线性代数各章知识点概述.docx

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1、oaaa线性代数辅导东南大学数学系20XX年11月目 录第一部分行列式第二部分矩阵的运算第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩第五部分线性方程组第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量第七部分实对称矩阵和二次型第八部分空间解析几何第一部分行列式定义1 定义设 Aaij n n，则 A( 1) (1，i2L in)a1ha2i2L ani1，i2L in是n!项代数和；不同行，不同列；正、负号。【例1】332824813842是不是4阶行列式中展开式中的项，正、负号是什么?不是【例2】5x123xx12中x3, x4的系数。345x ,10x12x3x122x2注

2、：(1).对角线法则一般地不再成立。举例。(2) .记住上、下三角阵的行列式。.性质1 .性质(1) 行列式的基本性质；(2) 按行(列)展开；(3) 乘法定理。2. 需记住的结果：(1) Van derm onde 行列式；(2) 分块上、下三角阵的行列式。3. 例：B3 3A3 3【例3】2，求 B。7 A 14【例4】已知A1 2 05 6 1 ,B2 0 03 5 0。求 A3B 14. 注：(1) 矩阵的加法、数乘之后的行列式;(2) 容易出现的错误：2d713112 70 *2r2 7r1, r12/7r23 50 *(3) 分块矩阵的行列式 三计算1. 典型方法:(1) 化成低阶

3、行列式；(2) 化成三角形行列式。2. 注：很少直接用定义计算；应先化简，后计算。3. 例【例5】13 1415 16【例6】2 0133 12102312314【例7】1 1 1 1 11 1 2 1 11 1 1 3 11 1 1 1 41,2,3,4均不为零;【例8】1 a 1 L 122 a L 2L LOLn n L n a123Ln12L【例9】n 1n1LLLLL345L234Ln 1 nn 2n 1n 3 n 2L L12n1【例10】Dn第二部分 矩阵的运算矩阵的乘法1 运算规律1221【例 1】230101331201，1 2 1 0 ，22n31210。2【例2】假设e是

4、n维非零列向量， A E eeT。证明：A是对称矩阵, 且 A2 A eTe 1 。2 应当注意的问题（1）矩阵记号与行列式记号的差别；（2）单位矩阵（用E或I表示）的每个元素都等于 1吗？不是3)矩阵乘法含有非零零因子，因而乘法消去律不成立；0110【例 4 】 As n 满足满足什么条件时，由 AB AC 就能推出 B C ？ r As n n4） 矩阵乘法不可交换，因而一些代数恒等式不再成立。【例 5】平方差公式。【例 6】二项式定理。10【例7】设A 01 ，求An。00【例 8】与对角阵可交换的矩阵是否一定是对角阵？不一定，任意方阵与单位阵都是可交换的。可逆矩阵1.可逆的条件(1)

5、行列式不为零；(2) 秩等于阶数；(3) 存在另一矩阵使它们的乘积是单位阵;(4) 特征值全不为零。2.逆矩阵的计算(1)禾U用伴随矩阵：一般只对低阶矩阵，如二阶矩阵用这种方法。但要注意. 阶矩阵的伴随矩阵是如何定义的。(2)利用初等变换：要注意避免过繁的运算。321【例9】求矩阵的逆矩阵 A2303123.重要性质，如(1) 可逆矩阵肯定不是零因子；(2) A 1 | A 1 ；(3) 对于方阵A，若存在矩阵B使得AB E，则A是可逆的，且 A 1 B ；1 1 1(4) (AB) B A 。【例10】已知A3 O，证明E A是可逆的，并求其逆。【例11】已知A2 2A 3E O。(1) 证

6、明：A可逆，并求A 1 ；(2) A 2E可逆，并求其逆；【问题】：假设n阶矩阵A满足A2 2A 3E O。证明矩阵A及A E均可 逆，并分别求 A 1及(A E) 1 ；证明：若 A E,矩阵A 3E肯定不可逆。4. 伴随矩阵a b(1) 定义； 如求矩阵A的伴随矩阵c d(2) AA* A*A A E ；3【例13】假设n 2，证明*An 1lA【例12】已知A，求A。5. 矩阵方程各种类型的矩阵方程，正确化简成标准形式，正确求解。标准形式的矩阵方程的求解可以先求逆矩阵，再求乘积得解，或直接有初等变 换求解。可以进行验算！210【例14】设矩阵A120，矩阵B满足ABA 2BA E，求B。

