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1、精品题库试题 理数1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=()A.B.C.D.答案 1.A解析 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,cosAF2F1=.故选A.2. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.3答案 2.B解析 2.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题
2、意不妨设mn0,于是mn=m=3n.a=n,b=nc=n,e=,选B.3. (2014广东,4,5分)若实数k满足0k9,则曲线-=1与曲线-=1的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等答案 3.A解析 3.0k0,25-k0.-=1与-=1均表示双曲线,又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,它们的焦距相等,故选A.4. (2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.B.C.3D.2答案 4.A解析 4.解法一:设椭圆方程为+=1(a1b10),离心率为
3、e1,双曲线的方程为-=1(a20,b20),离心率为e2,它们的焦距为2c,不妨设P为两曲线在第一象限的交点,F1,F2分别为左,右焦点,则易知解得在F1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos 60=4c2,整理得+3=4c2,所以+=4,即+=4.设a=,b=,+=ab|a|b|=,故+的最大值是,故选A.解法二:不妨设P在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n.在PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.设椭圆的长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,则+=.=,易知-+1的
4、最小值为.故=.故选A.5.(2014山东,10,5分)已知ab0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.xy=0B.xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案 5.A解析 5.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1e2=,所以=,即=,=.故双曲线的渐近线方程为y=x=x,即xy=0.6.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 6.A解析 6.
5、由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.7.(2014课表全国，4，5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.3C.mD.3m答案 7.A解析 7.由题意知,双曲线的标准方程为-=1,其中a2=3m,b2=3,故c=,不妨设F为双曲线的右焦点,故F(,0).其中一条渐近线的方程为y=x,即x-y=0,由点到直线的距离公式可得d=,故选A.8.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，8) 已知双曲线, 则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离
6、之比等于( )A. B. C. 2 D. 4答案 8. C解析 8. 双曲线的方程为，由此可得双曲线的离心率. 双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比即为该双曲线的离心率，故所求值为2.9. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，12) 已知双曲线，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） ABCD 答案 9. A解析 9. 令. 由双曲线的性质可得，也即以为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为a+c，由题意可知，整理得，两边同除，解得或，又因为双曲线的离心率大于1，可得.
7、10. (2014山西太原高三模拟考试（一），9) 设P在双曲线上，F1，F2 是该双曲线的两个焦点，F1PF2=90，且DF1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( ) A. 2B. 3C. 4D. 5答案 10. D来源:学*科*网Z*X*X*K解析 10. 不妨设点P在双曲线的右支，设、，则根据双曲线的定义可得，根据题意可得、，由得，代入到中得，两边同除得，又因为e1，所以可得e=5.11. (2014福州高中毕业班质量检测, 8) 已知、是双曲线() 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心为 ( ) A. B. C. 来源:学|科|网Z|X|
8、X|KD. 2答案 11. B解析 11. 依题意，过焦点且垂直于渐近线的直线方程为，联立方程组，解得，所以对称中心的点的坐标为，由中点坐标公式得对称点的坐标为代入双曲线方程可得，又因为，化简得，故.12.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（ ） A. B. C. D. 答案 12. D解析 12. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.13. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），12) 已知双曲线的左右焦点分别为，点为坐标原点，点在双曲线右支上，内切圆的圆心为,
9、 圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，则与的长度依次为( ) A. B. C. D. 答案 13. A解析 13.设的内切圆与分别相切于点、,那么：, , 。由双曲线的定义：,所以. 设点，则，所以，即.延长交于点C，在中，既是角平分线又是垂线，所以.所以在中，=. 选A .14. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，9) 已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 答案 14. C解析 14. 依题意，一条渐近线的方程为，则到渐近线的距离为，设关于渐近线的对称点为，交渐近线于，所以，所以，即.15. (
10、2014河北唐山高三第一次模拟考试，10) 双曲线左支上一点到直线=的距离为 , 则（ ）A. B. 2C. D. 4答案 15. A解析 15. 由已知可得 ，所以（舍）或，从而，故，选A.16. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 12) 双曲线的左、右焦点分别为，, 过左焦点作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点. 若，则双曲线的离心率是（ ）答案 16.C解析 16.由已知可知，且是的中点，所以，从而，在中，故.17. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，4）双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. 2 B. 4C. 1 D. 3 答案 17.C解析 17. 双曲线的焦点为，渐近
11、线为，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为.18. (2014北京东城高三第二学期教学检测，7) 已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点, 若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）A. B. C. D. 答案 18.D解析 18. 由已知可得抛物线的焦点，双曲线的右焦点为，两个点连线的直线方程为。设该直线与抛物线于，则在处的切线的斜率为，由题意知，所以，所以，代入直线方程可解得19. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，11) 设、是双曲线上不同的三个点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 答
12、案 19. A解析 19. 根据双曲线的对称性可知，、关于原点对称，设，则，所以，所以该双曲线的离心率为.20. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，9) 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）A. B. C. D. 答案 20.D解析 20. 设，因为点在椭圆上，所以，即，又四边形为矩形，所以，即，解方程组得，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，所以双曲线的离心率为.21. (2014广西桂林中学高三2月月考，11) 已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）(A) (B) (C
13、) (D) 答案 21. C解析 21. 依题意，双曲线的焦点为，所以，所以三角形的高为，则中点代入曲线方程得，又因为，化简整理的，解得，而，所以.22.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，6）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为（ ） A B C D5答案 22. B解析 22. 双曲线的一条渐近线方程为y=，即，由题意可得圆的圆心为（3,0）到直线的距离等于2，即，解得a=，所以该双曲线的离心率为.23. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，6) 过双曲线的左焦点作圆的两条切线，切点分别为、，双曲线左顶点为，若，则该双曲线的离心率为 （ ）A.
