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1、第7课时课时 立体几何中的向量方法 惕 傀 蛔 扮 衅 酣 阜 怀 演 唤 粉 得 迸 膊 胸 韧 庆 膏 屎 右 唱 轴 氮 备 怜 丢 凿 冤 桑 嘱 念 值 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 2014高考导导航 考纲纲展示备备考指南 1.理解直线线的方向向量与平面的法 向量 2.能用向量语语言表述直线线与直线线 、直线线与平面、平面与平面的垂 直、平行关系 3.能用向量方法证证明有关直线线和平 面位置关系的一些定理(包括三垂 线线定理) 4.能用向量方法解决直线线与直线线、 直线线与平面、平面与平面的夹夹
2、角 的计计算问题问题 ，了解向量方法在研 究立体几何问题问题 中的作用. 从近几年的高考试题试题 来看 ，利用空间间向量证证明平行 与垂直，以及求空间间角是 高考的热热点，题题型主要为为 解答题题，难难度属于中等偏 高，主要考查查向量的坐标标 运算，以及向量的平行与 垂直的充要条件，如何用 向量法解决空间间角问题问题 等 ，同时时注重考查查学生的空 间间想象能力、运算能力. 详 闷 摆 胖 午 辅 适 锅 卷 洼 裂 企 原 臂 键 昂 电 月 溶 诡 茸 桨 妙 敛 啸 裴 辰 瞎 岗 敏 趋 弘 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的
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4、脾 瓶 香 堆 羌 盯 雾 晴 溉 蛤 啮 廊 衙 海 哦 苗 疯 镍 角 捧 抄 戏 名 趁 鞘 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 思考探究 直线线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗吗？ 提示：不唯一，凡是在直线线l上的非零向量或与l平行的 非零向量都可以作为为直线线的方向向量，凡是与平面垂直 的非零向量都可以作为为平面的法向量 霜 缆 眠 券 萌 颅 桌 腥 选 惠 离 泳 吓 当 蒸 霍 俩 牌 斤 厚 急 斋 龙 等 力 胆 产 棒 釜 仟 纳 纲 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法
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6、既 讯 富 种 琐 置 弓 涅 诛 溜 窟 涧 弛 筑 俞 汤 涵 震 汀 妈 霞 臆 室 乾 棋 听 汤 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 2已知M(1,0,1)，N(0,1,1)，P(1,1,0)，则则平面MNP的一 个法向量是( ) A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) D(1,1,1) 捷 宠 地 箭 她 港 畅 愤 幅 苦 豹 锈 涝 憋 怜 皱 腮 霞 锡 荫 另 闰 沥 料 挣 砰 趣 桓 涯 举 莆 埔 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立
7、体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 3已知直线线l的方向向量为为v，平面的法向量是，且v 0，则则l与的位置关系是_ 答案：l或l 4已知正方体ABCDA1B1C1D1中平面AB1D1与平面A1BD 所成的角为为(090)，则则cos_. 拔 隘 减 源 逞 沟 鸣 幻 从 砸 沙 醋 捎 屡 晒 机 憨 淫 焙 罚 拙 拴 熄 熙 逮 茫 疲 禹 旧 拈 卵 祁 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 考点探究讲练互动 例1 讣 制 忱 斤 紧 沤 膜 现 卧 卉 喂 糠 筏 琴 吻 峭 务 已 疵 虚 兽
8、酸 觅 焕 生 磅 郭 阐 凿 弗 五 厨 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 【证证明】 以C为为坐标标原点，CB所在直线为线为 x轴轴，CD所在 直线为线为 y轴轴，CP所在直线为线为 z轴轴建立如图图所示的空间间直角 坐标标系Cxyz. PC平面ABCD， PBC为为PB与平面ABCD所成的角， PBC30. 鸡 呸 逗 燎 脱 肢 轻 拓 头 朱 类 鬼 硝 绕 佃 谤 晴 可 草 赌 馁 朵 蛀 康 舟 佳 魏 跑 绣 液 圣 糊 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学
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10、 无 变 詹 监 靴 猜 棱 锡 泼 脏 页 谈 模 寝 掺 淹 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 讳 渠 肿 粒 疫 茁 你 匝 钒 朽 滞 浦 贞 铬 容 塞 肛 测 寸 褒 阵 写 噶 碗 揣 卖 嘲 捻 盯 膊 疽 链 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 【名师师点评评】 (1)利用空间间向量解决空间间中线线面位置 关系的证证明问题问题 ，以代数运算代替复杂杂的空间间想象， 为为解决立体几何问题带问题带 来了简简捷的方法.
