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1、自平衡自行车系统的建模与自动控制方法研究摘要：本文通过UG软件建立了自行车的三维数字模型，由此测量得到其相关参数。根据测量所得的参数，我们建立起了输入力与输出角度之间的传递函数，并对其进行了线性化处理，求得其状态方程。根据系统设计的任务要求，采用了根轨迹的极点配置方法、PID整定以及状态方程的任意极点配置三种方法去控制小车。最后还采用了ADAMS与MATLAB联合仿真的非线性模型做仿真分析，用线性下分析得到的反馈系数加载到非线性（在系统小角度的情况下）中也同样得到了相同的控制效果。关键字：自平衡自行车 UG线性化 ADAMS MATLAB 联合仿真 状态方程 根轨迹 PID 极点配置目录自平衡
2、自行车系统的建模与自动控制方法研究11系统设计任务及技术指标31.1系统设计任务选题31.2系统的技术指标要求31.3系统设计的工作内容32课程设计的意义33系统的组成与工作原理33.1被控制对象33.2控制框图44系统参数测量与数据处理44.1系统参数测量44.2数据处理45建立数学模型55.1自行车倾摆数学模型56系统设计与仿真56.1原系统的输出响应分析56.2根轨迹校正方法研究66.3PID校正方法研究116.4基于状态方程的控制方法研究137 ADAMS与MATLAB联合仿真模型157.1联合仿真模型的建立157.2 联合仿真结果分析168收获及体会189参考文献181系统设计任务及
3、技术指标1.1系统设计任务选题自平衡自行车的控制方法研究及其仿真实验1.2系统的技术指标要求1）平衡角度超调量不大于20%2）系统的调整时间ts=0.5s1.3系统设计的工作内容1）系统方案设计2）系统的参数获得3）建立数学模型4）系统控制方法研究5）建立系统仿真模型6）仿真结果分析2课程设计的意义本次课程设计是老师安排的自由选题，本系统选择自平衡自行车的控制方法研究，一方面是出于作者对运动控制方面颇感兴趣，另一方面这个课题也能更好地将我们本科及研一所学的内容从理论的角度转化到实际的工程项目中来。从实际的工程中去运用理论知识。将理论转化为生产力的一次重要学习探索。3系统的组成与工作原理3.1被
4、控制对象本系统设计的控制对象如图所示，我们在传统的自行车后尾处加两个产生作用力的风扇以控制自行车在前进方向的倾斜角时时刻保持在-22之间。图1 被控对象3.2控制框图系统主要是根据陀螺仪反馈回来的角度及角速度来调节风扇的转速进而改变风扇的作用力，从而产生与自行车倾斜方向的反向力矩来控制平衡。整个控制算法都一MCU中处理。图2 系统控制框图4系统参数测量与数据处理4.1系统参数测量由于课程时间比较短，而学校也没有相应的测量设备及资金支持。在这情况下，作者想出了一种与实际结果相近的处理方法。我们通过在网上查找自行车与风扇的参数主要有1） 自行车、风扇每个部件的材料密度2） 风扇速度与风扇力的关系曲
5、线通过这些参数我们就可以建立系统的机械三维模型（图3）。在三维软件UG中我可便可以查询到系统的参数M=19KGa=0.5 mL=0.6 mJc=0.79 kg.m2M：自行车的质量。a:自行车的质心高度。L:两风扇的中心距离。Jc:相对质心处的转动惯量。4.2数据处理根据平行移轴定理，我们可以算出自行车在接地点处的转动惯量J得：J=Jc+M*a2=5.54 kg.m2图3 自行车三维数据模型5建立数学模型5.1自行车倾摆数学模型建立动力学平衡方程得：2FL-Mgasin=J （1）当很小时，我们可以对其进线性化处理，令sin=得：2FL-Mga=J（2）对式（2）进行拉氏变换，从而我们可以得到
6、传递函数为：Gs=F=2LJs2+Mga=0.108s2+17将其写成状态方程的形式为：=0-1710+0.1080F y=1001 图4 受力分析图6系统设计与仿真6.1原系统的输出响应分析系统传递函数为：Gs=F=2LJs2+Mga=0.108s2+17在MATLAB中，键入如下的命令：num=0 0 0.108den=1 0 17sys=tf(num,den)sysc=sys/(1+sys)t=0:0.001:5;step(sysc,t)运行得到以下结果：图5 自平衡自行车的阶跃响应从图中可以看出，该系统在该系统下会出现持续振荡，是一个典型的无阻尼的二阶系统，系统不稳定。6.2根轨迹校正
