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1、点顶距已知时矩形周长最大值问题的解决美国数学月刊2004年1月问题11057为：设，为正实数，矩形内部有一点，满足，求矩形面积的最大值文1在给出上述问题的解答（文2、3指出文1解法有误）后，通过类比提出并探讨了另一个与此相关的问题：问题：设，为正实数，为矩形的边上或内部的一点，且，求证：矩形的周长文2作者从文1的证明过程中注意到了上述结论中的等号未必成立，并试图通过微分法解决矩形周长的最大值问题，但未能成功文2作者只得在文末感叹到：这是“又一个值得继续研究的问题”本文将解决矩形周长的最大值问题注意到对于矩形所在平面内的任一点，点顶距(点与顶点、距离之简称)之间总满足：（见文2引理）故在讨论矩形
2、周长的最大值问题时，为表述简明，引进点顶距，并不改变问题的实质且总可假定（否则，适当改变顶点的标注顺序）定理1 设，为非负常数，为矩形的边上或内部的一点，且，令，则矩形周长的最大值为其中为关于的方程的（唯一）实根证 如图1，过点分别作矩形边的平行线交于，交于设，则由勾股定理有注意到，由（），设 （），则于是，由（）有，由（）有从而(）当时，对求导得： 显然在时为减函数，且；在时为增函数，且故方程在有唯一实根从而可知，当时，当时，于是，结合初等函数的连续性知，在为增函数，在为减函数故当时，取得最大值证毕由定理1的证明过程，显然有定理2 在定理1的条件下，矩形周长的最小值为参考文献：1 杨志明美国数学月刊问题征解11057的简证及类比J数学通讯，2004（23）.2 郭要红，丁亚元，谢亚义一类矩形面积的最大值J中学数学教学，2005（3）.3 蒋明斌,周兰林,孙世保求一类矩形面积的最大值的初等方法J中学数学教学，2005（5）.（收稿日期：20081219,发表于数学通讯2009年第6期）