7、001三矩阵的分块运算(1)分块矩阵的乘法规则的成立是有条件的：小矩阵间的运算要有意义，或左边的因子的列的分法与右边的因子的行的分法一致ABA1A12A21A22kA0O0片10【例15】求00 0BnB12；B21;B22Ak10O；0Aknn01 。【例16】已知矩阵M，其中B,C是可逆矩阵，求(2) 注意：不能滥用分块。如：行列式；伴随矩阵等。第三部分 矩阵的初等变换和矩阵的秩概念(1) 讨论什么问题可以用初等行、 列变换。 有时只能用行变换， 不能用列变换； 求相抵标准型要同时用初等行、列变换。解方程组，求逆矩阵，求极大无关组都 只能用初等行变换，不能用列变换。( 2) 行向量组等价的

8、矩阵一定是等价的。等价的矩阵的行向量组等价吗？ 等价的矩阵的行向量组不一定等价，因为等价的矩阵可能做了初等列变换。【例1】讨论矩阵的秩123kA12k3k23初等变换与矩阵乘法( 1) 初等变换与初等矩阵的乘积；【例2】已知 A 4可逆，交换其第一、三两行的得矩阵B，求AB2)矩阵的等价标准形Er oooEr O(3)若r(Asn) r，则一定存在可逆矩阵 Pss,Qnn，使得A PQ。sn ss nn O O【例 4】 证明矩阵的满秩分解定理，分解成秩为 1 的矩阵的和。( 4)用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，解矩阵方程。三矩阵的运算与秩(1) r(A) r(AT)(2) r(A B) r(A

9、) r(B)(3) r(AB) r(A),r(B)(4) r(As nBn t) r(A) r(B) n(3)若 AsnBnt O,则 r(A) r(B) n【例4】假设Ann满足A2 E，证明：r(A E) r(A E) n。【例5】假设A是s n矩阵，且r(A) n。若AX AY，则必有X 丫。n,如果 r(A) n【例6】假设n 2， A是n n矩阵。证明(A*)1如果r(A) n 1。0,如果 r(A) n 1第四部分 向量组的线性相关性和向量组的秩什么叫线性相关、线性无关？什么叫向量组的极大无关组，秩？重要结论。(1) 定义；(2) 简单性质：含零向量的向量组一定线性相关等；两个向量

10、线性相关当且仅当其分量成比例；问题：如果三个向量中的任意两个向量的分量都不成比例，是否线 性无关？不一定，可能有某一行可以由其他两行线性表示。(3) 向量组的秩与矩阵的秩的关系；(4)定理：s 2时，1,2,L , s线性相关存在某个j使得j可以由其余S个向量线性表示。(5)定理：若1, 2 ,Ls线性无关,2,L , s线性相关,可以(6)定理：若1,2丄，s线性表示。t可以由2丄，s线性表示，且t S，则1,线性相关。(7)定理:2丄，s线性无关r( 1,2,L , s)(8)定理：假设向量组2丄，s线性无关，并且jk1jk2jL ksj s ,。则s ss线性无关K可逆;如何判别？(1)

11、 线性表示,线性相关性【例1】设向量11b c T.问：当参数a,b,c满足什么条件时Ta 2 10,1.能用2,3线性表示?2.不能用3线性表示?【例2】已知向量组1,2,3 ,1 ,2 ,3之间有关系:证明:1 ,2,3肯定线性相关【例3】求k，使得向量组1 12,22122k线性相关。3【例5】设1, 2t是齐次线性方程组 Ax的线性无关的解向量,t也线性无关【例5】设1, 2, 3线性无关，1是其解向量。证明:问：k,l满足什么条件时1 , 2,3线性无关？(2)极大无关组和秩定理：如果 1 , 2 ,L , t可以由1,2丄，s线性表示，则r( 1, 2,L ,t) r( 1,2丄，

