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1、空间向量知识点归纳总结知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 .同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）加法结合律：（a b） c数乘分配律：（a b）uuu r OB aa(b c)b3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，a平行于b，记作a / b。当我们说向量a、b共线（或a/b ）时，表示a、b的有向线段所
2、在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线。（2） 共线向量定理：空间任意两个向量 a、b （ b丰0）, a/ b存在实数 入使a = xb。4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。rr（2） 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数 r r Jx, y 使 p xa yb。5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个r唯一的有序实数组x, y,z，使p xa yb zc。rrr若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫
3、做基向量，空 间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设0,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数uuu uuu uuu uuurx, y, z，使 OP xOA yOB zOC。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 O xyz中，对空间任一点 A，存在唯一的有序实数组 （x, y,z），使OA Xi yi zk，有序实数组（x, y,z）叫作向量A在空间直角坐标系 O xyz中的坐标, 记作A（x, y, z），x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为I,这个基底叫单
4、位正交基底，用r r ri, j, k表示。(3)空间向量的直角坐标运算律： 若 a (aaa) , b (dbb)，则 r(ai bi,a2 b2,as bs), a (aib &2匕2&3匕3 ,aibi,a2b2,asbs(a1b1 a2b2 a3t30。uuurar arara/V3 a2 a 43ab2)2 ab3) 若 A(为，yi,zj , B(X2,y2,Z2)，则 ABy2X1,Z2y1一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标。rr（4）模长公式：若 a （ai,a2,a3）， b （bl,b2,b3）， ，ibi vbt 执.a a
5、a-j2 2a22a32b22b32（5）夹角公式：cos： a baibia2b2a3b32 2 2 2 2。 a2a3 、bib2b3（6）两点间的距离公式：若 uuu则 | AB |a| |b| ai2 a22 a32、bi2A(Xi, yi, Zi)，B(X2,y2,Z2)，AB (X2 Xi)2 (y2 yi)2 (Z2 Z1)2，或 dA,B.(X2 Xi)2 (y2 yi)2 (Z2 Zi)27. 空间向量的数量积。r（1） 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点o，作iunruuurr rr rr rOA a,OB b，则 AOB叫做向量a与b的夹角，记作
6、 a,b ；且规定0 a,b ，r rrrr显然有a,b b,a ；若a,b，则称a与b互相垂直，记作：a b。2uuu rULWrr（2） 向量的模：设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|。rrrr（3）向量的数量积：已知向量a,b，则iai ib i cos a,b叫做a,b的数量积，记rrrr作 a b，即 a b 向 ibi cos a,b 。（4）空间向量数量积的性质：a e iaicos a,e 。a b a b 0。洁2 a a。（5）空间向量数量积运算律：rrrrr（a）b（3 b）a （ b）。5 bb（交换律）。rra （b C） a b a C
7、 （分配律）。设 a = (ai ,a2, a3) , b = (b1,b2,b3)则rrri(1) a + b = (a1b-i, a2 b2,a3b3);a - br=(a1(3)入 a = ( a1, a2, a3)(入 R)；(4)a b=a1b1uuuuuuuuu2.设 A(x1,y1,zJ , B(X2,y2,Z2)，则 ABrrOBOA =(21,y2ii3、设 a (X1,%,乙),b (X2, 丫2厶)，则r rrr r rrr raPba b(b 0);aa b0x1x24.夹角公式 设 a = (a!,a2,a3), b = (bb,),则 cos（6）:空间向量的坐标运
8、算：1.向量的直角坐标运算bi,a2b2,a3a2b2a3b3;%,Z2Z1).b3)；y2乙乙20.r b ra5 异面直线所成角cos |cosabl=4irgcos | cos a, b | = -T |a|b| p2 2 2iyizi2 2.2yZ26.平面外一点 p到平面的距离已知AB为平面的一条斜线，n为平面的一个法uuu r向量，A到平面 的距离为：d|ABr? n|-R-|n|【典型例题】例血已知平行六面体 邀DuuABCD，化简下列向量表达式， AB BC ； AB AD AA ；标出化简结果的向量。mu mur 1 ujm1 uju mur ujit AB AD -CC ；
9、(AB AD AA)。23D，M例2.对空间任一点 0和不共线的三点uuuuuu uuu uuurOP xOA yOB zOC （其中 x代B,C，问满足向量式:A BI*-y z 1 ）的四点P, A,B,C是否共面?例3.已知空间四边形 点G在线段MN上，且uuir向量Og 。OABC，其对角线OB, AC，MG 2GN，用基底向量OAM , N分别是对边OA, BC的中点, uuu uur,OB,OC表示例 4.如图，在空间四边形 OABCK OA 8，AB 6，AC 4，BC 5， OAC 45，OAB 60，求OA与BC的夹角的余弦值。说明：由图形知向量的夹角易出错，如 切记！例5.
