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1、创作：欧阳学两角和差正余弦公式的证明时间:2021.03. 03两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下而我们就它们的推导证明方法进行探 讨。由角, 0的三角函数值表示afi的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公式的功能。换 言之，要推导两角和差的正余弦公式，就是希望能得到一个等式或方程，将或品(口力) 与a. 的三角函数联系起来。根据诱导公式，由角日的三角函数可以得到的三角函数。因此，由和角公式容易得到对应的sin( 2 +sm2( = cossj3)2 4(sina-sifiQ2 = 2-2(cosacosQ+siiiasiii/)由余弦左理得= 必十治女沁於迹么婕=22oos
2、(a闻=M+ 曲 一 2OCM cosCa -/3)从而有ms(在= mamsQ 一血在血尸注记：方法2中用到了余弦圧理，它依赖于厶OE是三角形的内角。因此，还需要补充讨论角 和尸的终边共线，以及厶a大于孤的情形。容易验证，公式在以上情形中依然成立。 在上边 的证明中，用余弦左理汁算価2的过程也可以用勾股龙理来进行。也可以用向量法来证明。则 ()A (cos a. sin a). ()fi (cos /?. sin J). 由向fit数Ift积的定义.有()A ()fi= ()A I ()/51 cos(a/? = cos(a -7?) 由向fit ft fit积的坐标表示iii a) c；5
3、 仇= cos acos B+sin asincos(a - cos acos + sin asin（-）在三角形的框架下推导和差角正弦公式除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式，还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角 的正弦公式。1和角正弦公式（一）（方法3）如图所示，刼为 3C的血边上的髙，皿为血边上的髙。设血二 /3 =乞厶谢=巧则。从而有AE=bcasa CE=hsnaBE=CEcntfi=bsikLcxApBC = Cfcsc fi = & sin a： esc po制此 jiB = AE+EE = b(!cnsa*sinacnt坷5D = jiff sin t=Zi(cost
4、+sin rrcot ySJsiiLcro注昌到 E0 = EQsin(a+) = &xiiiacscjSsiii(a+/)从而冇.(casa+Tnacat0)siii.a=：sin.acscQsiiiGz*j)整理可得：=saamficosasui注记：在方法3中，用必和与底角比，尸相关的三角函数，从两个角度来表示鹿边上高更, 从而得到所希望的等式关系。这一证明所用的图形是基于钝角三角形的，对基于直角或锐角三角形的 情形，证明过程类似。利用方法3中的图形.我们用类似于恒等变形的方式，可以得到下而的(方法4)如图所示,SD为MSC的血边上的髙，CE为AS边上的高。设ZC4B =,CBA=fi
5、则 ZDCff=a+y?AE AD注意到CEO 3D ,则有侄 BD .即。现七釣=竺二竺辱配 = + fiDRD =D0CE+：RE 从而有JJC AS BC ABCBC ABURC AB BC AB BC=oosasin.戸晋 sina cos 0 o利用正弦左理和射影泄理，将得到下而这个非常简洁的证法。注意证明利用的图形框架与方法3,4所用的图形框架是相同的。（方法5）如图所示，CD为3C的曲边上的髙。设/C4E =a,= Q则有ZACB= jr-（a+）由正弦左理可得AC C A s=t2siny? sna ski（a 十 0）其中d为3C的外接圆直径。从而有siii(cz4-/?)
6、=smacosj?-f cosesui j?2.和角正弦公式（二）方法3,4和5利用的图形框架是将角C.尸放在三角形的两个底角上。如果将这两个角的和作为三角形的一个内角，将会有下面的几种证法（方法6-11）.(方法6)如图所示，作血丄眈于D,交3C外接圆于E,连BE和CE.设级心aZ.CAE=p 贝 |Z.CBE=p ZBAC=(l fl设 AABC 的外接圆直径为 d.则有，BE=dsnaBD = BEcasfl = dsakacosCE = dsn/3 CD = CEaosl= dsnficnsa99O（方法7）如图所示，酿为WC的血边上的髙，皿为曲边上的髙。设么加=a. BCE=fi 则
7、 Z4Cff=tr4尸。设 CE = h 则AE=hba BE = hWp BC = hsecfl=Aftana+tan） sP BG= 0cosA = rsuicosa GE = DF = ODn.a =rcDsfisna注意到砲=遇询，则有所以 BjF = BGGHS = Fsin j8cosz+ cos 戸sin a）=s2nacos#+oos 花 sinQa注记：我们用两种不同的方法计算M,得到了和角的正弦公式。如果我们用两种方法来计算 倔，则可以得到和角的余弦公式。由上图可得QF= OD cnsr=r cos ficasaEF=GSD = BDshcl = rsm since从而有0
