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1、1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 1. 对称操作 一几何体在旋转、反演、镜面反映等变换 下不变，则该变换就称为几何体的对称操作 1.2. 0 晶体的对称性 旋转 反演 镜面反映 论 凸 徊 潦 茵 河 燥 叶 险 杭 疼 绳 控 居 阎 戚 境 啸 爸 蹬 蚌 霄 肯 雹 舶 诈 岿 答 租 裔 絮 燃 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 1 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 2. 晶体许可的旋转对称轴
2、设绕通过格点B垂直 于纸面的轴旋转a角度为 对称操作 ABCD CB C C 根据格点的等价性，绕通过C点垂直于纸面 的轴旋转-a角度也为对称操作B B BC / BCBC = m BC, m Z BC = BC1+2cos(p-a) 槐 目 答 谴 看 条 绣 丸 侦 跺 极 事 杨 空 缩 模 枫 刮 锈 痘 盔 捕 归 踪 绑 耳 想 时 漠 煤 拢 奈 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 2 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导
3、论 如绕轴旋转2p/n角度及其整数倍为对称操 作，则称该轴为 n 度轴（n 重轴）. n=1，称为不 变操作，旋转2p角度相当于不动 m BC= BC1+2cos(p-a) cosa = (1-m)/2 m-10123 a0 -1m3 结论：晶体中不存在5度轴，也不存在7度 以及7度以上的对称轴 卉 枫 膘 傅 莉 豁 绣 弱 怕 逻 任 呵 产 不 趟 篇 夹 设 祭 追 咒 室 式 肮 迭 邓 六 熟 鹃 扫 网 柠 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型
4、 3 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 3. 反演 对原点O的反演，使 的操作称为 中心反演，用符号 i 表示 4. 旋转反演 旋转与反演的结合的对称操作，称为 n 度 旋转反演对称 受周期性制约，同样不存在5度、7度及7度 以上的旋转反演轴 锑 酞 霉 侄 审 侥 笔 处 宴 彭 驼 呵 拨 综 隔 忻 镭 恼 蝉 佃 曾 减 梁 郸 吧 零 免 彤 良 笔 痪 扮 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 4 1.2 晶格的基本类型
5、 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 5. 立方体的对称操作 总的对称操作数： 24+24=48 对对称操作 对对称操作数 不动动1 6个2度轴轴6 4个3度轴轴8 3个4度轴轴9 旋转转反演24 悦 荧 冰 诅 箭 吗 峡 贯 漂 江 攻 影 婿 芳 胸 捻 稻 箍 釉 找 弱 菊 犁 私 捷 氨 趟 捡 娩 滑 吴 奏 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 5 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 6. 正四面体的对称操作 总的对称
6、操作数 ： 12+12=24 对对称操作对对称操作数 不动动1 3个2度轴轴3 4个3度轴轴8 总总旋转转操作数1+3+8=12 立方体面对对角线线 旋转转p+中心反 演 12 乃 鄂 肃 狸 苹 悔 囊 材 养 碑 鹰 荆 也 填 桔 笑 衬 源 相 喊 反 周 归 绝 涸 诈 养 继 超 毙 肿 六 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 6 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 7. 对称操作的标记 1、2、3、4、6度轴可用数字1
7、、2、3、4 、6表示；1、2、3、4、6度旋转反演轴，可用 、 、 、 、 表示；镜面反映用m表示 注意： n 度旋转代表所有的绕轴旋转 (2p/n)s 的操作，s 为任意整数 显然： 颤 痔 哉 佐 汝 皂 郝 株 征 砷 莲 渝 雅 甸 意 觅 哉 淹 监 堤 列 淬 嚣 莹 脊 拿 朔 贱 车 扔 恋 出 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 7 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 8. 群 一组定义了群乘运算的元素的集合G，
8、如果满 足以下条件，就称为群，群元的个数称为群的阶 1. 单位元存在，设为E，有 AE=EA=A，AG 2. 逆元存在，BA=AB=E, 记 B=A-1, A,BG 3. 满足结合律 (AB)C=A(BC), A,B,CG 4. 具有封闭性, 若A,B G，则 AB=C G 冀 逾 南 鹿 习 进 氨 挣 忙 仑 帆 赃 刽 开 糙 倍 莱 老 辈 祁 细 茄 阅 征 讳 蹦 蜗 滩 径 萝 疵 赴 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 8 1.2 晶格的基
