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1、4. 3多项式方法求特征值问题创作：欧阳学时间：2021.03. 03方法求多项式系数我们知道，求n阶方阵 A的特征值就是求代数方程(p(A) =1A - A/ 1= 0 (431)的根。仅刃称为A的特征多项式。上式展开为0)=兀 + Pln-l + P2An-2 + Pn (其中戸，“2，”为多项式仅刃的系数。从理论上讲，求 A 的特征值可分为两步： 笫一步直接展开行列式| A-刀|求出多项式仅兄)； 第二步求代数方程(PM = 0的根，即特征值。对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计 算量则很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用 F-L(Faddeev-Leverrier)方
2、法求特征方程(中多项式 0(刃的系数。由于代数方程求根问题在第 2 章中已经介 绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A的特 征多项式卩(几)，所以称这种方法为多项式方法求特征值问 题。H已矩阵 a=5的对玮线元素之和为A = 5+心2+ + ”P =碍Pi=LtrB2Py = +隔利用递归的概念定义以下n个矩阵Bk伙=n):= A,Bq A(B - pj),By = A(B2 -p2I)y Pk= frBkBk-几 J)， 1Bn = A(B“ - /?_,/),卩“(4 3 4 )可以证明式中 几* = 12，仏 即是所求 A 的特征多项 式0)的各系数。用式求矩阵的特征多项式系数
3、的方法称为F-L方法。相应特征方程为：(一 1)(兄-卩仇-p2 -pn) = 0()而且可证矩阵A的逆矩阵可表示为=几例1求矩阵的特征值与A.解用F-L方法求得所以A的特征方程为此方程的根，即特征值为从例1中的计算结果可知BjH Faddccv曾经证明: 对n阶矩阵 A,按式计算出的氏总有待征向量求法当矩阵A的特征向量确定以后，将这些特征值逐个代入齐 次线性程组(A-刀)x=o中，由于系数矩阵A-刀的秩小于矩 阵a-j的阶数n,因此虽然有n个方程 n个未知数,但实际 上是解有n个未知数的相互独立的r个方程(Yn).当矩阵 A 的所有 特征值互不相同时，这样的问题中要解的齐次方程组 中有n-1
4、个独立方程，其中含有n个特征向量分量，因此特征 向量分量中至少有一个需要任意假设其值，才能求出其他特 征分量.在计算机中解这样的齐次线性程组，可用高斯-若当消去法， 以便把一组 n个方程简化为等价的一组 nl个方程的方程 组.然而，用高斯-若当消去法简1匕一个齐次线生程组时，方程 之间不都是独立的，在消去过程中 系数为零的情况较多.必 需交换方程中未知数的次序，以避免主元素位宣上为零的情 况.因此，为了提高精度和避免零元素的可能性，我们总是用 主元素措施把绝对值最大的 系数放于主元素位置.例如，個/设矩阵A为其特征方程为4-22-2-53-22-241-2=0展开后为故特征值分别为 下面求特征
5、向量，将儿代入方程组（人-皿）兀=0中，得3x + 2x2 - 2x3 = 0 一 5 + 2x2 + 2x3 = 0-2x, + 4x, + Ox3 = 0（438）以-5为主元素，交换上式第一与笫二个方程得一 5X + 2x2 + 2x3 = 0 3xl + 2x2 一 2x3 = 0（439）一 2xl + 4x2 一 Ox3 = 0用高斯-若当消去法消去-5所在列中的，并把主元素所在 行调到最后，得n .164 . _门c164 c 0a)h as Xy = 02 2 n,v. 一一也 _ x. = 05 5再以16/5为主元素，消去它所在列中的巾，并把主元素所在 的行调到最后、得OX
6、j + Qx2 + 0x3 = 0 X + 0x2 - x3 = 02Ox. +- x. = 04这就是用离斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价 的一组两个独立方程的!斉形.因为这个等价的方程组包含两 个独立的方程，而有三个未知数，所以只要假定其中一个值, 则其它两个值就可以通过两个独立方程解出上匕如，令兀=一1, 则傅到矩阵 A 的对应于人=1的一个特征向量为对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述对人T的推导过程相同.计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是，用 笫3章讨论过的高斯-若当消去法的公式,方程组的系 数矩阵经过第一次消去后的矩阵B为16 _兰T _516_4T _5
