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1、两条直线的夹角两条直线的夹角一、教学目的：1. 分清直线厶到直线人的角与直线人到直线厶 的角以及两条直线厶与厶的夹角的区别与联 系。2. 掌握直线厶到直线厶的角的计算公式1=3. 掌握直线人与直线厶的夹角的计算公式二、情感目标：通过对两直线的倾斜角与夹角的关系探索， 找出夹角的正切值与两直线斜率之间的关系；运 用两角差的正切公式，进一步渗透解析几何的思 想，即用代数运算解决几何图形问题；培养学生 思维的缜密性、条理性、深刻性。三、教学重、难点：1. 当一条直线斜率不存在时，如何求解两直 线的夹角。2. 根据题意正确使用夹角，到角公式，注意 根据图形进行舍解。四、教学过程：（一）引入：平面内两条
2、直线的位置关系有平行、重合 和相交。我们分别用直线的代数形式去描述了它 们的位置关系。在相交直线中特殊的位置关系是垂直，即两条直线所成角为90 o因此，我们可以用两直线的夹角大小来描述两条相交直线的 位置关系。平面上，两条相交直线厶和厶构成四个角， 它们是两对对顶角O为了区别这些角,通常规定: 直线人绕着交点M按逆时针方向旋转到和厶重合 时所得到的角，叫做厶到匚的角。直线匚绕着交点M按逆时针方向旋转到和厶重合时所得到的角,叫做/倒厶的角。当厶丄4时，即倒厶的角为90。ow-i或一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在。通过这 充要条件启发我们小到厶的角的大小是否也可以 与厶、4的斜率建立关系呢？
3、（二）推导:设两条直线方程分别是人:y = klx + b 9 12 : y = k2x + b2（“為均存在），厶到厶的角&如果汕2 =-i，那么0=90。如果心1,设厶和厶的倾斜角分别是a和3则k、= fg% 9 k2 = tga2不论 0 = a2-aa.0x都有心=加严严严如，即眄吕 + tga2tga1 + 臥一条直线到另一条直线的角，可能不大于直 角，也可能大于直角，如果只需要考虑不大于直 角的角&(叫做两条直线的夹角),那么有嗣彳需I(&工90。)当两条直线平行或重合时，则它们的夹角是零 度角，此时公式仍适用。(三) 例题：例1求下列两直线的夹角&。(1) I、： x+2y-5=
4、0, /2： 2x-3y+l=0；(2) /,： x-3y-2=09 /2： 2y+3=0；(3) /,： x-5=0, /2： 2x+4y+3=0 ；小结：已知直线方程求夹角大小问题。第一小题 求出直线斜率后直接套用夹角公式；第二小题其中一条直线斜率为零，既可以套用公式，又可以 观察图像，显然夹角不是倾斜角就是倾斜角的补 角；第三小题其中一条直线斜率不存在，不能使 用公式，只能观察图像，分析倾斜角与夹角的关 系。例2求经过点(-5, 6)且与直线2x+2y-5=0的 夹角为钧的直线方程。小结：已知夹角大小求直线方程问题。据题意直 线过点(-5, 6),因此只需确定直线斜率k,就 可写出直线的
5、点斜式方程。由夹角公式可求出k 的值。根据图像特征，过一点必定会有两条直线 与已知直线的夹角成45度，这就提示我们必须 解出两个k的值。这道题一解k=0时，直线方程 为y-6=0；另一解k不存在，意味着直线方程为 x+5=0o而往往同学们会忽略后一个答案，认为 k无解，直线方程就不存在。例3等腰MBC,底边BC所在的直线方程是 x+y=O,顶点A(2, 3),它的一条腰AB平行于直 线x-4y+2=0,求另一条腰AC所在直线的方程。 小结：本题也是运用夹角公式或到角公式求解直 线方程的一种类型，它在题目的条件上比较隐 蔽，没有直接指出夹角的大小。而在解题过程中, 我们也不需要知道夹角大小，只是
6、利用夹角相等 建立等式，求出所需直线的斜率，从而确定直线 方程。（四）作业：练习册P5 8、10、11五、反思：通过两条相交直线所成角的大小来描述两条相交直线的位置关系。之前同 学们已经接触了互相垂直的直线，它们的斜率成积为1。这一结论的得出，也是 建立在观察直线倾斜角与夹角的关系上的。因此同学们在寻找关系式时并不困 难。而是在要求同学们用斜率去表示夹角时，大家陷入了沉默。显然对高一所 学的知识有所遗忘，经提醒同学们能较快的接受两角差的正切公式与两直线斜 率间的等式关系。对例题的选择由浅入深，又简到难。对于这一知识点，我认为解决两方面 的问题, -是己知直线方程求夹角大小问题；二是已 知夹角大
7、小求直线方程问题。首先，在第一道例 题中第1、2小题使同学们先熟悉公式，加深公 式在头脑中的印象，第3小题是为了让大家意识 到公式不是万能的，它是有局限的，比如直线斜 率不存在或者两直线斜率为负倒数等，因此还是 要求同学们掌握数形结合的思想方法，从根本关 系上入手，理解其本质。其次，第二、三道例题 就为应用夹角公式去解直线方程的类型。应该说 公式人人都能记住，但很多同学在最终的结果上 却不能回答完整。这意味着同学们在思维过程中 还不够严密，往往会遗漏斜率不存在这一特殊的 解。有时运用夹角公式解题比较难于让人发现, 比如，直线过点（1，0）,且被两平行直线3x+y-6=0 和3x+y+3=0所截的线段的长为9,求此直线的 方程。数形结合的思想方法是中学数学的基本思 想方法。在解题时必须从图像入手，对相关知识点或涉及的概念、定义、定理要相当清晰，对于 题目中的条件要逐个分析，才能在解题时思路清 楚，条理顺当；才能知道何时使用夹角公式，何 时使用到角公式，这样才能做到不多解不漏解， 周到缜密。