线的方程为 ， 即 再设抛物线在点处的切线的方程为 ， 即 由于与相互垂直，故有，即 所以切线的方程为 设切线与的交点为，则有，于是直线与，以及抛物线所围图形的面积为 以下求函数在区间上的最小值点 ，令，得函数在区间上的驻点当时，；当时，所以函数在区间上的最小值点即当时，面积函数取最小值 附加题一（本题满分10分） 设函数在闭区间上连续，在开区间内二阶可导，则存在，使得 证明： 设，则与在区间上满足Cauchy中值定理的条件，且 ，因此由Cauchy中值定理，知存在，使得 再在区间上对函数应用Lagrange中值定理，知存在，使得 所以，有 ，即 附加题二（本题满分10分） 求积分 解： 而 对积分作变换，得 ，所以，所以，令 ，代入上式，得