8、40歹一册hgaz尸品“品型注意到04心心5从而可得 oos(a*0) = coscos-suiasm方法6.7和8都是用角比.的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段，从而构造岀我们所 希望的等式关系。(方法9)如图所示，设切为3C的曲边上的高。设Z3 =a ZCB人=0冬, AGf,从而有AD = b cos cc BD = a cos /3CD = b sin a = a sin 0 因此ZABC =ZADC +ZDBC= -.4DJ2D + -BD-JCD2 2= *bcosaNsin0 + *acos；0Z&sin a=* a方(sin a cos Q+cos a sin P),Sc
9、 = ACZBC sin ZACB =丄。方 sin(z 4- /3)又因为皿22从而可得sin(0整理即得sin(cz + /5) = sina cos-/3 十 cos a sin 0(方法10)如图所示，设血为 WC的外接圆直径d.长度为止设= 则ZMff=a4尸从而AB = dcos J3 BC = dsin /3CD = sincr.DA = dcos aBD = msin(cz + 0)由托勒密定理知ACND = AB7CD 十 4DZBC艮卩dH sin(a + /3) =dcos (Td sin cz+cos czLsin fi整理即得sin(cz 十 Q 二 sin a co
10、s/3 + cos a sin J3注记：这一证明用到了托勒密立理：若 M 和 刼是圆内接四边形的对角线，则有（方法11）如图所示，CD为 WG的曲边上的髙。设8 = 6 CD詡 则ZACS R 设 CO = A 则AB = AD-BD = /z(tan(X + tan /?)AC = hQaC = hsecj6 由正弦定理可得aAB _ BCsin(cz + 0) sin 5 sin A即从而即整理即得AB _ 力 C _ BC sin + J3) cos 卩 cos aAB _ AC + BCsin( + P)cos 0+ cos Ct(tan tz + tan /?) _ Zz(sec(
11、z-l-secj5)sin(tz 十厉cos fi + cos asin(a + Q = sin acosQ + cosasin. 0方法10和11将某一线段作为基本量，利用与角比尸相关的三角函数表示苴它线段，再通过联 系这些线段的几何立理（托勒密泄理或正弦泄理）,构造出我们希望的等式关系。3.差角正弦公式仍然还是在三角形中，我们可以在三角形的内角里构造出差角来。方法12和13便是用这种想法 来证明的。ZDBC=ft id BD = b 作 DE 丄如于 e.ZACS=-（方法12）如图所示，2 设SC = a则=生从而有CD = b sinDE = b sin - /7)DA - DE se
12、c ?) sec(Z = cos/3 tan a整理可得sin(tx-/?)二 sin a cos /5-coscrsin 0(方法13)如图所示，皿为AMC的外接圆直径，长度为d.设 8Q =a ZCAB二尸，则ZCBD = fl ZCAB = a-fl 从而AD =d cosatBD = dsinaBC = d&n(a- AC = dcos(a p)DE = AD tan 0 = d cos atan 0BE = BC sec Q = d sin(z 一 历 sec f3所以BD = BE + DE = d(sin(z -/?) sec /? + cos a tan /3)注意到BD =
13、d sin a :)X而sina = sin(a-0)sec0+ cos tz tan (3整理可得sin(a0) = sin ctcos0 cosasin 0方法12和13的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段，借此来构造等式关系。很显然，在这十二种证法中，方法1和2更具普颯性。换言之，这两种方法中出现的角刃是 任意角。而英余方法中，角a和/则有一赵的限制，它们都是三角形的内角（甚至都是锐角）。因此, 对于方法313,我们需要将我们的结果推广到角a和Q是任意角的情形。具体而言，我们要证明：如 fF果公式对任意2成立，则对任意角也成立。容易验证，角。和尸中至少有一个是轴上角（即终边在坐标轴
14、上的角），我们的公式是成立的。 下而证明，角心和尸都是象限角（即终边在坐标系的某一象限中的角）时，我们的公式也成立。不妨 设a为第二象限角，尸为第三象限角，从而有a = 2切龙 4今 $ 0 a. 2,2 严 eZ；冗因此有sincr = cosafj cosa = -si口內sin = -sin cos 0 二一cos0】从而JI+ ） = sin（2；Mr -4- +） +（2h +1） + A）3=sin（2w + 2乳+厅）怎 + （a】+ 禹）=COS（Z十 0J=coscz1 cos A + sin ax sin=cos （-cos 幷）+ （- sin sin 0）=sin er
15、 cos +cos（7si口 0同理可证，公式对于象限角C和尸的其它组合方式都成立。因此，我们可以将方法313推导的 公式推广到角0,尸是任意角的情形。两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。其推导证明对指导学生进行探究性学习很 有帮助。从上文中可以看到，这一探究过程可分为四个步骤：(1) 明确推导证明的目标：构造联系比和/三角函数与氓仇士旬或品9励的等式或方 程；(2) 简化课题：四个公式只要解决一个，其余的都可由它推出；(3) 解决问题：利用单位圆或三角形作为联系心和刃三角函数与XaztQ或siii(aQ的工 具，寻找我们希望的等式关系：(4) 完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺，可考虑将其化归为已解 决的情形，必要时还要进行分类讨论。时间：2021.03. 03创作：欧阳学