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1、第十节 导数的概念及运算考纲传真1.了解导数概念的实际背景 2通过函数图象直观理解导数的几1何意义.3.能根据导数的定义求函数y= c(c为常数)，y= x, y=x, Y=x2, y= x3, y= ,x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单 函数的导数.1. 导数的概念函数y=f(x)在x= xo处的导数：定义：称函数y=f(x)在x= xo处的瞬时变化率/(.V 4- Ax ) -/(x )A vlhH&二lim ”为函数y= f(x)在x= xo处的导数，记作f (xo)y)一心)AxOt*0 Ar或 y |x =xo，即 f(xo)m 学Jv 7 JkT
2、A.V几何意义：函数f(x)在点xo处的导数f (xo)的几何意义是曲线y=f(x)在点 (xo, f(xo处的切线斜率.相应地，切线方程为y_ f(xo) = f (xo)(x_xo).(2)函数f(x)的导函数：称函数f (x) =li閒人忑十吉I 一/(玄)严山为f(x)的导函数.2.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x) = c(c为常数)f (x) = 0f(x) = xn(n Q*)f (x) = nxn 1f(x) = sin xf (x) = cos xf(x) = cos xf (x)= sin xf(x) = axf (x) = axln a(a 0)f(x) =
3、 exf (x) = exf(x) = logaxf (x)二 xln af(x)= ln xf (x)=- 1 x3.导数的运算法则(1) f(x) (x) f(X) (x)；(2) f(x) g(x)，= f (x)g(x) + f(x)g (x);f xgx fxgx(g(x)工 0).常用结论1. 曲线y= f(x) “在点P(xo, yo)处的切线”与“过点P(xo, yo)的切线”的区 别：前者P(xo, yo)为切点，而后者P(xo, yo)不一定为切点.2. 直线与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直 线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个.3. 函数y
4、= f(x)的导数f (x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映 了变化的方向，其大小f (x)|反映了变化的快慢，(x)|越大，曲线在这点处的 切线越“陡”.基础自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X” )(1) f (xo)与 (f(xo)表示的意义相同.()求f (xo)时，可先求f(xo)再求f (xo).()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()若 f(a) = a3 + 2ax x2,则 f (a) = 3a2 + 2x.()答案x x VV2. (教材改编)有一机器人的运动方程为s(t) = t2+3(t是时间，s是位移)，则
5、该机器人在时刻t= 2时的瞬时速度为(19ARD 由题意知，机器人的速度方程为3v(t) = s (t)= 2t 孑，故当 t= 2 时，机313器人的瞬时速度为v(2)= 2X 2护=才3 .函数y= xcos x sin x的导数为()A. xsin x B. xsin xC. xcos x D . xcos xB y = cos x xsin x cos x= xsin x，故选 B.4. 若 f(x) = xex,贝U f (1) =.2e f (x) = ex+ xex，贝U f (1)= e1 + e2e.5. 曲线y=在点M( n 0)处的切线方程为 .xxcos x sin x
6、n cos nin n 1x+nn= 0y =x，贝y|x= n=n = n，贝切线导数的计算1. f(x) = x(2 018+ In x)，若 f (xo) = 2 019,则 xo 等于()A.e2 B. 1C. In 2D. eBf(x) = 2 018+ Inx+ 1 = 2 019+ Inx,则f (xo) = 2019+In xo= 2 019,解得X0= 1，故选B.2. 已知 f(x) = x2 + 2xf (1)，贝U f (0) =.4 f (x) = 2x+ 2f (1),贝U f (1) = 2 + 2f (1)，解得 f (1)= 2所以 f (x) = 2x 4,
7、则 f (0)= 4.3. 求下列函数的导数.(1)y=讐；x x(2) y=x sin qcos ?；2 x 1(3) y=x e.sin x+ cos xxx解(1)ycos xe cos x ex2e1 , 1(2) v y= x qsin x,二 y = 1 qcos x.(3) V y= e_ 1x2ex,二 y = e 1(2x ex+ x2ex)= ex 1(x2 + 2x).规律方法导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式先展开化为多项式的形式，再求导公式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数， 再求导对数形式先化为和、差的形式，再求导根式形式先化为分数指数
8、幕的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待疋系数如含f (X0), a, b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导导数的几何意义?考法1求切线方程【例1】(1)(2018全国卷I )设函数f(x) = x3+ (a 1)x2+ ax.若f(x)为奇函数, 则曲线y= f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A. y= 2xB. y= xC. y= 2xD . y=x(2)已知函数f(x) = xln x，若直线I过点(0, 1),并且与曲线y=f(x)相切， 则直线l的方程为.(1)D(2)x y 1 = 0 (1)因为f(x)为奇函数，所以f( x)= f(x)
