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1、杨辉三角导学案 2【课标要求】1 . 了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题.2 . 了解二项式系数的性质并能简单应用.3 .掌握“赋值法”并会灵活应用.【核心扫描】1 .杨辉三角的特点.(难点)2 .二项式系数性质的应用.(重点)3 . “赋值法”的应用.(易错点)自学导引1 .杨辉三角的特点(1)在同一行中每彳T两端都是 1,与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和， 即以+1=土土G 想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？提示 不是.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数.实际上项式系数表
2、中的第 n行与杨辉三角中的第 n+1行对应数值相等.2 .二项式系数的性质对称性在(a+b)n展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等，即 cm=cn-m_增减性与最大值n+1n+1增减性：当kvn2时，二项式系数是逐渐增大的；当kn2时，二项式系数是逐渐减小的.最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数Cnn最大，当n为奇数时，中间两项的二项式系数 Cn2n,屋尹 n相等，且同时取得最大值各二项式系数的和 C0+C1+C2+ Cn=2n, C0 + C2 + Cn+i= Cn + C3+C5+= 2n_1试一试：令f(k)=d, k 0,1,2,，n,则直线k = n将函数f(k
3、)的图象分成对称的两部分，即直线k=n是图象的对称轴，由此我们得到结论：当k=n时，Ck最大，这个结论正确吗?提示 不正确.当n是偶数时，Cn最大；当n是奇数时，Cn21n=n最大.名师点睛1 .对二项式系数性质的深层理解（1）对称性：源于组合数的性质“cm= CTm,基础是c0=cn=i,然后从左右向中间靠拢,便有 cn= cn1, c2=cn2,（2）最大值：当n是偶数时，（a+b）n的展开式共n+1项，n+1是奇数，这时展开式的 形式是前2项第,+1项后万项中间一项是第n+1项，它的二项式系数是 c2n,它是所有二项式系数中的最大值；当 n是奇数时，（a+b）n的展开式共有n+1项，n+
4、1是偶数，这时展开式的形式是n1E 生n+1 n+3 _ n-1 _ 刖一2一项 第一万一项 第一万一项 后2-项n+1n+3n 1n+1中间两项是第一2一，一2一项，它们的二项式系数是 c-2-n c-2-n,这两个系数相等，并 且是所有二项式系数中的最大值.（3）各二项式系数和：c0 + cn+cn+-+ 4=2“源于（2+3n=6+6-% + -一+ cnbn中令 a =1, b=1,即得到 G0+Gn+c2+-+ cn=2n.2 .赋值法的应用求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，如：求（a+ x） n= a0+ ax+ a2X2+ anXn展开式中各项系数和，可令x= 1
5、,即得各项系数和 a0+a1+a2+ an.若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x=- 1, x=1,两等式相加减即可求出结果.题型一 与杨辉三角有关的问题【例1】1 2-41 V3/I AI 中。/IO 5 L如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1.5.5.5.5.5.5.5, ，记其前n项和为S,求9的值.思路探索本题关键是观察数列的特征，数列的每一项在杨辉三角中的位置，把各项还 原为二项展开式的二项式系数，再利用组合数求解.解 由图知，数列中的首项是d,第2项是C2,第3项是C2,第4项是C3,，第17项是C10,第18项是C10,
6、第19项是C11.S(9= (C2 + c2) + (C3 + c3) + (C 4 + c4) + (C10+ C10) + C11 = (C2 + G+ C4 + C10)+ (C2 +，-2+10 X9 3 pC3+ 01) =2+02= 274.规律方法解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解.注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.【变式1】 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第 行中从左到右第14 与第15个数的比为2 : 3.第0行1第1行1
7、 1第2行1 2 1第3行1 3 3 1第4行1 4 6 4 1第 5行 1 5 10 10 5 1解析 设第n行从左至右第14与第15个数之比为2 ： 3,则Cn3 ： C 丁= 2 ： 3.3c13 2c14 即 iL 2-J一3。2，即 13! | n- 3 ! 14! | n-14 -得:32n-13-14n = 34.答案 34题型二二项展开式的系数和问题【例2】 已知(12X)7=20+2*+22*2+27*7,求下列各式的值.(1) a+ a2+ + a?;(2) a1+ 23+ 25+ a?;(3) a0+ a2+ a4+ a6；(4)| ao| + | ai| + | a2|
8、 + | a?|-思路探索本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，赋值法在求二项式系数中的应用以及分析问题、解决问题的能力.可用赋值法解决各项系数和或部分项系数和，一般令x=0或x= 1解决问题.解 令 x = 1,则 a0+ a + a2 + a3+ + a7= 1.令 x= - 1,则 a0 a + a2一ay= 3二(1)令x=0,得a0= 1,代入中得：a1 + a2+a3+ a7= - 2.(2)由一得 2a + 2a3 + 2a5+ 2a7 = 1 3 ,-1-37 a1 + a3 + a5 + a7 =2 = - 1 094.(3)由+得 2a0 + 2a2 + 2a4+ 2%=
