《广东省惠州市2016届高三上学期第二次调研考试数学(理)试题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省惠州市2016届高三上学期第二次调研考试数学(理)试题.doc（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、惠州市2016届高三第二次调研考试理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则等于( )（A）(1,2) （B） (1,2 （C） 【答案】B【解析】试题分析：集合= ，集合= ，=(1,2，故选B考点：集合的交集运算.2.在复平面内，复数所对应的点位于( )（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】A【解析】试题分析：，故选A考点：复数的运算.3.已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率等于( )（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：由渐近线知，则双
2、曲线的离心率，故选C考点：双曲线的离心率.4.已知两个非零单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是( )（A）在方向上的投影为 （B）（C）（D）【答案】D【解析】试题分析：为单位向量，故选D考点：向量的运算.5.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积( )（A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】试题分析：把三棱锥补为长方体，则对角线为外接球直径， ，外接球的表面积为，故选A考点：三视图.6.惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如右图所
3、示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )（A）岁 （B）岁 （C）岁 （D）岁【答案】C【解析】试题分析：由面积和为1，知的频率为，为保证中位数的左右两边面积都是，必须把的面积划分为，此时划分边界为，故选C考点：频率分布直方图.7.函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需将的图像( )（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位【答案】D【解析】试题分析：由图象知， ，得，为了得到的图象，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D考点：三角函数图象.8.若函数（0且）在上既是奇函数又是增函数，
4、则的图像是( )【答案】C【解析】试题分析：是奇函数，所以，即，所以，即，又函数在定义域上单调性相同，由函数是增函数可知，函数，故选C考点：函数的奇偶性和单调性.9.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数有( )（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个【答案】B【解析】试题分析：据题意，万位上只能排4、5若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个共有 个，选B考点：排列组合.10.已知变量满足,则的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】试题分析：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，即的边界及其内
5、部，又因为，而表示可行域内一点和点连线的斜率，由图可知，根据原不等式组解得,所以 故选考点：线性规划.11.由等式,定义映射，则( )（A）0 （B）10 （C）15 （D）16【答案】A【解析】试题分析：由定义可知 ，令得，所以，即，故选A考点：映射的定义.12.如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：，令，则，令，则当时，在上单调递增又，在上有唯一零点，的值所在区间为故选考点：函数零点. 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线与直线所围
6、成的封闭图形的面积为 【答案】【解析】试题分析：考点：积分的应用.14.在中，设角的对边分别是，且，则 【答案】4【解析】试题分析：由正弦定理，代入得考点：正弦定理.15.如图所示程序框图，输出的结果是 【答案】4【解析】试题分析：本程序框图中循环体为“直到型”循环结构，第1次循环：，；第2次循环：，；第3次循环：，；结束循环，输出考点：程序框图.16.若数列满足(为常数，,)，则称数列为等方差数列，为公方差，已知正数等方差数列的首项，且，成等比数列，设集合，取的非空子集，若的元素都是整数，则为“完美子集”，那么集合中的完美子集的个数为 【答案】63【解析】试题分析：根据等方差数列的即时定义得
7、， ，令 ，则，由得可取1,2,36，即集合中有六个整数，于是中的完美子集的个数为个考点：新定义题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知是公差为2的等差数列，且是与的等比中项（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比中项、等比数列的前n项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由是公差为2的等差数列，且是与的等比中项，知，再利用等差数列的通项公式将和用和d展开，解方程得到的值，从而得到等差数列的通项
8、公式；第二问，利用第一问的结果，先计算的值，代入中，利用分组求和法，得到一个等差数列，一个等比数列，利用前n项和公式求和化简.试题解析：（），又，得=3，2分，的通项公式为5分（）6分=8分11分数列的前项和12分考点：等差数列的通项公式、等比中项、等比数列的前n项和公式. 18.（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：（）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，
9、若是次品则亏损10元在（）的前提下，记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的概率分布列和数学期望值【答案】（1）；（2）分布列详见解析，66.【解析】试题分析：本题主要考查等可能事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，分别求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解；第二问，先判断随机变量X的所有取值情况有90、45、30、-15，然后分别求解出每种情况下的概率，即可列出分布列，最后利用计算数学期望. 试题解析：（）芯片甲为合格品的概率约为，1分芯片乙为合格品的概率约为2分（）随机变
