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1、第十一章 梁的位移计算,1,行业材料,梁的位移计算,工程实例,2,2,行业材料,梁的位移计算,工程实例,3,3,行业材料,梁的位移计算,工程实例,本章对平面弯曲下梁变形的基本概念、基本方法以及 简单静不定梁进行简要介绍。,4,4,行业材料,梁的位移计算,挠度、转角及其相互关系,挠曲线：梁变形后的轴线。,在小变形情况下，任意横 截面的形心位移是指方向的 线位移，截面形心垂直于轴线 方向的线位移称为挠度,y A,q,B x,x,v,l,向上为正，向下为负,v = f ( x),挠曲线方程,弯曲变形时，横截面绕中性轴转动的角度称为转角, = ( x),转角方程,逆转为正，顺转为负,5,5,行业材料,
2、梁的位移计算,q,B,A,x,v,l,dv tg = dx,横截面的转角与挠曲线在该截面处的斜率近似相等， 即挠曲线方程的一阶导数为转角方程。,6,6,行业材料,梁的位移计算,曲率公式,挠曲线微分方程,q,B,1M ( x) = ( x) EI z,A,x,v,l,挠曲线为一平面曲线，其上任一点的曲率,1,=,d v 2 dx, dv 1 + dx ,2,2, ,3,2,d v 2 dx,dv 2 1+ ( ) dx ,3 2,2,M ( x) = EI z,微小量,挠曲线微分方程,7,7,行业材料,梁的位移计算,在小变形情况下,dvM = 2 dxEI z,2,正负号与弯矩符号规定及所取坐标
3、系有关,y,M 0,d v 0 2 dx,2,y,M 0,d v 0 2 dx,2,O,2,x,O,x,d vM = 2 dxEI z,挠曲线近似微分方程,8,8,行业材料,梁的位移计算,积分法求梁的位移,d vM ( x) = 2 dxEI z,2,dvM ( x) ( x) = = dx + C dxEI z, M ( x) v( x) = dx dx + Cx + D EI z,C,D 为积分常数，由梁的位移约束条件确定。,挠曲线近似微分方程通解的积分常数确定以后，就得 到了挠曲线方程和转角方程，这种求梁变形的方法称为积 分法。,9,9,行业材料,梁的位移计算,确定积分常数的条件有两类：
4、边界条件和变形连续条件。,边界条件：位于梁支座处的截面，其挠度或转角常为零 或为已知,y,l,x,y,l,x,固定铰链支座,固定端约束,x = 0, v = 0,x = l, v = 0,v = 0 x = 0 =0 ,10,10,行业材料,梁的位移计算,变形连续条件：位于梁的中间截面处，其左右极限截面处 的挠度和转角相等。在中间铰链位置左右极限截面的挠度 相等。,y,2l 3 l,x,边界条件,变形连续条件,2 x = 0, v = 0; x = l , v = 0 3,2 x = l , v1 = v2 ,1 = 2 ; 3,11,11,行业材料,梁的位移计算,思考：,用积分法计算图示梁的
5、挠度和转角，其边界条件和 连续条件是什么？,y,q,x,l,a,x = a+l v = 0 = 0,答：边界条件 x = 0 v = 0,连续性条件 x = l,v1 = v2,12,12,行业材料,例,如图所示悬臂梁，在自由端受集中力作用，设为 常量，试求梁的最大挠度和最大转角。,解 、建立挠曲线近似微分方程,取坐标系如图所示，弯矩方程,P,y,l,x,M ( x) = P (l x) = P ( x l ),d v P( x l ) = 2 dxEI z,2,x,、积分求通解,PP x = ( x l )dx =( lx) + C EI zEI z 2,2,13,13,行业材料,例,2,P
6、P x = ( x l )dx =( lx) + C EI zEI z 2 32 P x lxP v = ( x l )dxdx =( ) + Cx + D EI zEI z 62,、确定积分常数,P,x,x=0 =v=0 C =D=0,、转角方程和挠曲线方程,P x =( lx) EI z 2,2,3,y,l,x,2,P x lx v=( ) EI z 62,、确定最大挠度和最大转角 max,Pl = 2 EI z,2,Pl v= 3EI z,3,14,14,行业材料,例,求简支梁挠曲线方程，已知，EI为常数。,解,、建立挠曲线微分方程,y,q,d v M ( x) 1 11 2 =( ql