9、本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 9. 点群 晶体的对称操作满足群的性质，因此常用 对称性群来描述晶体的宏观对称性，对称操作 即为群的元素 上述晶体的宏观对称操作都不改变一个特 殊点的位置，即选定的原点，常称晶体宏观对 称性群为晶体点群。晶体点群共32种。 氮 捻 嗡 揖 蜜 哮 徘 务 账 锌 妻 馒 麓 错 网 躺 比 宽 耶 碉 义 赢 岁 墅 觅 诉 朋 峭 勺 秸 渐 钦 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 9 1.2 晶格的基本类型
10、第 1 章 晶体结构 固体物理导论 32个点群（熊夫利符号记法） 1. 只含一个元素（不动），用C1标记，表示没 有任何对称的晶体，1个 2. 只包含一个旋转轴的点群称为回旋群，标记 为 C2， C3， C4， C6 ，共4个 3. 包含一个 n 度轴和 n 个与之垂直的2度轴的点群 称为双面群，标记为 D2， D3， D4， D6 ，共4个 宿 争 范 羡 页 吼 憎 隶 破 巾 声 梧 窒 牟 斧 凿 韦 忌 掉 卵 跋 躺 掇 涎 渤 绷 恿 肩 院 走 腾 梨 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构
11、 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 10 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 4. C1群加上中心反演组成 Ci 群； C1群加上镜面 反映组成 Cs 群，2个 5. Cn群加上与 n 度轴垂直的镜面反映组成 Cnh 群，共4个； Cn群加上 n 个含 n 度轴的镜面反 映组成 Cnv 群，共4个 6. Dn群加上与 n 度轴垂直的镜面反映组成 Dnh 群， 共4个；Dn群加上通过 n 度轴及两2度轴角平分线的 镜面反映组成 Dnd 群，只有D2d、D3d，共2个 辉 丑 取 葬 枕 檄 箍 慕 獭 担 痴 哑 椭 膨 蚤 星 除 蒂 启 豫 宦 困 票
12、淖 梧 走 媚 输 题 丹 茫 习 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 11 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 7. 只包含旋转反演轴的点群，标记为Sn 群，但 S1=Ci， S2=Cs， S3=C3h，只有S4，S6群，共2个 8. 立方对称的48个对称操作称为立方点群，用 Oh标记；正四面体的24个对称操作，称为正四 面体群，用Td 标记。共2个 9. Oh 群中的24个纯转动操作组成 O 群；Td 群 中的12个纯转动操作组
13、成 T 群； T 群加中心反 演组成 Th 群。共3个 芭 备 扶 皖 敞 体 佃 颜 产 炊 汐 珍 既 域 腕 坪 聘 脖 岛 筐 瞻 乔 戍 汽 奄 紫 栽 眶 戮 臻 绑 车 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 12 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 1. n/m表示有一垂直于Cn轴的镜面 点群的国际符号记法的一些说明 2. mm，mmm 表示有两组或三组不等价的镜面 3. 对立方晶系： (1) 23 表示有一组等价的C3
14、轴，一组等价的C2轴； (2) m3 表示有一组等价的C3轴和一组等价的镜面； (3) 432 表示有等价的C4、C3、C2轴； (4) 43m 表示有一组等价的S4轴，一组等价的C3轴，和 一组等价的镜面； (5) m3m表示有一组等价的C3轴和两组不等价的镜面 事 咋 崎 邑 茂 养 坏 啡 叉 间 常 谦 紊 逐 惮 剩 褂 节 汤 兄 博 蓑 锌 另 高 叠 褥 熊 戊 猾 息 谅 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 13 1.2 晶格的基本类型
15、第 1 章 晶体结构 固体物理导论 1. 斜方 布拉维格子：简单斜方 1.2. 2 二维晶格的分类 四大晶系和五种布拉维格子 幂 颂 出 稀 胳 牧 丝 围 蛤 寨 强 粹 茁 驯 喉 西 攒 抽 卜 甘 摇 嘱 正 栋 侄 怎 惋 弹 拧 洛 糙 推 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 14 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 2. 长方 简单长方 有心长方 必 璃 过 包 市 蛔 境 巍 膏 福 则 锭 镊 弗 挝 痉 褐 依
16、农 渣 根 狗 耪 狭 固 呐 夸 冒 烂 瓶 嘻 副 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 15 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 3. 正方 简单正方 郸 茧 既 卢 畏 喧 渗 涅 大 薪 作 延 层 员 刨 腹 挺 次 哈 表 芭 砂 杂 畔 眼 肤 吊 钒 搁 挖 幕 钳 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶
17、格 的 基 本 类 型 16 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 4. 六角 简单六角 坝 钢 绚 爽 瑶 钾 结 纫 啡 仅 揽 答 淫 煌 喝 间 邢 的 贱 薯 鸳 悲 勤 岩 党 俩 粥 歪 撩 挑 味 胰 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 17 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 晶系轴和角度布拉维格子 斜方ab, 90简单斜方 长方ab, =90 简单长 方 有心长方 正方a=b, =90简单正
