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1、1,引言,1. 数理方程：是物理问题及其他科学问题导出函数方程, 如偏微、积分、微积分方程 。,本书主要研究：1）波动方程； 2）热传导、扩散方程； 3）L方程（稳定场）方程 。,3. 处理问题的方法 1）把物体问题归结为数学上的定解问题;,2）求解定解问题并研究适定性（存在性、唯一性、稳定性）；,3）对解做出物理解释与实验结果比较、验证理论，认识自 然规律 。,2,7.1 数理方程的导出,步骤：1）确定研究哪个物理量u; 2）在系统中划出一小部分，研究其遵循的物理规律; 3）抓住主要因素，略去次要作用化简即得。,例1. 均匀弦的微小横振动。,1）问题：细弦，长l，平衡时沿x轴拉紧，除受重力外
2、，单位 长度外力 F（x，t）。 假定：10 弦作微小横振动，即u 任意时刻总是在包含x轴的 平面内运动； 20弦是柔软有弹性的。,3,（二）、三类数学物理方程的导出,1、弦的横振动,弦的横向位移为 u(x,t),4,考虑小振动,5,记,6,2、扩散方程,由于浓度不同引起的分子运动,扩散流强度q ，即单位 时间内流过单位面积的分子数或质量，与浓度 u(单位体积内的粒子数） 的下降成正比,D 为扩散系数,负号表扩散方向与浓度梯度相反,大小,7,x方向左表面，dt 时间流入六面体的流量为,流出六面体的流量为,8,x方向左表面，单位时间流入六面体的流量为,单位时间流出六面体的流量为,净流入量为,9,
3、x 方向净流入量为,y 方向净流入量为,z 方向净流入量为,10,立方体净流入量为,如立方体内无源和汇,dt时间内粒子增加数为,11,D=恒量，,令 a2=D,一维,12,若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 F=(x,y,z,t) 与 u 无关,若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 b2u,13,3. 热传导方程。设单位时间单位体积内的热源为F(x,y,z)。,1) 确定研究温度分布 u,2) From Fourier Law:,dt时间沿x方向流入dV的热量为：,同理，沿y、z方向流入dV的热量为:,14,7.2 定解条件,对于输运方程,（一）、初始条件,初始条件要求已知,对于弦振动方程,
4、初始条件要求已知,位移满足,速度满足,15,位移满足,速度满足,16,（二）、边界条件,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,17,如两端固定弦,端点位移,（1）、第一类边界条件,18,如细杆热传导端点温度,l,（如扩散端点浓度）,19,A）、如细杆的纵振动，x=a 处受力 f(t),（2）、第二类边界条件,x=0处受外力：f(t),a,20,(3)、两端有热流强度为f(t)的热流流出,l,f(t),f(t),在x=0端:,在x=l端:,同理得，两端有热流强度为f(t)的热流流入，则,21,第八章 分离变量法,8.2非齐次方程的求解法,8.3非齐次边界条件的处理,8.4 Possio
5、n方程,8.1齐次方程的分离变量法,22,8.1齐次方程的分离变量法,1. 分离变量法：两端固定有界弦的自由振动为例,定解问题是,1）分离变量将偏微化为常微,23,2）解本征值问题,（4）（5）构成本征值问题 ：,24,25,3）求非本征问题的解,4）迭加确定常数，求满足初始条件的解,由于方程和边界条件是齐次的,仍是方程的解，满足边界条件。,26,5）分析物理意义:,小结：分离变量法的条件，方程和边界条件是齐次的 要点：解本征值问题。,代入初始条件 ：,27,例2热传导,（2）,（1）,28,（3）,29,（4）,30,31,例：,定解问题是,32,33,34,8.3 非齐次边界条件的处理,1
6、.一般情况,35,36,37,9.1 特殊常微分方程的本征值问题,1.,38,欧勒型常微分方程,这是球函数方程， 称为球函数。,39,40,如果球坐标的极轴是对称轴，则 u 与 无关，从而 m = 0在 m = 0的情况下，方程成为：,勒让德方程,连带的勒让德方程,41,42,43,(1),（2）,44,（3）,45,第十章 球函数,10.2 连带L多项式,10.3 一般球函数,10.1 轴对称球函数,46,10.1 轴对称球函数,1. 球函数方程 本征值问题,如果球坐标的极轴是对称轴m=0, Let,1）,47,当l=0,1,2,3,.其中解的一个变为多项式Pl(x) ，另一个为无穷级数（在1发散,舍去）。,2),本征值问题的本征值：l(l+1), l=0,1,2,3,. 本征函数： Pl(x),48,例：,49,例1、,解：,P231例3,拉普拉斯方程在球 坐标系下的通解：,边界条件与无关: m=0,50,球内问题:,代入边界条件,舍去,51,左边是广义的傅里叶级数，所以用待定系数法将右 边函数x2展开为广义的傅里叶级数，,比较左右两端，得,52,解得，,比较左右两边系数，得,