7、x qx ) 2 dxEI zEI z 22,、积分求通解,2,11 2 M ( x) = qlx qx 22,A,ql 2,B x,x,l,ql 2,ql 2 q 3 EI z = x x + C 46 ql 3 q 4 EI z v = x x + Cx + D 1224,15,15,行业材料,例,ql 2 q 3 EI z = x x + C 46,y,q,ql 3 q 4 EI z v = x x + Cx + D 1224,、确定积分常数,A,B x,ql 2,x=0,v=0,3,x=l,D=0,v=0,ql 2,x,l,ql C=, 24,、转角方程和挠曲线方程,q l 2 1 3
8、 l =( x x ) EI z 4624,3,qx l 2 1 3 l v=x )( x EI z 122424,16,3,16,行业材料,例,求简支梁最大挠度，已知，EI为常数。,解,、建立挠曲线微分方程,y,a,F,b,A,x1,x2,l,C,B x,a F l,b M 1 ( x1 ) = F x1 l,b F (0 x1 a ) l,b M 2 ( x2 ) = Fx2 F ( x2 a ) l,(a x2 l ),d v b EI 2 = Fx1 dxl,2,2,(0 x1 a ),d v b EI 2 = Fx2 F ( x2 a ) dxl,(a x2 l ),17,17,行业
9、材料,例,、分两段积分,b 2 EI 1 =Fx1 + C1 2l,b 3 EIv1 = Fx1 + C1 x1 + D1 6l,y,bF 2 F2 EI 2 =x2 ( x2 a ) + C2 2l2,a,F,b,A,b F l,B x,a F l,x1,x2,l,C,bF 3 F3 EIv2 =x2 ( x2 a ) + C 2 x2 + D2 6l6,、确定积分常数,x1 = 0, v1 = 0,x2 = l , v2 = 0,x1 = x2 = a ,v1 = v2 1 = 2,Fb 22 C1 = C2 = (l b ) 6l,D1 = D2 = 0,18,18,行业材料,例,、转角
10、方程和挠曲线方程,bFx1 2 2 2 Fb 2 22 EIv1 =( x1 l + b ) EI 1 =( x1 l + b ) 6l 6l bF3l 2222 3 x2 l + b ( x2 a ) EI 2 = 6lb bF 3 2l 23 EIv2 = x2 l + b ( x2 a ) 6lb,、求最大挠度,设：ab,则最大挠度在AC段。最大挠度处截面的转角为零。,3 2,1 = 0,x0 =,l b 3,2,2,vmax,Fbl b =1 2 9 3EI l ,2,2,19,19,行业材料,梁的位移计算,叠加法求梁的位移,在小变形和材料服从胡克定律的条件下导出挠曲线 近似微分方程,
11、d vM ( x) = 2 dxEI z,2,此方程为线性方程,外力和弯矩之间也为线性关系,挠度和转角和外力 之间为线性关系,当梁上作用几种载荷时，各载荷同时作用引起变形， 等于各载荷单独作用引起的变形的代数和叠加原理。,叠加法求梁的变形,20,20,行业材料,梁的位移计算,梁在简单载荷作用下的变形,21,21,行业材料,梁的位移计算,22,22,行业材料,梁的位移计算,23,23,行业材料,梁的位移计算,24,24,行业材料,梁的位移计算,25,25,行业材料,梁的位移计算,思考：,应用叠加法求梁的位移，必须满足的条件是什么？,答：小变形，材料符合胡克定律。,26,26,行业材料,梁的位移计
12、算,4,3,已知图1B点的挠度和转角分别为 ql / 8 EI ， ql / 6 EI ， 图2C截面的转角为多少？,q,A,l,B,ql / 8 EI,3,q,A,B,C,l,l,27,27,行业材料,例,如图所示简支梁，已知，试利用叠加法求vc,解,将荷载分解为两组,q,F,A,l/2,l,C,B,q,A,l,B,4,l/2,F,A,l,B,3,5ql vc1 = 384EI,5qlFl vc = vc1 + vc 2 = 384EI 48EI,4,3,Fl vc 2 = 48EI,28,28,行业材料,例,如图所示悬臂梁，已知，试利用叠加法求vB,解 B为自由端，CB段无内力， 梁变形后
13、CB段必保持为直线,q(l / 2)ql =vC = 8EI128EI 33 q (l / 2)ql C = = 6 EI48 EI,4,4,q,A,l/2,C C,C,l,B,v B1,vB2,v B1,ql = vC = 128 EI,4,4,vB 2,llql = tan C = C = 2296 EI,4,4,29,4,qlql7ql vB = vB1 + vB 2 = = 128EI 96EI384EI,29,行业材料,例,如图所示外伸梁，已知，试利用叠加法求vD,解,D为自由端，BD段无内力， 梁变形后BD段仍保持为直线,将AB段视为简支梁，查表：,B,Fl = 16 EI,2,B
