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1、勾股定理知识总结一、知识要点回顾1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a 2 + b 2= c2。公式的变形：2 2.2 .2 2 2a = c - b ， b = c -a 2、勾股定理的逆定理如果三角形 ABC的三边长分别是 a，b, c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形 ABC是直 角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几 个要点： 、已知的条件：某三角形的三条边的长度 、满足的条件：最大边的平方 =最小边的平方+中间边的平方 、得到的结论：这个三角形是直角
2、三角形，并且最大边的对角是直角 、如果不满足条件(2)，就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股定理的应用利用勾股定理已知两边求第三边利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形利用勾股定理列方程求线段长构造直角三角形利用勾股定理解决问题1、利用勾股定理已知两边求第三边(1)在厶AB(中 ,厶J C=90若 a7 ,c=4 ,则b=;在 Rt ABC z:B=90,a=3, b=4,则c=。在 Rt ABCZ C=90,c=25, a:b=3：4,贝 U a=,b=(4) 在厶 AB(中，若/ A=30, BC=2 则 AB=, AC=。(5) 直角三角形直角三角形两直角边长分别为3和4,则
3、它斜边上的高为 2、利用勾股逆定理判断一个三角形是否为直角三角形(1) 下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是()A. 1.5 , 2, 3 B. 8, 15, 17 C . 6, 8, 10 D. 3, 4, 52(2) .若厶ABC勺三边满足(b+ c)(b- c)- a = 0则下列结论正确的是()A. ABC是直角三角形，且/ C为直角 B. ABC是直角三角形，且/ A为直角C. ABC是直角三角形，且/ B为直角 D. ABC不是直角三角形.AD(3)如图，AD丄BC,垂足为D,如果CD=1 AD=2 BD=4,试判断 ABC的形状, 并说明理由。3、利用勾股定理列方程
4、求线段长(1)已知，如图、/ ACB=90 , AD=BD,AB=5cm,AC=3cm 求BD的长（2）如下图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等 ）的一边AD,点D落 在BC边的点F处，已知 AB= 8cm, AD= 10cm,求EC的长.4、构造直角三角形利用勾股定理解决问题(1 )在厶 ABC中，/ B= 450, AB= . 2，/ BAC= 105，求 ABC的面积。C2、应用勾股定理在三角形中 求边长例2、（ 2009年滨州）如图 2,已知 ABC中, AB= 17, AC= 10, BC边上的高（2）已知：如图，/ B=Z D=90,Z A=60, AB=4, CD=2求：四边
5、形ABCD勺面积。二、考点剖析1、应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例1、（2009年湖南长沙）如图1所示，等腰-中，三$且二，=是底边上 的高，若 AB = 5cm, BC - 6cm，贝y AD =AD= 8，则边BC的长为（）A. 21B . 15D 以上答案都不对3、应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例3、（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图 3所示，其中工二二米，丄上,-,因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应S34、应用勾股定理解决梯子问题例4、（ 2009年安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成 45角，作业时调整为 60 角，如图4所示，则梯子的顶端沿墙面
6、升高了m.用国6勾股定理解决勾股树问题例5、（2009年达州）如图6所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是：A. 13B . 26C. 47D. 941 图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2,，依次类推，若正方形7的边长为1cm,则正方形1的边长为cm.在直线I上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1 、2、3 , 正放置的四个正方形的面积依次是0
7、、S26、应用勾股定理解决阴影面积问题例6、（ 2009年宜宾）已知：如图 7所示，以Rt ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边 AB= 3,则图中阴影部分的面积为7、应用勾股定理解决数学风车问题例7、（2009年安顺）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等 的直角三角形围成的。在 Rt ABC中，若直角边 AC= 6, BC= 5,将四个直角三角形中边长 为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长S10（图乙中的实线）是。例9、如图10所示，某港口 P位于东西方向的海岸线上，“远航号”和“海天号”两艘轮船同时从港口离开，各自沿
8、着一个固定的方向航行。“远航号”每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后，两船相距30海里，如果知道“远航号”的航行方向是东北方向，你能知道“海天号”是沿着哪个方向航行吗？勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东 60方向走了-1-1-到达B点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m到达目的地C点。（1）求A C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如
9、图的2如图，公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30，点A处有一所中学，AP =160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？FA Qn举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边 长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形
10、。(1) 直接写出单位正三角形的高与面积。少？(3)求出图中线段 AC的长(可作辅助线)(2) 图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD勺面积是多用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的 现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一 条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm,高AE为4cm, EC是上底面的直径.只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转 化为直角三角形问题来解决.AB=AC D是斜边BC的中点，E、F分别是AB 求线段EF的长。