12、s)定理：如果r( 1, 2丄，s) r，则1, 2,L,s中任意r个线性无关的向量都是其一极大无关组。1k0【例6】若向量组 10 , 22 , 31，则当%参数k取什么值时，1111 k 2 ,2213 ，331, 2,3线性相关；这时求这个向量组的一个极大无关组。【例7】求给定向量组的极大无关组1 11T0 2 ,T2 2 1 1 1 ,TT3121 3j4 112 2,510T1 2(3)注意辨别对错【例7】若1, 2,L ,s线性相关，则1可由2丄，s线性表示？错，不一定【例8】若有全为零的数k1,k2,L,ks使得k11k22 Lkss1, 2,L , s线性无关。错，不一定三.向

13、量空间第五部分 线性方程组解的存在性、唯一性As nx bB.若 r(A) r n ,则 As nx的基础解系中含 n r 个解向量；C.若 r(A) r n ,则 As nx的任意 n r 个线性无关的解向量都是基础解系2） 非齐次线性方程组b 的解的结构（1）As nxb有解r(A)r(Ab)；（2）若 r(A)r(Ab)r，则As nxb 有唯一解r n ；（3）若 r(A)r(Ab)rn，则 Asnx b 的通解中含有 n r 个自由未知量。解的结构（1）齐次线性方程组Asnx有非零解的充分必要条件是 r（A） r nA 解的结构o Cramer 法则， Gauss 消元法与通解的表达

14、注： Cramer 法则只适用于方程个数与未知量个数相同的情形；用向量形式表示。用 Gauss 消元法求解只能对增广矩阵作初等行变换, 不能作列变换；四例【例 1】通解有两种形式：用自由未知量表示；x1x2x3x4x502x12x23x33x4x503x13x2x3x4x50将系数矩阵化成行简化阶梯形矩阵，求通解，写出基础解系。讨论解的情况并求基础解系(1 a)x1x2Lxn02x1(2 a)x2L2xn0LLLLLLLLLnx1nx2L (nn)xn0问：当参数去什么值时，齐次线性方程组有非零解，有非零解时求通解x13x25x32x41x1x2px34x41x1x22x33x40x17x21

15、0x37x4q求齐次线性方程组的基础解系例 2】例 3】【例4】讨论解的情况并求解【例5】设1, 2是齐次线性方程组 Ax的基础解系，1, 2线性方程组 Ax bX1X2X31X1X2X30X1X2X31的特解。k1, k2表示任意常数。则 Axb的通解是1(1) K 1 k2( 12)12)1(2)匕1 k2( 12) 2 ( 12)1(3) 11 1 k2( 1 2) ( 12)1(4)匕1 k2( 12)( 12)【例6】已知1, 2丄，s是齐次线性方程组Ax的基础解系，11 1 t2 2 , 2 t1 2 t2 3,L,sst2 1问：当t1,t2取何值时，1, 2,L ,s也是Ax的

16、基础解系。1 3【例7】假设口民3) 2，1, 2是Ax b的解，且121 ，3 1 2 22 。2 1求Ax b的通解。 第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量中心问题是矩阵的相似对角化问题。一矩阵的特征值、特征向量的概念和简单性质1. 计算：先求特征多项式，再求根，再解齐次线性方程组的非零解001【例1】求矩阵A010的特征值和特征向量。1002. 特征多项式和迹假设A aj。则 E A是n次多项式，首一的，且J n nE A n (an a22 L 為)n1 L ( 1)n A称卯 a22 Lann为A的迹，记为tr( A)。3. 特征值的性质(1)如A aj的特征值是n n1, 2丄

