学而思七上第2讲绝对值几何意义突破.doc

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1、领先中考培优课程 MATHEMATICS 2绝对值几何意义突破 知识目标 目标一熟练绝对值式子的几何意义距离，理解最值的含义目标二掌握几何意义求多个绝对值之和的最小值的方法目标三掌握一般的绝对值式子求最值、定值的方法一零点分段法思维引入最值的含义 知识导航 最大值与最小值统称为最值， 一个代数式一般能取到无数个值，我们把其中最大的值叫做最大值，最小的值叫做最小值，例如： 当x等于任意数时，代数式能取到无数个值但其中最小的值是0因此可以说,仅当x2时取得最小值为0；此时可以无穷大因此它没有最大值 当1x3时，2x3能取到无数个值，但当x1时2x 3取得最小值为1；当x3时 ， 2x3取得最大值为

2、3这里也可以描述为当lx3时,1 2x 33练习最值的含义的理解1. 的最小值是 ，当x 时它取得最小值； 一的最大值是 ，当x 时它取得最大值； 当x 时，(13x)2 2取得最小值为 ； 当x 时，3一取得最大值为 ；2.先化简，再求它的最值，并说明相应的x的取围3 先化简，再求它的最值，并说明相应的x的取值范围. 总结归纳 虽然“最值”这个概念是代数层面上的，通过代数计算来找最值是最本质的方法，但通过上面的练习不难发现，如果纯通过代数计算来找最值，有时过程会比较繁琐，计算量也较大，耗时又易错. 初中知识两大主线几何与代数各成体系又相辅相成，例如数轴就是用形来表示数，后面学习坐标系与函数后

3、会有更多数与形的结合现阶段，绝对值的代数运算意义和它在数轴上表示距离的几何意义，就架起了数与形的桥梁灵活运用绝对值的代数意义与几何意义，融会贯通，就能使二者相得益彰，不仅能为解题带来很大帮助，这种思维间的转换对以后的学习也大有裨益 本讲要学习的主要就是仅含绝对值的式子求最值的方法绝对值的几何意义模块一 绝对值的几何视角距离知识导航通过前面的学习我们对绝对值的代数意义已经很熟悉 ，这 让我们看到一个含绝对值式子的第一反应就是，我们可以把它拆开例如，当这个式子出现在我们眼前，它就被我们强迫症般的在脑海中变成了诚然，这种利用代数意义进行的转换在做绝对值化简时是必要且实用的但在做最值类题型时反而绕了，

4、转换为距离更简实际上，前面我们已经多次接触了绝对值的几何意义，上一讲更是大量用到了绝对值来表示数轴上点的距离，因此当我们看到要“表示数轴上的距离”时会不自觉的想到“可以用绝对值来表示”反过来，我们也应该认识到，当一个绝对使式子出观时，它也代表着距离例如，表示数轴上数a对应的点到原点的距离，的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离. 所以，当这个式子出现在我们眼前，它还应该被我们强迫症般的在脑海中变成“这表示数轴上x对应的点与1对应的点之间的距离”练习 几何视角1. 的几何意义是数轴上表示1的点与表示2的点之间的距离，则 ；2的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离： 1的几

5、何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离是 ：3. 的几何意义是表示 的点与表示 的点之间的距离，且； 的几何意义是表示 的点与表示 的点之间的距离，； 4的几何意义是数轴上表示 点与表示 点之间的距离；若2，则x ；5 当x1时， ，当x时， .例1(1)数轴上四个点的位置关系如右图，且它们表示的数分别为p,q，r，s若 则 (2)有理数a、b、c、d各自对应着数轴上X、Y、Z、R四个点，且它们满足以下三个条件： 比，都大； c是a、b、c、d中第二大的数则点X、Y、Z、R从左到右依次是 .练满足成立的条件是( )A ab0 Bab 1 C. ab 0 D. ab1模块二 绝对值之和求