14、B. C. D. 答案 23. D解析 23. 即为双曲线的渐近线，为等边三角形，直线的倾斜角为，所以， . 选D.24.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 8) 已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，且右焦点F为抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为( )(A) (B) (C) (D) 答案 24. A解析 24. 抛物线的焦点为（5,0）. 设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点，则根据导数的几何意义可知，解得，所以切点为（2,1），所以，又因为，所以可得，所以双曲线方程为.25.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，11) 已知直线与双曲线交于，两点
15、(，在同一支上), 为双曲线的两个焦点, 则在（ ）A以，为焦点的椭圆上或线段的垂直平分线上 B以，为焦点的双曲线上或线段的垂直平分线上C以为直径的圆上或线段的垂直平分线上D以上说法均不正确答案 25. 解析 25. 当直线垂直于实轴时，则易知在的垂直平分线上；当直线不垂直于实轴时，不妨设双曲线焦点在轴，分别为双曲线的左、右焦点，且、都在右支上，由双曲线定义：，则，由双曲线定义可知，在以、为焦点的双曲线上，故选26.(2014湖北武汉高三2月调研测试，10) 如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形
16、ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为 答案 26. D解析 26. 分别过点作的垂线，垂足分别为，连结, 设,则, 等腰梯形的周长,令则，所以， ，所以，当即 ， ,此时， ,因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长. 故选D.27.(2014湖北八市高三下学期3月联考，9) 己知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为( )A+1 B2 C D1来源:学科网ZXXK答案 27. A解析 27. 由题意得抛物线上的点在双曲线上，而，所以点在双曲线上，因此又因为，所以.28. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 6) 已知是双曲线的两
17、个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一个公共点是，若则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 答案 28. B解析 28. 由题意，设，.29. (2014天津七校高三联考, 6) 以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）答案 29. D解析 29. 由双曲线方程知，实轴长为6，离心率，右焦点坐标，即圆心的坐标，渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，即圆的半径为4，故所求的圆的方程为.30. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 11) 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 答案 30.
18、A解析 30.椭圆：与双曲线有相同的焦点，解得，椭圆的离心率，又，故椭圆的离心率的取值范围是.31. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 11) 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则()A. B. C. D. 与关系不确定答案 31.C解析 31.设内切圆与的切点分别为, 设则，又, 所以，从而，即。延长交于点，因为是角平分线和的垂线，所以是等腰三角形, 故且是中点。所以。32.(2014兰州高三第一次诊断考试, 8) 已知双曲线 的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线
19、渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ）A B C D答案 32. C解析 32. 依题意，解得，双曲线方程为.33. (2014湖北黄冈高三期末考试) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于、两点，为坐标原点，的面积为，则双曲线的离心率（ ）A. B. C. D. 答案 33. C解析 33.双曲线的性质. 双曲线的渐近线方程为，准线方程为，又，即，解得.34.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为_;渐近线方程为_.答案 34.-=1;y=2x解析 34.根据题意,可设双曲线C:-x2=,将(2,2)代入双曲线C的方程得
20、=-3,C的方程为-=1.渐近线方程为y=2x.35. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，15) 双曲线的左右焦点为，P是双曲线左支上一点，满足相切，则双曲线的离心率为_. 答案 35.解析 35. 设与圆相切于点，因为，所以是等腰三角形，从而. 在中，故，. 由双曲线定义得，所以，平方后化简可算得.36.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，12）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .答案 36. 解析 36. 双曲线的一条渐近线方程为，焦点到该渐近线的距离为，又因为OF的线段长为c，所以可得原点与垂
21、足之间的距离为a，又因为垂足恰在线段为坐标原点）的垂直平分线上可得a=b，所以双曲线的离心率为.37.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 5) 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 答案 37. 解析 37. 双曲线的焦点在轴上，一条渐近线为，又，.38. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 15) 已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数_. 答案 38.解析 38.由已知可得，从而. 因为，所以，从而渐近线的斜率为，故，得.39. (2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 9) 设双曲线的半焦距为，直线过两点，若原点
22、到的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A . B. C. D. 答案 39. A解析 39. 由题意，直线的方程为，原点到直线的距离为，解得或.40. (2014福建,19,13分)已知双曲线E:-=1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.()求双曲线E的离心率;()如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.答案 40.查看解析解析 40.解法一:()因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2
23、x,所以=2,所以=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e=.()由()知,双曲线E的方程为-=1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又因为OAB的面积为8,所以|OC|AB|=8,因此a4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为-=1.来源:学科网ZXXK若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为-=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:-=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k2或k-2,则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=.由SOAB=|OC|y1-y2|得