17、，n ,则tr(A)12 Ln ,A 12 L n(2)A可逆特征值均不为零。1如果A可逆，是A的特征值，则是A的特征值；(3) 假设f(x)多项式，是A的特征值，则f( 0)是f(A)的特征值;(4) 设f (x)是A的化零多项式，则 A的特征值均是f (x)的根。【例2】假设A是3阶方阵，A 2E,2 E 代A 2E均不可逆，求 A。【例3】假设A2 A，证明：A的特征值只能是0和1。注：错误做法：因为AE 则0是A的特征值，若.相似矩阵及矩阵相似的必要条件定义：矩阵的相似。定理：若矩阵A与B相似，则 E AA 0 ,则 A 0 或 E A 0。若 A 0 ,E A 0，则1是A的特征值。

18、E B，且A与B有相同的特征值、迹、秩、行列式。1a10【例4】已知矩阵A a1b与B1相似，求a,b。1b12解：A, B 相似，则 |A|=|B|=O。化简可得 |A|=(a-b)2=0,所以 a=b。另外，A, B相似，A的特征值也为0, 1, 2。当=1时，| l-A|=-2ab=0 所以a=b=0。注：1.逆命题不成立2. 课程中没有介绍“充分条件”，除非对矩阵加了特定的条件(如实对称等)。【例5】 若A与B之一可逆，证明：AB与BA 一定相似。【例6】若A与B!相似，A2与B2相似，证明:相似。B2三矩阵可相似对角化问题0 1主：并非每个矩阵都相似于对角阵。如0 OO 1定理：n

19、n矩阵A相似于对角阵A有n个线性无关的特征向量。定理：矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。123【例7】如：045冃疋相似与对角阵。006如：10有重特征值，但相似于对角阵。0 1定理：如果1, 2丄s是矩阵A的互不相同的特征值,i1, i2,L , iki是A的属于i的特征向量，贝V11 , 12丄，1“ L , s1, s2丄,sk,线性无关。【例8】假设Aa 是上三角矩阵。证明J n n(1) 如果a11,a22,L ,ann互异，贝U A一定相似于对角阵;(此时，A有n个不同的特征值 an,a22丄,ann，所以有n个线性无关的特 征向量。)(2) 如果a11,a22,L ,ann

20、全相等，而 A不是对角阵，则 A肯定不相似于 对角阵。(此时，A的n个特征值相同，且r I A 0 n nj n n.)定理：n n矩阵A相似于对角阵对于A的s重特征值， A有s个线性无关的特征向量。111【例9】假设Ax4y相似于对角阵，2是一个二重特征值。求x,y335及可逆矩阵P ,使得p1AP是对角阵。123【例10】已知矩阵A143的特征方程有一个二重根。求参数a的1a5值，并讨论 A是否可相似对角化。注： E A (2)( 2 818 3a)。因此，若2是两重根，则a2，此时，特征值为 2，2，6。可以证明，这时，可以相似对角化。2若2不是两重根，则 818 3a为完全平方，从而可

21、以解得a-。可以证明，这时不可以相似对角化。3【例11】设n n矩阵A满足A2 A。证明：(1) A相似于Er oo o(2)tr(A) r(A)。四同时对角化问题、矩阵相似对角化的应用【例12】设n n矩阵A有n个互不相同的特征值，且 AB BA。证明：存在 可逆阵P使得P 1AP , P 1BP均是对角阵。3 2【例13】设A。求A。2 2第七部分实对称矩阵和二次型应当注意，讨论二次型与讨论实对称矩阵本质上是同一回事。.内积、Schmidt正交化方法和正交矩阵1. 内积和正交性定义：n维向量的内积(可以用矩阵的乘积表示)，T正交长度，单位向量，单位化正交向量组定理：正交向量组是线性无关的。

22、【例1】已知向量组!, 2, 3线性无关，非零向量与1, 2, 3中每个向量正交。证明：1, 2, 3 ,线性无关。2. Schmidt正交化方法如果1 , 2丄,s线性无关，则经过正交化、单位化可以得到一个与之等价的标准正交向量组。正交化、单位化的公式 。3. 正交矩阵定义：正交矩阵T1定理：n阶实矩阵A是正交矩阵A A A的行(列)向量组是标准正交向量组。【例2】 若上三角实矩阵 A是正交矩阵，则 A是对角阵，且主对角元是1。【例3】 若n阶实矩阵A是正交矩阵。则(1 )当A 1时，且n是奇数时，1是A的特征值；(2) 当A 1, -1是A的特征值；(3) 若B也是n阶正交矩阵，且 AB

