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1、常微分方程 常微分方程试题及参考答案 导读：就爱阅读网友为您分享以下“常微分方程试题及参考答案”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持! 常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分)1. 常微分方程中的自变量个数是_.2. 路程函数S(t)的加速度是常数a ，则此路程函数S(t)的一般形式是_.3. 微分方程 =g( )中g(u)为u 的连续函数，作变量变换_，方程可化为变量分离方程.4. 微分方程F(x,y)=0中令P=y, 若x 、P 平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=(t),t为参数，则方程参数形式的通解为_.5. 方程 =(x+1)3的通解为_.6. 如果
2、函数f(x,y)连续，y= (x)是方程 =f(x,y)的定义于区间x 0x x 0+h上， 满足初始条件 (x0)=y0的解. 则y= (x)是积分方程_定义于x 0x x 0+h上的 连续解.7. 方程 =x2+xy， 满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是_.8. 方程 +a1(t) +an-1(t) +an (t)x=0中a i (t) i=1,2,，n 是a,b 上的连续函数，又x 1(t),x2(t),，x n (t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：_.9. 常系数线性方程x (4)(t)-2x(t)+x(t)=0的通解为_.10. 设A(t
3、)是区间a t b 上的连续n n 矩阵，x 1(t),x 2(t),，x n (t)是方程组x =A (t)x 的n 个线性无关的解向量. 则方程组的任一解向量x (t)均可表示为：x (t)=_的形式.11. 初值问题 (t)+2x(t)-tx(t)+3x(t)=e-t ,x(1)=1,x(1)=2,x(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组_.12. 如果A 是33的常数矩阵，-2为A 的三重特征值，则方程组x =Ax的基解矩阵exp A t=_.13. 方程组的奇点类型是_.二、计算题(共45分)1.(6分) 解方程= .2.(6分) 解方程x (t)+ =0.3.(6分) 解方程(y-
4、1-xy)dx+xdy=0.4.(6分) 解方程 5.(7分) 求方程：S (t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分) 求方程组 的基解矩阵(t).7.(7分) 验证方程： 有奇点 x 1=1, x2=0,并讨论 相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1. 设f(x,y)及 连续， 试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分因子.2. 函数f(x)定义于-x+，且满足条件|f(x1)-f(x2)|N|x1-x 2|,其中0N1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解. 常微分 方程试题参考答案一、填空题(每小
5、题3分，共39分)1. 12. 2+c1t+c23.u=4. c 为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+ 7. (x)=8. 对任意t9.x(t)=c1e t +c2te t +c3e -t +c4te -t10.x(t)=c1x 1(t)+c2x 2(t) +cn x n (t)11. x 1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t E+t(A+2E)+ 13. 焦点二、计算题（共45分）1. 解：将方程分离变量为 改写为 等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即 y=ln 或 e y =2. 解：令 则得=0当 0时-arc c
6、osy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当 =0时y= 即x3. 解：这里M=y-1-xy, N=x 令 u=xye-xu 关于x 求 偏导数得与Me -x =ye-x -e -x -xye -x 相比有则 因此u=xye-x +e-x方程的解为 xye -x +e-x =c4. 解：方程改写为 这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程 z=于是有或5. 特征方程为 特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t +c2e -t f(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解 =（At+B）, 代入方程得 -(At+B)=t+1两边比较同
7、次幂系数得A=B=-1故通解为 S(t)=c1e t +c2e -t -(t+1) 据初始条件得 c 1=因此所求解为： S(t)=6. 解：系数矩阵A=则 ， 而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵 7. 解：因 故x 1=1，x 2=0是方程组奇点 令X 1=x1-1, X2=x2, 即x 1=X1+1,x2=X2代入原方程，得 化简得 *这里 R(X)= , 显然 （当 时） 方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1. 证明：若dy-f(x,y)dx=0为 线性方程 则f(x,y
8、)=因此仅有依赖于x 的 积分因子反之，若仅有依赖于x 的 积分因子。 这里f(x,y),N=1由-方程为 这是线性方程.2. 证明：由条件|f(x1)-f(x2)| N|x1-x 2|,易 知，f(x)为连续函数， 任取x 0 作逐步点列xn+1=f(xn ) n=0,1,考虑级数x 0+因由归纳法知对任意k,|xk -x k-1| 故级数x 0+ 收敛即序列xn 收 敛，设对x n+1=f(xn ), 两 边求极限，注意f(x)连续，故x *=f(x*)即x *是 方程x=f(x)的解又设 是方 程x=f(x)的任一解，则*因N1,必 有x =因此解是唯一的 百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆 9