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1、1 11 1A.-a+b+cB.a+ b+c2 22 21 iC. 一 ab+c2 2定共面的是 i ii OM = OA OB OC235空间向量与立体几何习题一、选择题(每小题5分，共50分)1. 如图，在平行六面体 ABCDAiBiCiDi中，M为AC与BD的交点.若A =a.ADi= b，AiA=c,则下列向量中与 BiM相等的向量是1 iD. a b+c2 22. 下列等式中，使点 M与点A、B、CA. OM =35A-2OB-OCB.C. OM OA OB OC = 0D.MA MB MC = 03. 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于i,点E、F分别是AB、AD的中
2、点，贝U EF DC等于A.丄4B.C.D. 0，贝U 人=.PAiBi13. 在直角坐标系xOy中，设A （-2，3），B （3, -2 ），沿x轴把直角坐标平面折成大小为日的二面角后，这时AB =2/1，则日的大小为14. 如图，PABCD是正四棱锥,ABCD-ABCO 是正方体，其中AB = 2,PA 二、.6，则 B1 到平面 RAD的距离为.、解答题（共80 分）15. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC是边长为1的正 方形，侧棱PA的长为2,且PA与 AB AD的夹角都等于60, M是PC的中点，设 AB 二 a ,AD = b,AP 二 c .（1）试用
3、a, b,c表示出向量BM ;（2）求BM的长.16. （本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得 多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm） . （1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求正视图侧视图该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC，证明：BC/面EFG.17. （本小题满分12分）如图，在四面体ABCD中，CB二CD，AD _ BD，点E，F分别是AB，BD的中点.求证:（1）直线 EF / 面 ACD ;（2）平面 EFC 面 BCD .18. (本小题满分14分)如图，已知点P在正方体ABC
4、D ABCD的对角线BD 上，/ PDA=60 .(1) 求DP与CC所成角的大小；(2) 求DP与平面AADD所成角的大小.CC19. (本小题满分14分)已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下，E是侧棱PC 上的动点.(1) 求四棱锥P-ABCD的体积；(2) 是否不论点E在何位置，都有BD丄AE ?证明你的结论；(3) 若点E为PC的中点，求二面角D AE B的大小.DB20. (本小题满分14分)如图，已知四棱锥P- ABCD，底面ABCD为菱形,PA 一平面 ABCD， ABC =60：，E，F 分别是 BC，PC 的中点.D(1)证明：AE _ PD ;(2)若H为PD上的动点，EH
5、与平面PAD所成最大角的正切值为 匕，求二2面角E -AF -C的余弦值.练习题参考答案、选择题一 1 111丄.”1. B1M =B1B BM =AA (BA BC)=b( a+b)= a+-b+c,故选 A.2 2222.由于 M、A、B、C四点共面二 OM = xOA yOB zOC(x, y, z R)且x y z = 1.选项(A)、(B)、(C)都不正确.由于MA MB MC = 0= MA - -MB -MC所以存在 x - -1,1,使MA =xMB yMC . MA,MB,MC共面由于M为公共点.M、A、B、C四点共面，故选D.1 . 1 -3. V E,F 分别是 AB,A
6、D 的中点，.EF /BD 且 EF 二 BD, EFBD, 2 21 1 1 cos120 =-!4-一 1 一 一 1EF DC BD DC 二2故选B.4.B5.B6.1|b| .|dc cosBD,5C =?D 7. D 8. D 9. D10.由于AB ACAD =ABcos 0)，由已知 cDH,Dax60 ,由 ddH = dadH COS :a ,可得 2m = J2m2 +1 .解得口样，所以DH =(1)V2 c 返“0 0 11因为 cos ： DH ,CC ： ： 22-,W22DiA所以DH,CC=45，即DP与CC 所成的角为45：.PI / X l; D -.C