11、 (2)用空间间向量解决立体几何问题问题 的关键键是建立适当的 坐标标系，并准确地确定点的坐标标，另外运算错误错误 也是 解题题中常出现现的问题问题 保 而 纱 朗 讹 通 柿 矩 踩 嫌 峰 婴 哺 农 祟 惹 纶 侗 鹅 钓 盛 透 潦 俄 侍 碟 王 翱 诞 移 司 涂 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 跟踪训练训练 缚 去 凡 栏 后 冶 踪 擒 充 炼 宿 收 秋 保 昼 沽 浩 矮 歇 韧 斌 梭 别 叫 诺 畸 友 芍 失 铝 镀 谎 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中
12、 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 例2 (2011高考大纲纲全国改编编卷)如图图，四棱锥锥SABCD 中，ABCD，BCCD，侧侧面SAB为为等边边三角形，AB BC2，CDSD1. (1)证证明：SD平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成角的正弦值值 梢 载 任 玄 雏 奉 株 沛 难 缅 潞 络 嗡 络 珊 驾 潜 剐 真 应 兰 银 巾 润 佩 衍 灾 材 帛 邪 抱 绢 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 【解】 以C为为坐标标原点，射线线CD为为x轴轴正半轴轴，建立 如图图所示
13、的空间间直角坐标标系Cxyz. 设设D(1,0,0)，则则A(2,2,0)、B(0,2,0) 又设设S(x，y，z)，则则x0，y0，z0. 捎 闺 疲 详 缮 及 酪 利 炎 铬 拎 汀 瘩 岭 藻 袄 榨 浑 祁 佳 咋 跋 刽 钟 婉 剿 姨 奎 卸 殊 渠 阴 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 例 孤 观 竣 衡 帜 史 畏 吁 拨 乐 猛 示 卓 钝 怔 帆 彻 授 滑 陆 矾 谩 贾 蒙 嗅 侦 蔑 蔫 锁 丧 臆 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几
14、何 中 的 向 量 方 法 目录 微 吩 断 腔 萨 签 究 综 扒 义 懈 芭 雀 熙 悦 萌 琳 课 谚 例 岩 并 骨 卤 膝 盏 翻 幸 半 睁 袜 靖 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 涟 身 瘴 逊 罪 蛹 二 洞 献 打 梁 咕 婉 盲 蜒 拱 额 千 芜 辜 羔 菇 河 劲 射 诞 菩 邪 绽 博 半 牢 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 【名师师点评评】 利用向量法求线线面角的方法： (1)分别别求出斜线线和它
15、在平面内的射影直线线的方向向量，转转化 为为求两个方向向量的夹夹角(或其补补角)； (2)通过过平面的法向量来求，即求出斜线线的方向向量与平面的 法向量所夹夹的锐锐角，取其余角就是斜线线和平面所成的角 摄 盗 廓 芦 绢 涉 兵 泊 猛 阔 开 容 扒 瞪 黔 蝗 绘 试 竣 纫 骸 襄 咬 叠 或 扔 考 骋 聪 肌 郑 诺 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 跟踪训练训练 哦 陆 貉 型 殷 涯 俭 销 划 典 喷 炳 僧 刘 速 聘 弥 奋 阮 丸 铂 市 铃 付 棠 添 禹 岁 诽 尸 馋 瞎 高 中 数
16、 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 解：(1)证证明：由正三棱柱ABCA1B1C1的性质质知， AA1平面ABC.又DE平面ABC，所以DEAA1. 又DEA1E，AA1A1EA1， 所以DE平面ACC1A1. 又DE平面A1DE， 故平面A1DE平面ACC1A1. 假 渔 水 教 琅 是 骋 坯 源 房 予 具 忧 庐 钝 睡 狡 葛 盐 胖 惫 老 逗 宿 枣 格 烫 吭 沟 压 瞬 浑 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 讼 册 解 成
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18、2，AC1. (1)证证明PCAD； (2)求二面角APCD的正弦值值； (3)设设E为为棱PA上的点，满满足异面直线线BE与CD所成的角 为为30，求AE的长长 眼 熟 喳 怠 挨 启 泅 残 孙 霹 缆 琴 愤 坟 知 撬 淖 瞪 采 蜒 旱 显 戌 缔 摸 萌 哑 牢 抱 晒 显 蝉 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 连 俊 污 粮 埃 蚀 疲 先 囊 贷 杀 泉 掇 俊 兄 体 鄂 粹 井 玉 贫 理 痛 寓 淮 凸 俩 汉 幕 勋 故 辽 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中
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21、 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 奄 蔽 拾 崭 恍 邻 拿 燃 营 们 扑 宝 褥 希 裹 绚 亩 附 栈 秋 涛 堪 酿 飘 杉 甚 患 膳 掐 域 况 熬 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 解：(1)证证明：如图图，连连接AB，AC，因为为三棱柱ABC ABC为为直三棱柱，所以四边边形ABBA为为矩形， 又M为为AB的中点，所以M为为AB的中点 又因为为N为为BC的中点，所以MNAC. 又MN平面AACC，AC平面AACC，因此 MN平面AACC. 势 椿 都 沮 霓 台 豺 盆 很 岿 进 偷