6、最小值知识导航求的最小值；即数轴上x与1对应的点之间的距离，即数轴上x与2对应的点之间的距离， 把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值.设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x.当lx2时，即P点在线段AB上，此时； 当x2时，即P点在B点右侧，此时 PAPBAB2PBAB； 当x 1时，即P点在A点左侧，此时PAPBAB2PAAB；综上可知，当lx2时（P点在线段AB上），取得最小值为1此结论可以推广：若已知以ab，则当axb时，取得最小值为ba.题型一 两个绝对值相加求最小值例2（1）当x满足 时,取得最小值为 ； 当x满足 时,取得最小值为 ； 当x满足 时，取

7、得最小值为 （2）当1x6时，的最小值为 ,最大值为 .（3）当取得最小值时，试化简 总结归纳 绝对值的最值问题多以选填题的形式考察，上述绝对值几何意义的方法能迅速求解，但此法不能作为大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别求出每一段的取值范围，最后得到最值练（1）当x满足 时，取得最小值为 ； 当x满足 时取得最小值为 （2）已知x为整数，且满足,则x的所有可能值之和为 .（3）求的最小值，并写出相应的x的范围 挑战压轴题 （2014武昌七校七上期中压轴题）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对 值，例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则

8、A、B两点间的距离表示为，根据以上知识解题：(1) 若数轴上两点A、B表示的数为x、1. A、B之间的距离可用含x的式子表为 ；若该两点之间的距离为2,那么x值为 .(2) 的最小值为 ，此时x的取值范围是 ； 已知，求x2y的最大值和最小值.拓已知，求xy的最值题型二 多个绝对值相加求最小值以四个绝对值之和为例，求的最小值； 设A、B、C、D、P五点对应的数分别为1、2、3、4、x，在数轴上画出各点，排好序之后由远及近依次两两一组求和。 当1x4时，PAPD413，取得最小值； 当2x3时，PBPC 321，取得最小值； 所求的，即上面两式与之和，如果这两式能同时取得最小值，即PAPD与PB

9、PC同时最小，那么它们的和必然也取得最小值 故当2x3时，的最小值为(41)(32)4再以三个绝对值之和为例，求的最小值； 设A、B、C、P四点对应的数分别为0、1、2、x 当0x2时，取得最小值； 当xl时，取得最小值； 所求的PAPBPC即上面两式之和，如果这两式和能同时取得最小值，即PAPC与PB同时最小，那么它们的和必然也取得最小值故仅当xl时，的最小值为(2 0)02若求更多的偶数个或奇数个绝对值之和，可以用同样的方法求其最小值例3（1）当x满足 时，取得最小值为 ； 当x满足 时，取得最小值为 ；当x满足 时，取得最小值为 ； (2)当x满足 时，取得最小值为 ； 当x满足 时，取

10、得最小值为 ；（3）当x满足 时，取得最小值为 ；当x当x满足 时，取得最小值为 ； （4）若0a10,则当x满足 时，的最小值是 ；总结归纳奇数个x取“中间点”若，当x满足 时，取得最小值；最小值为.偶数个x取“中间段” 若，当x满足 时，取得最小值； 最小值为.练 (1)当x满足 时，取得最小值为 ； 当x满足 时，取得最小值为 . (2)求的最小值，并写出相应的x的范围拓求的最值； 求的最值.模块三 绝对值之差求最值 知识导航求的最大值：设A、B、P三点对应的数分别为l、2、x，当1x2时，即P点在线段AB上，此时PAPB，其值在1到1之间，其中，当xl时，PAPBl，当x2时PAPB1

11、,当lx2时，1PAPB1.当x2时，即P点在B点右侧，此时PAPBAB1 当xl时，即P点在A点左侧，此时PAPB1 综上可得：当xl时（P点在A点左侧）取得最小值为l： 当x2时（P点在B点右侧）取得量大值为1 用绝对值代数意义展开亦可知 此结论可以推广： 的最大值为最小值为，至于当x满足什么条件时分别取最大、最小值则可以画数轴分析或把绝对值展开计算例4 （1）用绝对值的几何意义求的最值.(2) 用“零点分段法”化简，求出最值，并说明相应的x的取值范围(3) 求的最值 练（2012武昌七校七上期中） 当x在何范围时，有最大值，并求出最大值.当x在何范围时，有最大值，并求出它的最大值代数式最