9、 - 1 + 3 ,1 + 3a0+ a2+ %+ %=2 = 1 093.(4)法一:( 1 2x)的展开式中，a0,a2,%,a6大于零，而a1，a3,a5,a7小于零，I a| + | a| + | 陵| +十 | a7|=(a0+ a2+ a4+ a6)(a1 + a3 + a5 + a7)=1 093- (-1 094) = 2 187.法二 |a| +|a| + |a2|+ | a7|是(1 + 2x)7展开式中各项的系数和，令 x= 1, I a0| + | a| + | a7| = 37= 2 187.规律方法赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的
10、解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项.一般地，对于 多项式f (x) = a0+ax+a2x2+ anxn,各项系数和为f(1),奇次项系数和为2f (1)-f (-11),偶次项系数和为f(1) + f( 1) , a0=f(0).【变式2】 设(2 ，3x) 100= a0+a1x+a2x2+ a100x100,求下列各式的值：(1) a0；(2) a1+ a2+ + a100；(3) a1 + 23+a5+ 299 ；(4)( a0+a2+ + a00)2一( a + 氏+ + agg)2.解(1)由(2 #x)100展开式中的常数项为C000 - 2100,
11、即a0=2100.或令x=0,则展开式可化为a0 = 2100.(2)令 x= 1,可得 a0 + a+a2+ + a00= (2-3)100,，a1+a2+ a100=(2-3)100-2100(3)令 x=-1,可得 a0a1+a2a3+ a100= (2+g3)100,与联立相减可得a1 + a3+.+ a99=JLJl1002+/ 100(4)原式=(a0 + a2+ + aioo) + (ai + a3+ a99) , ( ao + a2+ + aioo) (ai + a3+ a99H=(a0+ a+ a2+ a100)( aoai + a2 - a3+ a98a99+a100)=(
12、2也)100X(2+ 班)100= 1.题型三求二项展开式中的最大项问题【例3】 已知f(x) = ( 3/f+3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.审题指导(1)令mi二项式各项一系数的和一 4口一加=际)中间两步一fi-5(2)由通项公式Tr+1TrTr+11 + 2最大项规范解答(1)令x= 1,则二项式各项系数的和为f (1) =(1 + 3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n=992.(2n)22n992=0, (2 分). .(2n+31)( 2n 32)=0,2
13、n=- 31(舍)，或 2n = 32,n= 5.( 4 分)由于n=5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3=C2(x|) 3(3x2)2=90x6,T4=C5( x2) 2( 3x2) 3= 270x22.( 6 分)33一 .，一，r r 2(2)展开式的通项公式为 Tr+1 = C53 - x-(5+2r).3假设Tr + 1项系数最大，则有d30c5一 3rT, ：lC53rc5+1-3r + 1,(8r 5! 5!5-r !r!*i 6一i 1一 i J ，5!5!f;XI 5- r !r!4 r ! r + !367 13(10 分).5 r r +1.
14、792 ra -分别为A, A2, An+1,且第r + 1项系数最大，应用，解出r来，即得系数最大AA+1的项.【变式3】 在（3x2y）20的展开式中，求（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项;（3）系数最大的项.解(1)二项式系数最大的项是第11项，T11=c20310(-2) 10x10y10=C20610x10y10.(2)设系数绝对值最大的项是r + 1项，于是C2c-3 20- r-2rc201-319-r-2r + 1,C-rc 20- r 八、-1 c21 r 八r13 化简得口IC20 3- 2 C20 -3 2,r + l 2 2()-r 21- r 23r,
15、-22解得 75r2r- 2c 222r八 2r2、八 2r 4, 24- 2r八 2r 4c2o- 3 2C20-3 2,xr-2)22 2r勺 2r2、02r . 20- 2r勺 2r|C2o, 220 .32)化简得l0r2+ 143r -1 077 0.解之得r=5,即2X51 = 9项系数最大.T9=C20 312 - 28 - x12y8.误区警示混淆“项的系数”与“二项式系数”错用二项式系数性质致错【示例】求（1+ 2x）2的展开式中x的奇次方项和x的偶次方项的系数和各是多少？错解1 .二项展开式中奇次方项系数和偶次方项的系数和相同，奇次方项和偶次方项的系数和各为219.错解2由
16、二项展开式知x的奇次方项系数和为C20-2+C30 -23+C2025+C29219,x的偶次方项的系数和为C20+C20 - 22+C20 - 24+ C20 - 220.错解1主要还是没看清题意， 将系数和与二项式系数和混淆了；错解2解法欠妥，数据都对，但错解2中的和很难求出.其原因还是没把握住求和与系数和的根本方法.正解设x的奇次方项的系数和为 A, x的偶次方项的系数和为 B,则令x=1,得A+ B =320,令 x= 1,得 B-A= 1.2B= 320+ 1.B=3* 12 ，320 1320 1奇次方项系数的和为3-2，偶次方项系数和为3-2关于系数和的问题，多注意用赋值方法解决