7、方法研究闭环系统瞬态响应的基本特性与闭环极点的位置紧密相关，如果系统具有可变的环路增益，则闭环极点的位置取决于所选择的环路的增益，从设计的观点来看，对于有些系统，通过简单的调节增益就可以将闭环极点移到所需要的位置，如果只调节增益不能满足所需要的增益，就需要设计校正器，常见的校正器有超前校正、滞后校正和超前滞后校正等。系统传递函数为：Gs=F=2LJs2+Mga=0.108s2+17在MATLAB中，键入如下的命令：num=0 0 0.108;den=1 0 17;rlocus(num,den);z=roots(num)p=roots(den)得到的结果如下，系统的零极点为：z = Empty
8、matrix: 0-by-1p = 0 + 4.1231i 0 - 4.1231i系统的根轨迹为：图6 自平衡自行车的根轨迹从图中可以看出，该系统有两个极点，且两极点位于负虚轴上，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于负虚轴上，即系统总是不稳定（临界稳定）。6.2.1主导极点的确定方法自平衡自行车的根轨迹校正，可以转化为对系统传递函数为Gs的系统，设计控制器，使得校正后的系统的调整时间ts=0.5s（5%），最大超调量Mp10% Mp=e-(1-2)10%可以得到：=0.59115，近似取=0.6由=cos可以得到 ：=0.938306弧度，其中位于第二象限的极点和0点的连线与实轴负方向
9、的夹角。性能指标与根轨迹的关系如图 所示。图7 性能指标与根轨迹的关系又由： ts=3n0.5可以得到：n=10，于是可以得到期望的闭环极点（主导极点）为：ncosjsin=68j6.2.2根轨迹极点配置方法A:校正后系统的阶数不变-加入的校正装置后系统的一个极点会与一个零点相互抵消,一般选择离虚轴较近的极点，较远的极点的作用较小，消除了作用不太大。B:校正后系统的阶数升高-如果系统升高，系统出了主导极点S1、S2以外，还会多出来一个极点S3，若选择，此时通过特征方程对应相等求出校正装置中的零点极点的值。若选择S3与Gk(s)中某零点成为对偶极子（S3与某零点离的很近，可以作用相互抵消）。然后
10、通过特征方程对应相等求出相应的值。极点配置的原理如图8所示。Gcc(S)G(S)C(S)R(S)图8 极点配置的原理已知系统传递函数为：Gs=F=Ks2+17 K=0.108设校正装置:Gccs=K1(S-Z)(S-P)此时:Gk(s)=2KK1(S-Z)(S2+17)(S-P)通过分析，此时选择校正后系统的阶数升高且即取S3=-30 的方法进行校正。对于单位负反馈来说： s=S2+17S+P+KK1(S+Z) =S3+PS2+17+KK1S+17P+KK1Z =S2+12S+100S+30 =S3+42S2+460S+3000 所以： P=42 P=42 17+KK1=460 K1=443K
11、 17P+KK1=300 Z=5.16 GKS=Gs*Gccs =443(S+5.16)(S2+17)(S+42) =443S+2285.88S3+42S2+17S+714在MATLAB中，键入如下的命令：num=0 0 443 2285.88;den=1 42 17 714;rlocus(num,den);得到的结果如下，校正后的根轨迹如图9所示。 图9校正后的根轨迹从图中可以看出，该系统两主导极点位于左半平面，即系统是稳定的。在MATLAB中，键入如下的命令：num=0 0 443 2285.88;den=1 42 17 714;sys=tf(num,den);sysc=sys/(sys+
12、1);step(sysc);得到的结果如下，校正后的阶跃响应如图10所示。 图10 校正后的阶跃响应从图中可以看出，校正后的系统具有较好的稳定性，校正后系统的调节时间ts=0.504s,超调量%=48.9% ，稳态值为0.759，有较大的稳态误差。所以，进一步加入校正装置，减小系统的超调量。6.2.3消除稳态误差的方法本系统采用前馈校正来消除系统的静态误差，前馈校正又称顺馈校正，是在系统主反馈回路之外，由输入经校正装置直接校正系统的方式。前馈校正可以单独作用于开环控制系统之外，是基于开环补偿的方法提高系统的精度，使控制系统在稳态时，能准确地使被控量控制在给定值上。前馈补偿的原理如图 所示。Gk