24、,=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因为4-k20,所以=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又因为m2=4(k2-4),所以=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.解法二:()同解法一.()由()知,双曲线E的方程为-=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-m.由得y1=,同理得y2=.设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).由SOAB=|OC|y1-y2|=8,得|t|=8,所以t2=4
25、|1-4m2|=4(1-4m2).由得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.因为4m2-12或k-2.由得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因为4-k20,所以x1x2=,又因为OAB的面积为8,所以|OA|OB|sinAOB=8,又易知sinAOB=,所以=8,化简得x1x2=4.所以=4,即m2=4(k2-4).由()得双曲线E的方程为-=1,由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因为4-k20)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l
26、:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.答案 41.查看解析来源:学科网ZXXK解析 41.(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,kAB=.又因为ABOB,所以=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y00),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,则=.因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1,代入上式得=,所
27、求定值为=.42. (2014湖南,21,13分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:-=1的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=-1.()求C1,C2的方程;()过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.答案 42.查看解析解析 42.()因为e1e2=,所以=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,所以a2=2.故C1,C2的方程分别为
28、+y2=1,-y2=1.()因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.由得(m2+2)y2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=,y1y2=.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,于是AB的中点M的坐标为.故直线PQ的斜率为-,则PQ的方程为y=-x,即mx+2y=0.由得(2-m2)x2=4,所以2-m20,且x2=,y2=,从而|PQ|=2=2.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=,因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所
29、以(mx1+2y1)(mx2+2y2)0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=.又因为|y1-y2|=,所以2d=.故四边形APBQ的面积S=|PQ|2d=2 .而02-m20,y00),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=.由+=42x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).由题意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-=1.()由()知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1
30、,其中b10.由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由题意知=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.将,代入式整理得2m2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.44. (2014广东广州高三调研测试，21) 如图，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为
31、. 过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为，.() 若与的夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；() 求的最大值.答案 44.查看解析解析 44.解：() 因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.因为两渐近线的夹角为且，所以.所以.所以.因为，所以，所以，.所以椭圆的方程为. （4分）() 因为，所以直线与的方程为，其中.因为直线的方程为，联立直线与的方程解得点.设，则. （7分）因为点，设点，则有.解得，.因为点在椭圆上，所以.即.等式两边同除以得（10分）所以，.所以当，即时，取得最大值.故的最大值为. （14分）45. （2014重庆铜梁中学高
32、三1月月考试题，21）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点D(0,) 为圆心，1为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与D关于直线y=x对称（）求双曲线C的方程；（）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（2，0）及AB的中点，求直线在y轴上的截距b的取值范围；（）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程答案 45.查看解析解析 45.（）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kxy=0，该直线与圆x2+(y) 2=1相切，有= 1 k =1.双曲线C的两
33、条渐近线方程为, 故设双曲线C的方程为易求得双曲线C的一个焦点为 (, 0) ，双曲线C的方程为（4分）（）由得令，直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根因此解得又的中点为，所以直线的方程为，令，得，因为，所以，所以. （9分）（）若点在双曲线的右支上，则延长到，使，若点在双曲线的左支上，则延长到，使，根据双曲线的定义，所以点在以为圆心，2为半径的圆上，即点的轨迹是由于点是线段的中点，设，则，即，代入并整理，即得点N的轨迹方程为(x ) . （12分）(或者用几何意义得到| NO |=| F2T |=1, 得点N的轨迹方程为).46.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）
34、试题，20）已知双曲线C：的焦距为，其一条渐近线的倾斜角为，且以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E( I ) 求椭圆E的方程；() 设点A是椭圆E的左顶点，P、Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为，问直线PQ是否恒过定点? 若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由答案 46.查看解析解析 46.47. (2014广州高三调研测试, 21) 如图7，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为. 过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为，. （1）若与的夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；（2）求的最大值.答案 47.查看解析解析 47. （1）因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.因为两渐近线的夹角为且，所以.所以.所以.因为，所以，所以，.所以椭圆的方程为. （4分）（2）因为，所以直线与的方程为，其中.因为直线的方程为，联立直线与的方程解得点.设，则.因为点，设点，则有.解得，. （8分）因为点在椭圆上，所以.即. 等式两边同除以得，当，即时，取最大值.故的最大值为. （14分）