7、_2 _2(4312)*5 5以矩阵为方程组(4.30)的系数矩阵，其中省略了有0弄口 1元素的第一列.1-2 1-4一B1在进行笫二次消元之前,要应用完全主元素措施对前两行进 行最大主元素选择,然后再进行必要的行或列 交换.每完成 一次消元过程，总省略只有 0 和 元素的第_列，并且计算 机仅寻找矩阵的前nk行中的最大主元素，其中k是消元过 程应用的次数.对(4.3.12)式再进行一次消元过程，则得到列 矩阵此矩阵是对应于方程组的系数矩阵,不过省略了含0 和 1元素的前两列.一般来说，最后矩阵列的数目等于矩阵 A-A1的阶数和秩的差值.由于方程组有三个未知数，两个独立方程，所以计算机 必须任
8、意给定一个未 知数 的值，以便可 以从其他两个 独立方 程中解出另外两个未知数.为方便，在计算机决定特征向量 时、要恰当地设定任意选取的未知数的值例如，令丫3 = 一1,由 方程组(4311)知道,其他两个分量的值正好能从含兀的非零 系数项得出为此，从计算机所存储的最终矩阵中，令B最上面的0元素为并扌巴它丿I页次调到最下面第三行的位置上，就 在工程问题中，从特征方程所求 出的 特征值，少数惜形也有 相同的.一般地，当一个特征方程有 k 童根2时，矩阵人-刀的 秩可能比其阶数少1,或2,或3,.,或k,当然对应于久的线性 无关的特征向量的个数也就是1,或2,或3,.,或k,下面通过 一个特征值对
9、应两个线性无关特征向量的例子进一步说明 计算机求特征向 量的方法.得到所求的特征向量设矩阵A为其特征方程为 展开后得所以特征值为(4314)为了决定兄=一1的特征向量，将兄=一1代入方程组(4一刀)X=0, 得_4 2 42 1 2x24 2 4.=0(4315)应用一次高斯-若当消去法，得00o000X2_11/21兰3.=0写成矩阵形式式的系数矩阵为o0(4316)1/2因为方程组(4315)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2, 因 此对应于几=-1有两个线性无关的特征向量，必须绐两个 未知数任意规定值，才能确定这两个线性无关的特征向量, 由式可看出，一般总是选择农=-1*3=求一个特
10、征向量;选择v2 =0,x3 =-1求另一个特征向量;这样有两个线 性无关的特征向量计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是，在式的 B中，把第一列中第一个0元素用1代替，笫二列中笫二个 0元素也用-1代替，然后把第一、笫二行J帧次调 到最下面一行的位宣上，第三行自然就成了笫一行，如此 调换后矩阵的笫一列和笫二列就是所求的两个线性无关的 特征向量。对应于几=-1的全部特征向量为 其中匕与灯是任意常数，且不同时为零。为了说明列交换的必要性，避免主元素为零，再举一 个例子，设矩阵A为其特征方程为 特征值为对应于2 = 2的特征向量可由解下列方程组而求得-4-8-12124兀200_1 _=0(43
11、17)用一次高斯-若当消去法，得=01T “ 1-1 x2(4318)若不进行列交换，则下一个消元过程只能在笫一行的笫二 个元素与第二行的第二个元素中找最大主元素，而它们都 是零，我们不得不对式进行列交换，即交换未知数 之间的次序，之后再进行消去过程.对式进行列交换，即把绝对值最大系数放在主 元素位萱，显然是第一列与第三列的交换，交换后成为-124-1一820-410 JLJV3x2=0(4.3.19)其中未知数列矩阵中心与心也进行了交换，这样才能保证 刀式与(4319)式等价，对式进行一次高斯-若 当消去法，得0- 2/3-1/3_兀302/31/3x2=012/31/3(4.3.20)再进行一次消去过程，得000 100V,011/2在计算机中计算,0 01/2(4.3.21)剩下一个最终的列矩阵(4322)将(4322)式中的列矩阵B中第一个0元素用-1代替，并随 即调到最下面一行，便得到01/2-1这就是对应于方程组的解，在计算机程序中应把原 来进行列交换的列号次序记住，童新把式中各分量 搭列_下，即交换第一行牙口第三行的元素，就得到对应于几=2的特征向量对应于的全部的特征向量为-T1/2kLo_其中k为不等于零的任意常数.时间：2021.03. 03创作：欧阳学