13、x(S)Gk(S)C(S)R(S)图11 前馈补偿的原理 CS=1+GkxsGk(s)1+Gk(s) R(S) ES=RS-CS =1-GkxGk1+GkRS ess=limS0SES=S3+42S2+17S+714-Gkx(443S+2285.88)S3+42S2+17S+714+443S+7143(1)714-2285.88Gkx=0时; Gkx=7142285.88虽ess=0,但Mp40% (不合题意舍)(2)714-Gkx443s+2285.88=0 当Gkx=714443s+2285.88 时，ess=0,Mp20%(舍) 当Gkx=7141700s+2285.88时，ess=0,
14、Mp20%(取)6.2.4仿真结果分析在MATLAB Simulink 下建立自平衡自行车的模型如下：图12自平衡自行车Simulink模型运行得到如下结果,前馈校正后的阶跃响应如图13所示：图13 前馈校正后的阶跃响应从图中可以看出，综合校正后的系统的稳态误差为零，系统的调节时间ts=1.0s,超调量%=19.9% ，所以系统牺牲了其动态响应速度，来减小系统的稳定误差，提高控制系统的精度。6.3PID校正方法研究6.3.1 PID 校正的原理PID校正装置（又称PID控制器或PID调节器）是一种有源校正装置，它是最早发展起来的控制策略之一，在工业过程控制中有着最广泛的应用。总体而言，它主要有
15、如下优点： （1）原理简单，应用方便，参数整定灵活。（2）适用性强。可以广泛应用于电力、机械、化工、热工、冶金、轻工、建材、石油等行业。典型的PID原理图如图14所示图14 PID原理图PID控制器的数学描述为： 上式中u(t)为控制输入，e(t)=r(t)-c(t)为误差信号，r(t)为输入量，c(t)为输出量。6.3.2 PID模型仿真分析在MATLAB Simulink 下建立自平衡自行车的PID模型如下：图15自平衡自行车的PID模型调节各参数使KP=1200;Ki=600;Kd=96，使得系统达到最佳状态，运行得到如下结果，自平衡自行车的PID模型的阶跃响应如图16所示：图16 自平
16、衡自行车的PID模型的阶跃响应从图中可以看出，PID校正后的系统的稳态误差为零，系统的调节时间ts=1.0s,超调量%=10% ，具有较好的动态性能。 6.3.2 加入干扰信号仿真分析当输入为零时，在t=2s时，加入脉冲干扰，在MATLAB Simulink 下建立加入干扰的PID模型如图17所示：图17 加入干扰的PID模型加入干扰脉冲，运行得到如下结果如图18所示：输入脉冲风扇力角度图18加入脉冲干扰如图所示，在t=2s时，加入脉冲干扰，风扇在很短的时间内，加入一个比较大的风扇力，以保证自行车的平衡，此时小车在很小的时间内达到平衡，且在很小的范围内摆动。 6.4基于状态方程的控制方法研究6
17、.4.1状态方程的极点配置思想经典的控制理论中，一般只针对的是单输入单输出的模型，而在现代控制理论中，状态方程的引入，它能反映系统的全部独立变量的变化，能同时确定系统的全部内部运动状态，而且还可以方便地处理初始条件。这样，在设计控制系统时，不再只局限于输入、输出量、偏差量，为提高系统性能提供了有力的工具。由第五章我们可知，系统的状态方程为：=0-1710+0.1080Fy=1001因为rankAB B=2，由此可知，系统完全能控，所以能对系统的极点进行任意的配置。图19 极点配置控制图同样选主导极点为 -68j。6.4.2极点配置方法原系统的特征多项式：v SI-A=S17-1S=s2+17v
