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1、7.4 数学归纳法一、教学内容分析 数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，
2、从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机.数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件.二、教学目标设计1. 从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，再到数学归纳
3、法的科学性的认识；2对数学归纳法的叙述数学步骤地掌握；3形成观察、归纳、推广的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方法三、教学重点及难点重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析; 难点：数学归纳法中递推思想的理解四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计假设证明（核心步骤）数学归纳法定义（规范的数学表述）首项验证（奠基）复习引入运用数学归纳法解决实际问题（注意叙述的规范性）课堂小结， 布置作业六、教学过程设计一、复习引入问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？方法一：把它倒出来看一看就可以了特点：方法是正确的，但操作上缺乏
4、顺序性 方法二：一个一个拿，拿一个看一个比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球特点：有顺序，有过程问题2：在数列中，先算出的值，再推测通项的公式过程：，由此得到：，解决以上两个问题用的都是归纳法. 二、讲解新课：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊一般.2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法. 如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳.我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能
5、保证它成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要.3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法
6、：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n= n0时，命题成立，再假设当n=k(kn0，kN*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)
7、假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.三、例题分析例1 用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，那么an=a1+(n1)d对一切nN*都成立.证明：(1)当n=1时，左边=a1，右边=a1+0d=a1，等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，就是ak=a1+(k1)d.那么ak+1=ak+d=a1+(k1)d+d=a1+(k+1)1d，这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)和(2)可以判定，等式对任何nN*都成立.例2 用数学归纳法证明：1+3+5+(2n1)=n2.证明：(1)当n=1
8、时，左边=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+(2k1)=k2，那么1+3+5+(2k1)+2(k+1)1=k2+2(k+1)1=k2+2k+1=(k+1)2.n=k+1时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何nN*都成立.四、课堂练习：1.用数学归纳法证明：1+2+3+n=.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1.等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+k=.那么当n=k+1时，n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知等式对一切nN*都成立.2.首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式是：an=a1qn-1.证明：(1)n=1时，
9、左边=a1，右边=a1q11=a1q0=a1.左边=右边.(2)假设当n=k时等式成立.即ak =a1qk1.那么当n=k+1时.ak+1=akq=a1qk1q=a1q(k+1)1.n=k+1时等式也成立.由(1)、(2)可知等式对一切nN*都成立.五、课堂小结 (引导学生归纳,教师提炼)(1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要
10、总结；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想.六、作业七、教学设计说明数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练所以要强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能
11、力的良机运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明nk1命题成立时必须要用到nk时命题成立这个条件这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向相关数学史资料介绍资料1: 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献但是，费马曾认为，当nN时，一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后
12、得到的18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时， =4 294 967 297=6 700 417641，从而否定了费马的推测有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f（n）=n2+n+41，当nN时，f（n）是否都为质数？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151， f（39）=1 601但是f（40）=1 681=412是合数.算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，说明用不完全归纳法得出的结论可能是错误的对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准对于数学问题，应寻求数学证明.用心 爱心 专心