12、大值是 模块四 定值问题 知识导航 定值即指代数式的值恒为某一个数 例如用“零点分段法”化简可得.可见当x2时的值恒为1即定值为1；当xl时的值恒为1，即定值为1 再如，令s ，化简可得s，可见对于2xl范围内的任意x值，s的值恒为常数1，我们就说当2x1时s为定值综上可知，要让某式有定值，必须使它在某一条件下的取值与x无关因此，定值问题的核心任务是，找到x的某个取值范围，使得代数式中的x正好可以相互抵消 例5 (1)如果对于某一给定范围内的x值，p为定值，则此定值为 ，相 应的x的范围是 （2）如果对于某一给定范围内的x值，p为定值，则此定值为 (3)如果对于某一给定范围内的x值，p 为定值

13、，则此定值为 ， 相应的x的范围是 .练如果对于某一给范围内的x值，m为定值，则此定值为 ，相应的x的范围是 . 总结归纳 定值问题虽然也可以用绝对值的几何意义转化为距离来求解，但它并不是此类题型的本质解法，仅在x的系数都为l时此法较为便捷产生定值的根本原因是x相互抵消了，因此定值问题的本质解法是用类似“零点分段法”的思路，将式子中的每个绝对值拆开，配x的系数使它为0，从而迅速找到相应的x的范围，并求出定值.当然，上述方法都针对的是选填题，能迅速找到答案如果是需要写过程的大题，无论是求最值还是定值，都只能用“零点分段法，分类讨论求解例6 (1) 若的值恒为常数，则x应满足怎样的条件？此常数的值

14、为少？（2）（2014武昌七校中）如果对于某一特定范围内x的任意允许值， s 的值恒为一常数，刚此常数值为（ ）. A.0 B.2 C4 D.6(3) 已知对于某一特定范围内a的任意允许值，的值恒为一常教 则此常数值为( ) A. 12 B.2 C12 D12或12(4)如果对于某一特定范围内x的任意允许值，s的值恒为一常数，则相应的x的取值范围是 .练 若的值是一个定值，求a的取值范围.拓（2012外校七上期中）已知x为正数，且对于x在某一范围内任意取值，代数式 的值恒为定值，试求出x的取值范围及这个定值第2讲 绝对值几何意义突破（课后作业）1.不相等的有理数a、b、c在数轴对应的点分别为A

15、、B、C，如果， 那么点A、B、C在数轴上的位置关系是( ) A点A在点B、C之间 B.点B在点A、C之间 C点C在点A、B之间 D.以上三种情况均有可能2 已知0 p20，当px20时，的最小值是( ) A. 40 B0 C. 20 D一个与p有关的代数式3. 如果对于某一特定范围内的任意允许值，p 的值恒为一常数，则此值为( ) A.1 B0 C1 D1或14. 如果对于某一给定范围内的x值，p为定值，则此定值为 相应的x的范围是 5根据绝对值的几何意义可知：，它在数轴上的意义是表示3的点与原点之间 的距离；又如式子，它的几何意义是表示8的点与表示3的点之间的距离，那么： （1）在数轴上的

16、意义是 ； （2）的最小值为 ； （3）的最小值为 .6. 如果对于某一特定范围内x的任意允许值，S的 值恒为一常数，则此常为 ，相应的x的取值范围是 .7. 已知a为整数，且满足，则a的值为 .8. （1）当x满足 时，取得最小值为 ； （2）当x满足 时，取得最大值为 ； （3）当x满足 时，取得最小值为 ； （4）当x满足 时，取得最小值为 ； （5）当x满足 时，取得最大值为 ； （6）当x满足 时，取得最小值为 .9. 已知abcd求的最小值，并求出此时x的取值范围10.求的最值11.当的值最小时，求的最值.12 如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P，使 这5台机床到供应站P的距离总和最小，点P应建在哪？最小值为多少？