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1、曲线的凹凸性与拐点,曲线的凹凸性与拐点,一、曲线凹凸的定义,观察：,都是上升的曲线，但是上升的方式不一样；,红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少；,呈现出来的不同的弯曲方式。,曲线的凹凸性与拐点,一、曲线凹凸的定义,观察：,凹,凸,弦在曲线上方,弦在曲线下方,曲线的凹凸性与拐点,一、曲线凹凸的定义,凹,凸,曲线的凹凸性与拐点,一、曲线凹凸的定义,定义1：若函数 在区间 上连续，,对 上任意两点 ，,（1）如果恒有,那么称 在 上的图形是凸的。,（2）如果恒有,那么称 在 上的图形是凹的。,_,曲线的凹凸性与拐点,二、曲线凹凸的判定,观察：,凹：切线的的斜率递增,递增，即,凸：切线的的
2、斜率递减,递减，即,曲线的凹凸性与拐点,二、曲线凹凸的判定,定理：若函数 在 上连续，在 内具有一、二阶导数，则,（1）若果在 内有 ，,那么 在 内图像是凸的.,（2）若果在 内有 ，,那么 在 内图像是凹的.,曲线的凹凸性与拐点,凸,凹,凸,拐点,三、拐点,拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。,曲线的凹凸性与拐点,凸,凹,凸,拐点,三、拐点,拐点： 的极值点.,拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的点.,曲线的凹凸性与拐点,四、计算凹凸区间与拐点的步骤,1）求函数的定义域；,2）求 ；,3）求出 的点，和 不存在的点；,4）判断二阶导数在上述点左右两侧的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点。,曲线的凹凸性与拐点,五、应用举例,例判断函数 的凹凸区间与拐点.,曲线的凹凸性与拐点,六、小结,2.凹凸的判定：二阶导数的符号；,3.拐点实际上是 的极值点,曲线的凹凸性与拐点,七、作业,曲线的凹凸性与拐点,