23、0，则A B 0。.实对称矩阵1. 实对称矩阵的基本性质(三条)：假设A是实对称矩阵，则(1) 实对称矩阵的特征值是实数；(2) 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交；(3) 存在正交矩阵Q，使得QtAQ是对角阵。2. 正交矩阵Q及对角阵QTAQ的计算。要注意与相似对角化的区别。例 4】假设 A101000。求正交矩阵Q，使得QtAQ是对角阵。1011【例5】设三阶实对称矩阵 A的特征值为3, 1, 1,1 是A的相应于1特征值 3 的特征向量。求 A。法一 . 求正交阵；法二 . 用相似对角化方法。【例6】假设A是n n实对称矩阵。证明：存在实对称矩阵 B，使得A B3。【例7】假设

24、A是实对称矩阵。证明：若存在 m使得Am O，贝U A O。三二次型的矩阵二次型的矩阵都是对称矩阵，两者一一对应。 可逆线性变换与矩阵的合同关系两者一一对应。2 2 2【例 8】求二次型 f(Xi,X2,X3) Xi 2x2 X3 6X1X2 8X2X3 的矩阵。【例9】假设M是n n矩阵(不一定是对称的)。求二次型f(X) XtMX 的矩阵。四标准形、惯性定理与规范形1 标准形的计算配方法：2 2 2【例 10】二次型 f(X1,X2,X3) X12 2X22 X32 2X1X2 2X2X3注：应是可逆线性变换，故，变换前后变量个数相同。正交变换的办法：完全化成矩阵问题2 2 2 【例11】

25、已知实二次型f(X1,X2,X3) 3X1 ax? X3 4x2X3在一正交变换下可以变成3y； 3y； by；。求a,b及一个合适的正交变换。2 惯性定理，正、负惯性指数定理：惯性定理 定义：二次型的秩和正、负惯性指数 命题：二次型的秩和正、负惯性指数可以由其矩阵的特征值确定。【例12】假设A是n n实对称矩阵，且 A2 E , r(A E) s。求A的秩和 正、负惯性指数。3 分类Ep每个实对称矩阵 A均与Er p合同，称此矩阵为 A的规范形。O于是，两个n n实对称矩阵合同它们有相同的秩和正惯性指数。【例14】若将n n实对称矩阵按合同关系分类，共可分成多少合同类？解：秩的取值为0, 1

26、, 2, 3, 4,n合同类的个数为1, 2, 3, 4, 5,n+1共有(n+1)(n+2)/2.五.正定性定义：实对称矩阵、二次型的正定性、负定性定理：假设 A是n n实对称矩阵，则下述命题是等价的：1. A是正定的2. A的各个顺序主子式大于零3. A的所有特征值均大于零4. 存在实可逆矩阵 P，使得A PTp。2 2 2【例 13 】设 f(X1,X2,X3) X1 2x2 tX3 4tx1 X2 4x2X3。求 t,使之为正定二次型。【例14】设A, B都是正定矩阵。证明：A 1,A*, Am, A B都是正定的。问：AB是不是正定的？【例15】假设n n实对称矩阵 A是正定的，B是

27、n s实矩阵。证明：BTAB正定 r(B) s。【例16】假设n n实对称矩阵 A是正定的。证明： A E 1。第八部分空间解析几何.矢量代数1.数量积几何定义：是一数量,I丨丨cos3坐标表达：x yii 1几何意义：正交0,2.向量积几何疋义：是一向量，方向：,符合右手则；ijk坐标表达：XiX2X3yiy2y3几何意义：/般地,是平行四边形面积3.混合积定义:(,)()xiX2X3坐标表达：(,)yiy2y3yiy2y3几何意义：)=平行六面体的体积；四面体的体积；共面(,)0。简单性质：轮回。平面、直线sin1.平面方程(3) 确定平面的基本方法：点 +法向量【例i】【例2】【例3】一