9、,由此可得 a= 1,故 f(x) = x3 + x, f (x) = 3x2 + 1, f (0)= 1,所以曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.(2)v 点(0, 1)不在曲线 f(x) = xln x 上，设切点为(xo, yo).又:f (x) = 1 + In x, 直线 I 的方程为 y+ 1 = (1 + In xo)x.yo= xoln xo,由yo+ 1 = 1 + ln xo xo,解得 xo= 1 , yo= o.直线 l 的方程为 y=x1,即 x y 1= o.?考法 2 求切点坐标【例2】设函数f(x) = x3 + ax2.若曲线y=f(x)在点
10、P(xo, f(xo)处的切线方程为x+ y= O,则点P的坐标为()A(o,o)B(1,1)C. ( 1,1)D . (1, 1)或(一1,1)D 由 f(x)= x3+ ax2 得 f (x)= 3x2+ 2ax, 记 yo= f(xo),x3 + axO= yo,由题意可得 xo+ yo = O,3x2 + 2axo= 1.由可得 x3 + ax2= xo, 即卩 xo(xO+ axo+ 1)= O.由可得3x2 + 2axo+ 1= O.由可得xoMO,所以式可化为x2+ axo+ 1 = O.由可得xo=，代入式得xo= 1 ,xo= 1 ,或yo= 1yo= 1.即 P(1, 1)
11、或 P( 1,1).故选 D.?考法 3 求参数的值【例3】已知函数f(x)= (x规律方法导数几何意义的应用类型及求解思路1已知切点Axo, fxo求斜率k,即求该点处的导数值：k=f xo.2若求过点P X0 , y0的切线方程，可设切点为X1 , y1 ,由+ ax1)ex(其中e是自然对数的底数，a R),若f(x)在(0, f(0)处的切线与直线x+ y1 = 0垂直，则a=()A. 1B 1C. 2D 211(2)已知直线y= qx+ b与曲线y= qx+ Inx相切，则b的值为()A. 2B .1C. 2D .1(1)C (2)B(1f (x) = (x2 + ax 1) ex
12、+ (x2 + ax 1)(ex)=(2x+ a)ex+ (x2 + ax 1)ex=x2 + (a + 2)x+ (a 1)ex,故 f (0) = 02 + (a + 2)x 0+ (a 1)e0 = a 1.因为f(x)在(0, f(0)处的切线与直线x+ y 1 = 0垂直，故f (0)= 1,即a 1=1，解得 a= 2.（2）设切点坐标为（xo, yo）,1 1=一+ 一2+ x，11 111 1贝U y |x= XO= 2 + 亦，由一2+ x0= 2得 X0= 1,切点坐标为 1, 2，又切1 1 1 1卩寸（讣冲（-叩求解即可.点1， 2在直线y= 2x+ b上，故2= 2+
13、 b,得b= 1，故选B.3已知斜率k,求切点Ax1, fx1，即解方程f X1 = k.4函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2xy+ 1= 0,则点P的坐标是.(2)直线y= kx+ 1与曲线y=x3 + ax+ b相切于点A(1,3)，则2a + b的值等于(1)(e, e) (2)1由题意得y = In x+ 1,直线2xy+ 1= 0的斜率为2.设P(m, n)，则1 + In m= 2,解得m= e,所以n = eln e= e,即点P的坐标为(e,e).护
14、+ a+ b= 3,(2)依题意知，y = 3x2 + a,贝U 3x 12+ a= k,k+ 1 = 3,a=1,由此解得b= 3,k= 2,所以 2a + b= 1.1. (2018全国卷U)曲线y= 2ln x在点(1,0)处的切线方程为 .2y= 2x-2 由题意知，y = X,所以曲线在点(1,0)处的切线斜率k=丫 Q1 入=2,故所求切线方程为y 0 = 2(x- 1)，即y = 2x- 2.2. (2015全国卷I )已知函数f(x) = ax (2016全国卷川)已知f(x)为偶函数，当x0,则一xv 0, f(-x) = ex-1 + x. f(x)为偶函数，A f( -
15、x) = f(x), A f(x) = ex-1 + x. + x+ 1的图象在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),贝U a=.1先用“导数法”求出切线方程，然后代入点(2,7)求出a的值. f (x)= 3ax2 + 1, f (1)= 3a + 1.又 f(1)= a+ 2,切线方程为 y (a + 2)= (3a + 1)(x-1).切线过点(2,7), a 7- (a + 2) = 3a + 1,解得 a= 1.当 x 0 时，f (x)= eX -1+ 1, f (1)= e1-1+ 1 = 1 + 1= 2.曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为y 2 = 2(x- 1
16、),即 2x-y= 0.4. (2015全国卷U)已知曲线y=x+ In x在点(1,1)处的切线与曲线y= ax2 + (a+ 2)x+ 1 相切，贝U a =.18 法一：/ y= x+ In x,二 y = 1 + -, y x= 1 = 2.入曲线y=x+ In x在点(1,1)处的切线方程为y- 1 = 2(x- 1),即卩 y= 2x- 1.T y= 2x- 1 与曲线 y= ax2 + (a+2)x+1 相切，aM0(当a = 0时曲线变为y= 2x+ 1与已知直线平行).y= 2x-1,2由 2消去 y,得 ax2 + ax+ 2=0.y= ax + a + 2 x+ 1,由= a2 - 8a= 0,解得 a= 8.法二：同法一得切线方程为y= 2x- 1.设 y = 2x- 1 与曲线 y= ax2 + (a + 2)x+ 1 相切于点(X0, ax0+ (a + 2)x0 +1). ty = 2ax+ (a+ 2),yx= X0 = 2ax0+ (a+ 2).2ax0+ a + 2 = 2,ax2 + a + 2x0+ 1 = 2x0 1,解得X0 =a= 8.12