7、by(2)平面AA D D的一个法向量是DC二(01,0).x所以:dH,dc因为 cos ： DH ,DC 二= 60；，可得DP与平面AAD D所成的角为30 .19. 解：(1)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD的底面是边长为11的正方形，侧棱PC丄底面ABCD，且PC=2. VpBCDS ABCD PC3不论点E在何位置，都有BD丄AE证明如下：连结 AC ,v ABCD是正方形，二BD丄AC PC丄底面 ABCD 且 BD u 平面 ABCD /. BD 丄 PC又AC PC二C二BD丄平面PACAE 平面PACBD 丄 AET不论点E在何位置，都有 二不论点E在何位置，都有
8、解法1:在平面DAE内过点D作DG丄AE于G,连结BGv CD=CB,EC=EC ,a R也ECD 望 RtAECB，二 ED=EB AD=AB，二 EDA EBA，二 BG 丄EA . DGB为二面角D EA B的平面角v BC丄 DE, AD / BC,a AD 丄DE在 R * ADE 中 d AD DE = =BGAEV3* DGB 中由余弦定理得 cos DGDG2dGG.BgBD2 DGB =2二，32tt二面角D AE B的大小为 3zPEC解法2:以点C为坐标原点，CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:贝U D(1,0,0), A(1,1,0),B(0,1,0), E(
9、0,0,1)，从而设平面ADE和平面ABE的法向量分别为DE 二(-1,0,1),DA 二(0,1,0), BA 二(1,0,0), BE 二(0, -1,1)m =(a,b,c), n =(a,b,c)A由法向量的性质可得：-a，c = 0,b=0, a=0,bc= 0令 c=1,c = 1，贝u a=1,b = 1，二 m = (1,0,1), n= (0,-1,-1)T H设二面角D AE B的平面角为则cos* J 3 =一丄I m| |n| 2亍.二面角D - AE - B的大小为320. (1)证明：由四边形ABCD为菱形，.ABC =60；，可得 ABC为正三角形. 因为E为BC
10、的中点，所以AE_BC .又 BC / AD，因此 AE _ AD .因为PA _平面ABCD，AE 平面ABCD，所以PA _ AE .而 PA 平面 PAD，AD 平面 PAD 且 PA“ AD = A，所以AE _平面PAD .又PD 平面PAD， 所以AE _ PD .连接AH，EH .P(2)解：设AB =2，H为PD上任意一点, 由(1)知AE _平面PAD，则.EHA为EH与平面PAD所成的角.在 Rt EAH 中，AE f ，所以当AH最短时，.EHA最大，即当AH _ PD时，.EHA最大.此时 tan EHA =生 3 =，AH AH 2因此 AH = -2 .又 AD =
11、2，所以 ADH =45， 所以PA =2 .解法一：因为PA 平面ABCD，PA 平面PAC， 所以平面PAC 平面ABCD .过E作EO _ AC于O，贝U EO _平面PAC ,过O作OS _ AF于S，连接ES，贝U . ESO为二面角E 一 AF -C的平面角,在 Rt AOE 中，EO 二 AELsin 303 , AO 二 AE|_cos30 二-,2 2又 F 是 PC 的中点，在 Rt ASO 中，SO = AOLsin45,4又 SE= ；EO2 SO2 =一3 230，在 Rt ESO 中，cos. ESO=空二工， 4SE . 3054即所求二面角的余弦值为155 AD
12、，AP两两垂直，以A为坐标原点, F分别为BC，PC的中点，解法二：由（1）知AE， 空间直角坐标系，又E，A（0,0,0, BC.3,-10），C（、.3,10）, D（0,2,0），建立如图所示的P(0,0,2) E(坂0,0, F,I2 2丿所以孔如启暑,-设平面AEF的一法向量为m二（x1，%，乙），所以则m竺二0,因此mAF -0,= (0,2,1)，因为BD _ AC，BD _ PA，PAAC =A，所以BD _ 平面 AFC，mLBD2 3155故BD为平面AFC的一法向量.又 BD =(3,3,0), 所以 cos v m,BD x -_-BD =t=-血甘 BD| 5 212因为二面角E -AF -C为锐角，所以所求二面角的余弦值为 5