10、长方体与B1C的交点，ABCD A1B1C1D1 中，AB 又AF BE，求长方体的高uur uuirOA, AC135易错写成,AC 45，BC 4，E为AG与BiDi的交点，F为BCiBB1。BELunr uuu ruuurULLLPAa, PB b ,PCc ,则BE()1 r 1 r 1 r1 r1 r1 rA.a -b cB.-ab-c2 2 2222_ 1 r 3r 1 r1 r1 r3rc.a -b cD.-ab_c2 2 22223.在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若空间向量与立体几何练习题一、选择题1. 如图，棱长为2的正方体ABCD A1B1C1
11、D1在空间直角坐标uuu系中，若E,F分别是BC, DD1中点，则EF的坐标为()A.(1,2, 1) B. _( 1,2, 1)C.( 1, 2,1) D. (1, 2, 1)AB2. 如图，ABCA1B1C1D是正方体，BE =二 ,贝U BE与 DF图4所成角的余弦值是()151A.B.17283C.D.172二、填空题4.若点 A(1,2,3),B( 3,2,7),且 AC BC 0 ,则点 C 的坐标为 .5在正方体 ABCD A1B1C1D1中，直线 AD与平面A,BC,夹角的余弦值为 三、解答题1、在正四棱柱 ABCD-ABCD中，AB i与底面 ABCD所成的角为 ，4(1)求
12、证BDi面ABiC (2)求二面角Bi AC B的正切值PB2 在三棱锥 P ABC中, AB AC 3AP 4, PA 面 ABC , BAC 90 , D 是 PA 中点，点 E 在 BC 上, 且BE 2CE,(1)求证：AC BD ; (2)求直线DE与PC夹角 的余 弦值；(3)求点A到平面BDE的距离d的值3.在四棱锥 P-ABC中,底面 ABC是一直角梯形，/ BA=90, AD/ BC AB=BGa, AD=2a, 且PA!底面ABCD PD与底面成30角.(1 )若AEL PD E为垂足，求证：BEL PD(2)求异面直线 AE与CD所成角的余弦值.4、已知棱长为1的正方体A
13、C1,E、F分别是BG、C1D的中点.(1)求证：E、F、D、B共面;(2)求点A到平面的BDEF的距离；(3)求直线AD与平面BDEF所成的角.5、已知正方体 ABCD ABCD的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：(I) DE与平面BGD所成角的大小；(H)二面角 D- BG C的大小;【模拟试题】1.已知空间四边形 ABCD，连结AC, BD，设M ,G分别是BC,CD的中点，化简下列uuuuuuuuuuuu1 uuuuuu各表达式，并标出化简结果向量：(1) ABBCCD;(2) AB- (BDBC)；2LULT 1 UUU LUUT(3) AG (AB AC)。22.已知平行四边形 A
14、BCD，从平面 AC外一点0引向量。UUU ULUULUU UUT UUT ULUTULLT UUTOE kOAOF kOB,OG kOC,OH kOD (1)求证：四点 E,F,G,H 共面; (2)平面AC /平面EG 。13.如图正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1 D1 F|AE ,4求BE1与DF1所成角的余弦。4.已知空间三点ujuAuUl0, 2, 3), B ( 2, 1, 6), C ( 1, 1 , 5)。求以向量AB, AC为一组邻边的平行四边形的面积S;TUUU UULTTT若向量a分别与向量AB, AC垂直，且|a|= , 3，求向量a的坐标。905已知平
15、行六面体 ABCD ABCD 中，AB 4, AD 3, AA 5, BADBAA DAA 60，求 AC 的长。3.1解：如图,参考答案uuu uuu uuur BC CD ACUJU 1 uuuuuuuuu1 uuu1 uuu(2) AB -(BD2BC)AB-BCBD。UUUUJUuuuuUULT22AB BM MGAG;UJUT1 UUUUUUTUUUTuuuuuuuu(3) AG(ABAC)AGAMMG。2UUUT解UuIUU明：uU四边形ABCD是平行四边形，AC/ EG OG OE ,UUUTUUUUUTuuuUUUTuuuUUTk OC k OAk(OCOA)kACk(ABAD
16、)uuu uur uuutuuuuuuuuuUULUUUUk(OB OA ODOA)OFOEOH OE2.UUU ABUUU(1) ABuuu uuuEF EH E,F,G,H 共面；uuu uiur uuu(2)解： EF OF OE EF /AB, EG / AC。所以，平面AC/平面EG 。uuu k(OBUUUOA)UUUTuuuk AB，又 EG解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系O xyz ,3则 B(1,1,0)，巳(1,一,1)，D(0,0,0)，4UUUTADUUUTAC ,UULU1UULU1- BE1(0,1), DF1(0, ,1),44uuuBE1UULUDF
17、14UULU UULUBE1 DF1141 11516LULL UUUT cos BEDR151615o.17 ,1717uuu4.分析：Q AB2,4UULT1,3),AC(1, 3,2),cos BAC/ BAC = 60,UUU UULTAB AC 1 -UUUUUU | AB|AC| 2UUU UULT| AB | AC |sin60oTULUUz),则 a AB3y 2z 0,| a |.3a =( x, y,UUUTAC xx= y = z= 1 或 UUUU 2 UULT |AC | (AB UUU 2|AB|4216所以，|AC| J85 o设a解得5解：2x2x329mur 2|AD|2525 0UUUUx = y = z= 1 , a =UULT UULT 2AD AA)UULT 2 UUU| AA | 2AB4 3 cos90o20 15 85murAD73z 0,2y(1,i, i)3或 a =( 1, 1, 1) oUULTAA5 cos60ouur2ABuur2ADUULTAA5 cos60o