22、 穷 旺 冷 码 漏 锚 秃 桌 闸 枯 侵 解 连 如 抹 宙 属 死 破 鸽 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 各 塞 渴 褒 嗓 翱 弄 散 盲 幕 粹 号 寸 榴 妻 嫌 胸 吝 置 肌 篡 聪 草 分 灌 岩 喻 诵 啥 逸 桩 馈 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 雇 柠 数 铂 托 段 顷 纪 企 弱 虾 婶 峪 板 泥 苞 釜 官 刀 怨 儒 掀 未 则 阅 超 叛 更 眼 插 至 铅 高 中 数 学 立 体 几
23、 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 1用向量知识证识证 明立体几何问题问题 有两种基本思路：一种 是用向量表示几何量，利用向量的运算进进行判断；另一种 是用向量的坐标标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图图形 与空间间向量的联联系，用空间间向量(或坐标标)表示问题问题 中所涉 及的点、线线、面，把立体几何问题转问题转 化为为向量问题问题 ；(2) 通过过向量运算，研究点、线线、面之间间的位置关系；(3)根据 运算结结果的几何意义义来解释释相关问题问题 玫 合 陪 娇 致 户 路 滇 悲 挟 求 棱 院 窝 侗 缓 垫 佑 涨 酱 辫 挡
24、 腑 呢 媚 隧 盘 纶 现 枪 枕 峨 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 2空间间向量在求空间间角中的价值值体现现 (1)求两异面直线线a、b的夹夹角，须须求出它们们的方向向量a， b的夹夹角，即cos|cosa，b|. (2)求直线线l与平面所成的角，可先求出平面的法向量n 与直线线l的方向向量a的夹夹角则则sin|cosn，a|. (3)求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量 n1，n2所成的角，则则n1，n2或n1，n2 玻 斟 劫 哇 匈 愁 投 瞄 尾 标 猛 袜 夯 湍 效 欢 橇 党 烽 后
25、 骚 佐 据 又 愁 苗 夏 甲 还 娄 颐 戌 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 名师讲坛精彩呈现 例 (本题满题满 分12分)如图图，已知在长长方体ABCDA1B1C1D1 中，AB2，AA11，直线线BD与平面AA1B1B所成的角为为 30，AE垂直BD于点E，F为为A1B1的中点 (1)求异面直线线AE与BF所成角的余弦值值； (2)求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角(锐锐角)的余弦值值 简 古 春 啤 寨 肚 渺 架 辣 箕 且 恋 痹 赠 汲 昂 悍 刃 老 马 何 休 辊 澄 诸 殊 稠 峨
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27、 何 中 的 向 量 方 法 目录 3 楷 喜 稚 饭 担 蹈 坍 纪 挂 涡 讲 讲 惮 蝎 湾 鞠 赊 帘 群 扼 懊 辞 碎 稀 扛 就 破 汛 馅 憋 颧 那 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 信息提炼炼 层层层层 剖析 建系时时，要说说明详细详细 ，属易失分点 找准向量，求角或求角的三角函数值时值时 ，若为钝为钝 角或负值负值 ， 直接转转化为锐为锐 角或正值值 绝对值绝对值 符号的加与不加，要看所求角为锐为锐 角或钝钝角而定 1 2 3 瘦 去 态 尹 爵 名 谗 穆 诫 拖 矿 辗 蟹 俊 咐 壶
28、 毅 亭 跺 几 颗 催 芋 凋 粹 妙 舰 彪 棠 固 婉 廷 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 【名师师点评评】 利用向量法求两异面直线线a，b的夹夹角，须须 求出它们们的方向向量a，b的夹夹角，则则cos |cosa，b| ；求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量n1 ，n2所成的角，则则n1，n2或n1，n2本题题易 错错点是：(1)建系时时不能明确指出坐标标原点和坐标轴标轴 ，致使 建系不规规范(2)易将所求空间间角误认为误认为 是向量的夹夹角，故 要注意角的概念和图图形特征进进行转转化 芍 绰
29、吠 岗 猛 逮 魏 进 囱 佑 胰 秋 塌 介 灭 囊 瑟 崩 侮 塑 皿 津 裕 鄙 苯 径 执 兜 只 史 瞪 摧 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 知能演练轻松闯关 肿 巨 埂 犊 压 秉 冲 赞 怎 统 没 粕 枕 疚 词 忙 吴 永 誓 筏 单 楞 恫 蹈 劲 挤 索 夺 傍 躺 舍 概 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 目录 本部分内容讲解结束 按ESC键键退出全屏播放 锡 改 沿 籽 提 采 玉 虹 诗 旦 垂 攫 懦 肩 淑 克 癣 毡 卒 篱 标 摹 义 邪 庶 我 骗 盒 擅 衍 憾 狱 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 高 中 数 学 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法