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1、题型一规律探索问题 类型一类型二类型三 图形变化规律 例1(2018湖北随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数 分别称作“三角形数”(如1,3,6,10)和“正方形数”(如1,4,9,16),在 小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则 m+n的值为() A.33 B.301 C.386D.571 类型一类型二类型三 当n=14时,n2=196200,所以,最大的正方 形数n=196, 则m+n=386,故选C. 答案:C 类型一类型二类型三 与公式结合的数字规律 例2(2017贵州黔东南)我国古代数学的许多创新和发展都位居世 界前列,如南宋数学家杨辉(约1
2、3世纪)所著的详解九章算术一 书中,用如图的三角形解释二项和(a+b)n的展开式的各项系数,此三 角形称为“杨辉三角”. 根据“杨辉三角”请计算(a+b)20的展开式中第三项的系数为( ) A.2 017B.2 016C.191D.190 类型一类型二类型三 解析:找规律发现(a+b)3的第三项系数为3=1+2; (a+b)4的第三项系数为6=1+2+3; (a+b)5的第三项系数为10=1+2+3+4; 不难发现(a+b)n的第三项系数为1+2+3+(n-2)+(n- 1),(a+b)20第三项系数为1+2+3+19=190.故选D. 答案:D 类型一类型二类型三 与图形结合的数字规律 例3
3、(2018贵州黔西南)“分块计数法”:对有规律的图形进行计数 时,有些题可以采用“分块计数”的方法.如:图1有6个点,图2有12个 点,图3有18个点,按此规律,求图10,图n有多少个点? 我们将每个图形分成完全相同的6块,每块黑点的个数相同(如图 4,5,6),这样图1中黑点个数是61=6个;图2中黑点个数是62=12个: 图3中黑点个数是63=18个;所以容易求出图10,图n中黑点的个数 分别是、. 请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块,再完成以 下问题: 类型一类型二类型三 (1)第5个点阵中有个圆圈;第n个点阵中有 个圆圈. (2)小圆圈的个数会等于271吗?如果会,请求出是第几个点阵. 类型一类型二类型三 解:图10中黑点个数是610=60个;图n中黑点个数是6n个; (1)如图所示:第1个点阵中有:1个, 第2个点阵中有:23+1=7个, 第3个点阵中有:36+1=17个, 第4个点阵中有:49+1=37个, 第5个点阵中有:512+1=61个, 第n个点阵中有:n3(n-1)+1=(3n2-3n+1)个; (2)3n2-3n+1=271,n2-n-90=0,(n-10)(n+9)=0, n1=10,n2=-9(舍), 小圆圈的个数会等于271,它是第10个点阵.