18、 a0=17,a1=0,a2=1变化矩阵v Tc=ABB10a11=00.1080.1080能控标准型v =01-170+01Fv y=00.1080.1080v SI-A+BK=s2+a1-k1S+a0-k0=s2+12S+100v a1-k1=12a0-k0=100k1=-12k0=-83K=kTc-1=-111.111-768.518所以k0=-111.111,K1=-768.518。7 ADAMS与MATLAB联合仿真模型7.1联合仿真模型的建立ADAMS是全球运用最为广泛的机械系统仿真软件，用户可以利用Adams在计算机上建立和测试虚拟样机，实现事实再现仿真，了解复杂机械系统设计的运
19、动性能。它能在软件中导出MATLAB的系统的状态方程。本文基于该方法建立了ADAMS与MATLAB联合仿真模型，容易地机电一体化的控制仿真。7.1.1 ADAMS 机械模型通过第四章建立的UG三维数据模型，将其导入ADAMS中，并增加相关的运动副约束。如图6所示。1（车轮）与地面：转动副连接。1（车轮）与2（车架）：转动副连接。2（车架）与4（风扇）：转动副连接。3（干扰小球）与2（车架）接触力4（风扇）添加风扇作用力。其中3是模拟两个运动的干挠，在仿真的2秒后在力的作用下与自行车发生碰撞，这样子是为了实现我们控制系统对干挠的响应分析。3421图20 ADAMS机械模型7.1.2联合仿真建立方
20、法从图7我们可以看出，Step1、Step2是对机械模型的描述，Step3Step5是对状态方程状态变量的输入输出处理，Step6是在MATLAB Simulink软件中建立的模型。图21 联合仿真模型步骤7.1.3 MATLAB仿真模型在MATLAB中我们还另外加入了来自MATLAB数学模型的周期肪冲干扰，干扰发生的时间在系统运动5秒以后。K0,K1也就是我们第六章中极点配置后的反馈值。图22 ADAMS与MATLAB联合仿真模型7.2 联合仿真结果分析7.2.1系统阶跃响应分析从响应曲线可以看出，我们的调整时间为ts=0.5s， 系统的超调量很小，几乎为零。这说明了我们的极点配置控制器的良
21、好性能，完全达到了我们的控制指标。图23 系统阶跃响应7.2.2 系统抗周期干扰响应分析从响应曲线中可以看出，每一次来干扰时系统都能很快（t=0.5）在回到平衡位置，风扇力每一次产生的力大小基本一致，但又有所不同，这可能是软件在计算中数值处理的问题。风扇力在一段输出是不变的，其实最主要是考虑到实际系统中，风扇力的输出不可能是无限大的，所以在仿真模型中加了一个最大值的限幅处理。图24 系统抗周期干扰响应通过与第六章中的根轨迹极点配置、PID控制的响应曲线对比，我们可以得到以下结论：控制方法效果根轨迹极点配置效果比较好，能根据要求计算出相关参数，但会可能增加系统阶数。PID整定校正装置比较简单，但
22、整定参数时比较困难，即使按照大牛的方法效果也不见得好，要多次试凑。状态方程极点配置效果最好，计算也简单，但要满足模型完全能控并反馈每个状态。表1 三种方法的控制对比8收获及体会本文通过UG软件建立了自行车的三维数字模型，由此测量得到其相关参数。建立起了输入力与输出角度之间的传递函数，根据系统设计的任务要求，采用了根轨迹的极点配置方法、PID整定以及状态方程的任意极点配置三种方法去控制风扇力的输出。在实验的过程中，我们遇到了很多问题，如系统的线性化、极点的配置。通过查阅相关的资料并积极主动的与老师和同学讨论，我们最终克服了一个又一个的难题，在这个过程中，虽然很痛苦，但我们却收获良多，使我们对理论
23、知识有了一个新的认识，同时也让理论知识更好的指导我们的实验和学习。最后，我觉得，我们应该更一步加强动手能力的培养，而非仅仅停留在理论水平上，唯有这样，我们才能学以致用。9参考文献1郑大忠.现代控制理论M.北京.清华大学出版社.2002.102 固高科技有限公司.倒立摆与自动控制原理实验M. 2005.3 胡寿松.自动控制原理M.北京：科学出版社，2007.206217.4 Katsuhiko Ogata.现代控制工程M.北京.电子工业出版社.2003.075刘卫国.MATLAB程序设计与应用M.北京.高等教育出版社.2010.126李国勇.现代控制理论习题集M.北京.清华大学出版社.2011.17梁银.两轮自平衡小车控制技术研究.2011.128周小仨.两轮自平衡电动车设计方案的讨论.2013.039卢锋.两轮小车姿态检测与平衡控制研究.2014.0319