28、点确定平面两相交直线确定平面两平行直线确定平面(4)截距式方程x y zia b c(5)特殊形式的方程(缺项)【例4】缺常数项表示过原点，缺 X项时表示与X轴平行。【例5】缺x, y时表示与xOy平面平行。2.直线方程（1）(2)x 1【例6】 求过点（3,2,1）且通过直线 2确定直线的基本方法：点 +方向向量 对称方程 参数方程【例7】【例8】【例9】直线的一般方程:y 3 z的平面13（标准方程）两点确定一条直线。 两相交平面确定一条直线。求过点P（3,2,1）且与方向(1,1,1),(2, 1,0)都正交的直线。视直线为两平面的交线一般方程与标准方程的互换【例10】化一般方程为标准方

29、程x y2x y2z3.位置关系：理解几何含义夹角(1)【例8】i与平面2x5的夹角。(2)距离【例9】点到直线的距离:向量积的模）。如:利用平行四边形的面积公式x 1 y 3 z 片 x3T T 32-（底与高的积，y 2 z 113(3)【例10】【例11】平面束【例12】间的距离。点到平面的距离：禾U用在法向上的投影的绝对值。 异面直线间的距离：公垂线与两直线的交点间的距离 线的方向是很容易得到的）（公垂求直线-_4-1在平面x y 3z 8432直线方程。0上的投影般曲线、曲面是由一个方程给定的，曲线是由两个方程给定的。由此也可看出，通常地，曲 线被看成是两个曲面的交线。必须弄清楚它们

30、的定义（几何上是如何确定的） 形特征（会画简单图形的草图）。1.2.曲面:;特定位置的曲面方程的特点；图球面：点和半径 柱面：准线（定曲线）+母线（的方向）2【例13】分别画出令a2X2a2b 1的草图，指出它们的图形特征。旋转面：母线（给定曲线）+定直线(轴)1，3.【例14】求在yOz平面上的曲线 f(y,z) 0绕z轴旋转所得曲面方x 0程。(答案：f( x2 y2, z) 0)4. 锥面：顶点+准线(重点准线是二次曲线、顶点是坐标原点的锥面)5. 空间曲线在坐标平面上的投影柱面、投影曲线【例15】求F (x, y, z)G(x,y,z)0的母线平行于z轴的投影柱面方程。0四.二次曲面方

31、程与图形:1.椭球面2.单叶双曲面3.双叶双曲面4.二次锥面(方程特点：二次齐次方程)5.椭圆抛物面6.双曲抛物面(马鞍面)222xyz12.2abc222xyz12.22abc222xyz1222abc222xy_z0222abc22xy2.22zab22xy.22zab22 z【例16】1与x20 (z 0 )的交线在xOy平面上的投影曲线方程。【例17】已知二次曲面 S1的方程为：z 3x2y2, S2的方程为：z 1 x2 。1. 问：S1, S2分别是哪种类型的二次曲面？2. 求S1与S2的交线在xOy平面上的投影曲线方程;五线性代数在空间解析几何中的应用A.平面直线与线性方程组【例

32、2 4】(8分)已知平面上三条不同的直线方程分别为11 :ax2by3c0l2:bx2cy3a0I3 :cx2ay3b0试证这三条直线交于一点的充分必要条件是a b c 0【例2 5】a-bCi假设矩阵Aa2b2C2是满秩矩阵。a3b3c3证明：直线Li：Xa3yb3zc3a-a2bib2CiC2L2 :XaiybizCia2a3b2b3C2C3交于唯一的一点,B. 二次曲面与二次型【例 2 6】设二次型 f (x-i ,x2, x3)x： 2x； x： 2kXjX31. 试就参数k不同的取值范围，讨论二次曲面 f(Xi,X2,X3)1 的类型；2. 假设k 0。若经正交变换 X QY , f (x-i, x2, x3)可 以化成标准形2y12 2y； 4yf，求参数k及一个合适的 正交矩阵Q。