10、量的所有可能取值为，4分，8分所以随机变量的概率分布列为10分所以随机变量的数学期望值为12分考点：等可能事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，（）求证：；（）求二面角余弦值【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查用空间向量法求二面角的余弦值、直线与平面的判定、向量的运算等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，取AB中点O，连结EO，DO，利用等腰三角形的性质，可得，证明四边形OBCD为正方形，可得，利用线面垂直的判定，可得平面，从而
11、可得；第二问，先利用面面垂直的性质，得面，再利用线面垂直的性质，得出，利用两两垂直关系建立空间直角坐标系，先求出平面CDE和平面ADE的法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值.试题解析：（）取中点，连结，因为，所以1分因为四边形为直角梯形，所以四边形为正方形，所以2分又，3分面，面，4分所以平面，又面，所以 5分（）因面面，且 ，所以面，所以由两两垂直，建立如图的空间直角坐标系6分因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以，所以，7分设平面的一个法向量为 则，所以可取8分设平面的一个法向量为 则，所以可取9分所以，11分由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为12分 考点：用空间向量法求二面
12、角的余弦值、直线与平面的判定、向量的运算.20.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合（）求椭圆的方程；（）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）在坐标平面上存在一个定点满足条件.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先设出椭圆的标准方程，根据离心率求出a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进
13、而求得椭圆的标准方程；第二问，若直线与轴重合，则以为直径的圆是，若直线垂直于轴，则以为直径的圆是；联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进而可判断所求的点T如果存在，只能是只能是，当直线不垂直于轴时，可设直线方程，与圆方程联立消去y，根据韦达定理求得和的表达式，代入的表达式中，求得，进而推断，即以AB为直径的圆恒过点T.试题解析：（）设椭圆的方程为，离心率，1分又抛物线的焦点为，所以，2分椭圆的方程是.3分（）若直线与轴重合，则以为直径的圆是，若直线垂直于轴，则以为直径的圆是.4分由解得即两圆相切于点.5分因此所求的点如果存在，只能是.事实上，点就是所求的点. 证明如下：当直线垂直于
14、轴时，以为直径的圆过点.6分当直线不垂直于轴时，可设直线.7分由消去得.8分设，则 9分又因为，10分 11分,即以为直径的圆恒过点.故在坐标平面上存在一个定点满足条件. 12分考点：圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题.21.（本小题满分12分）已知函数（）求函数的最大值；（）若函数与有相同极值点求实数的值；若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先对求导，利用和判断函数
15、的单调性，从而可得函数的最大值；第二问，（1）先求导函数，利用函数与有相同的极值点，可得是函数的极值点，从而可求a的值；（2）先求出，再将对于，不等式恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围.试题解析：（），1分由得；由得.在上为增函数，在上为减函数. 2分函数的最大值为.3分（）.由（1）知，是函数的极值点，又函数与有相同极值点， 是函数的极值点，解得.4分经验证，当时，函数在时取到极小值，符合题意. 5分，易知，即. 7分由知.当时，；当时，.故在上为减函数，在上为增函数.，而. 9分当，即时，对于，不等式恒成立.，. 10分当，即时，对于，不等式恒成立.，. 11分综上，所求
16、实数的取值范围为.12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问题.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在中，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点（）求证：是圆的切线；（）求证：【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查圆的基本性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用三角形中的角的相等关系，证明和为全等三角形，得直角存在，进而证明是圆的切线；第二问，利用切线长定理和切割线定
17、理，建立关联等式，并化简即可证明. 试题解析：（）连结.点是中点，点是中点，.，.在和中，即.是圆上一点，是圆的切线. 5分（）延长交圆于点.，.点是的中点，.是圆的切线，.，.是圆的切线，是圆的割线，10分考点：圆的基本性质.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（）求直线的极坐标方程；（）求直线与曲线交点的极坐标【答案】（1）；（2） ，.【解析】试题分析：本题主要考查点的极坐标和直角坐标的互化、参数方程与普通方程的转化等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能
18、力、转化能力、计算能力.第一问，将直线的参数方程，消去参数t，即可化为普通方程，将代入，可得极坐标方程；第二问，将曲线C的极坐标方程， 转化为普通方程，联立方程，解得交点坐标，再转化为极坐标.试题解析：（）将直线消去参数得普通方程，2分将代入得.4分化简得4分（注意解析式不进行此化简步骤也不扣分） 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，（）当时，求不等式的解集；（）若恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，当，不等式等价于3个不等式组，求出每个不等式的解集，第 20 页 共 20 页