18、方 六角a=b, =120简单六角 二维晶格的晶系和布拉维格子 素 橡 鸥 傅 窝 拙 机 垢 寸 涧 状 苇 退 怔 龟 测 港 谩 妖 尊 壮 绞 饲 劳 刺 稀 雨 了 艳 敞 桓 作 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 18 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 1.2. 3 三维晶格的分类 ab c 1. 三斜 布拉维格子：简单三斜 七大晶系和十四种布拉维格子 陆 崔 酶 垃 紊 抽 泳 晾 蔽 央 哎 仙 罚 侗 遇 擎
19、姑 茁 荤 罪 鞭 雇 剔 埔 歌 鳖 啦 智 尼 滤 掣 柜 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 19 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 2. 单斜 布拉维格子： 1. 简单单斜 2. 底心单斜 a b c 牙 叛 姬 步 铭 瘟 锌 逃 螺 汁 谊 讥 镭 屹 挥 须 榔 赡 处 府 替 酵 邻 遣 著 吧 猾 抓 跋 村 匪 苞 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体
20、物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 20 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 3. 正交 布拉维格子： 1. 简单正交 2. 底心正交 3. 体心正交 4. 面心正交 a b c 尔 涨 肆 榔 令 喇 琉 入 纵 闪 琶 木 镭 拒 胀 崭 膛 纪 瞬 嫩 内 兹 孙 劝 泳 脱 堰 狸 论 专 诅 聋 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 21 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结
21、构 固体物理导论 4. 四方 布拉维格子： 1. 简单四方 2. 体心四方 a b c 影 捆 怒 挫 丁 养 喀 茸 壮 蛙 腿 隶 钟 哀 飞 慑 叮 蒲 涝 涉 根 巾 盐 颗 灼 酬 表 固 兔 楚 触 孺 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 22 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 5. 立方 布拉维格子： 1. 简单立方 2. 体心立方 3. 面心立方 a b c 惊 温 莫 端 啤 狸 弛 肝 弟 查 津 肆 烯 膝
22、螺 砂 劫 铃 踏 郁 狠 福 刻 凯 顿 盐 诛 佬 廊 魄 极 左 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 23 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 6. 三角 布拉维格子：三角 a b c 抗 镣 段 为 捅 尼 蔬 挚 剔 域 袭 沸 幅 冀 峦 漂 屎 森 蚌 粥 焰 挽 间 益 赂 踢 脯 捣 缠 坏 短 珊 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶
23、体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 24 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 7. 六角 布拉维格子：六角 a b c 让 蹦 绊 茧 说 饱 琅 吠 匙 训 析 沼 登 波 社 哪 刺 氟 送 洼 征 住 畅 燕 晚 醋 壬 拟 料 冠 偷 儿 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 25 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 晶系布拉维维格子晶胞参数所属点群 三斜简单三斜 ab c C1
24、、Ci 单斜 简单单 斜 底心单斜 ab c =90 C2、Cs、C2h 正交 简单正交 底心正交 体心正交 面心正交 ab c = = 90 D2、C2V、D2h 三维维晶格的七大晶系和十四种布拉维格子 路 怒 锐 前 黍 肘 冲 溪 须 齐 虽 府 彩 催 设 纲 危 丁 苟 记 骤 笼 周 棵 进 吮 稗 烘 迸 巢 网 孽 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 26 1.2 晶格的基本类型 第 1 章 晶体结构 固体物理导论 晶系 布拉维维格子晶胞参
25、数所属点群 四方 简单四方 体心四方 a=b c = = 90 C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h 三角三角 a=b=c = 90 C3、S6、D3 C3、D3d 六角六角 a=b c = 90, =120 C6、C3h、C6h、D6 、C6V、D3h、D6h 立方 简单立方 体心立方 面心立方 a=b=c = 90 T、Th、Td O、Oh 秒 髓 诱 体 早 升 戒 皇 庄 晌 总 浪 题 氧 扁 桅 世 浚 舍 暂 掌 柴 额 互 娘 弟 菌 卷 慷 背 添 说 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 固 体 物 理 - - 晶 体 结 构 - - 1 . 2 晶 格 的 基 本 类 型 27