14、,A,C,F,l /2,B,B,D,l /2,a,v D = a B,Fl a = 16 EI,30,2,30,行业材料,梁的位移计算,梁的刚度条件 提高粱刚度的主要措施,一、梁的刚度条件,vmax v , max ,v,许用挠度,许用转角, ,一般轴,滑动轴承,吊车梁,v = (0.0003 0.0005)l = (0.003 0.005)rad v = (0.0013 0.0025)l,31,31,行业材料,例,机床主轴的支撑和受力可简化为如图所示的外伸梁， 其中 P 为由于切削而施加于卡盘上的力，P2 为齿轮间1 的相互作用力。主轴为空心圆截面，外径 D = 80mm ， la 内径 d
15、 = 40mm ， = 400mm， = 100mm ， P = 2kN ， 1 P2 = 1kN ，材料的弹性模量为 E = 200GPa 。规定 主轴的许用转角和许用挠度为：卡盘处的挠度不超过 43 两轴承间距的 1 / 10 ，轴承处的转角不超过 1 / 10 rad 。 试校核主轴的刚度。,P2,A,C,P 1,B,D,l /2,l /2,a,32,32,行业材料,例 ,解,Iz =,D,4,64,(1 ) = 1.885 10 mm,4,6,4,B,A,C,P2,l /2,B,B,D,P2l 4 B ( P2 ) = = 0.265 10 rad 16 EI Z,2,l /2,a,B
16、,vD ( P2 ) = B ( P2 )a = 2.65 10 mm,3,P al 4 1 B ( P1 ) = 0.707 10 rad 3EI Z,Pa 3 1 vD ( P ) =(l + a ) = 8.84 10 mm 1 3EI Z,2,A,C,P 1,D,l /2,l /2,a,vD = vD ( P ) + vD ( P2 ) = 6.19 10 mm1,3, B = B ( P1 ) + B ( P2 ) = 0.442 10 rad ,4,vD v 5= 1.548 10 l l ,满足刚度要求,33,33,行业材料,梁的位移计算,二、提高粱刚度的主要措施,增大截面惯性矩
17、,因为各类钢材的弹性模量比较接近，采用优质钢材对 提高弯曲刚度意义不大，所以一般选择合理的截面形状以 增加惯性矩。如：采用薄壁工字形、箱形截面，或采用空 心圆轴等。,尽量减少梁的跨度或长度,因为梁的挠度和转角分别与梁跨度的立方和平方成 正比，所以减少梁的跨度是提高粱的刚度的主要措施。,34,34,行业材料,梁的位移计算,增加支撑,35,35,行业材料,梁的位移计算,改善受力情况,改善受力情况可以减小弯矩，从而减小梁的挠度和转角。,P,y,l,x,ql v= 3EI z,ql v= 8 EI z,36,4,y,q,x,l,4,36,行业材料,梁的位移计算,简单静不定梁,梁支座约束力的数目超出了独
18、立的平衡方程数目， 因而仅靠平衡方程不能求解静不定梁。,q,A,B,l,37,37,行业材料,梁的位移计算,变形比较法 比较基本静定系和原超静定系统在多余约束处 的变形，写出变形协调条件进行求解。,将处约束去掉,基本静定系 静定基,相当系统,A,l,B,加上及约束力,变形协调条件,3,4,q,A,vB = 0,MA,RB lql vB =0 3EI 8 EI,RB,B,l,q,A,B,38,3 RB = ql 8,38,行业材料,梁的位移计算,本章小结,挠曲线、挠度、转角、挠曲线方程、转角方程,v = f ( x), = ( x),dv tg = dx,挠曲线微分方程,d v 2 dx,dv
19、2 1+ ( ) dx ,3 2,2,M ( x) = EI z,d vM = 2 dxEI z,39,2,39,行业材料,梁的位移计算,积分法求梁的位移,边界条件和连续条件,dvM ( x) ( x) = = dx + C dxEI z, M ( x) v( x) = dx dx + Cx + D EI z,叠加法求梁的位移,梁的刚度条件, max ,vmax v ,40,40,行业材料,梁的位移计算,提高梁的刚度的主要措施,增大截面惯性矩； 改善受力情况； 增加支撑； 尽量减少梁的跨度或长度。,简单静不定梁变形比较法,41,41,行业材料,梁的位移计算,本章作业,（1）已知M，F，EI=常数，试利用积分法求挠曲线方程。,（2）已知 q=8kN/m，l=5m ，E=200GPa ， =160MPa，, f = 250 。试选择工字钢型号。 l ,42,42,行业材料,